用半波帶法推導單縫夫瑯禾費衍射暗紋條件的相關討論

李志堅 原琰博 賈 昱

(中北大學朔州校區 山西 朔州 036000)

鄭忠喜

(中北大學理學院物理系 山西 太原 030000)

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用半波帶法推導單縫夫瑯禾費衍射暗紋條件的相關討論

李志堅 原琰博 賈 昱

(中北大學朔州校區 山西 朔州 036000)

鄭忠喜

(中北大學理學院物理系 山西 太原 030000)

在大學物理教學中，半波帶法是一種處理單縫夫瑯禾費衍射的簡單方法.半波帶法可以推導出單縫夫瑯禾費衍射的暗紋條件，但是，學生容易對這個推導過程產生誤解，從而把暗紋位置判斷成明紋位置.為了讓學生更好地理解半波帶法和衍射現象的實質，分析了對暗紋條件產生的兩種誤解，并得出誤解產生的原因，即學生計算半波帶或者波帶間的干涉疊加時，未考慮它們之間的相位關系.

衍射 半波帶 干涉 相位

1 引言

在大學物理教學中，單縫夫瑯禾費衍射是一個最基本的衍射類型[1,2].半波帶法是處理單縫夫瑯禾費衍射較為簡單的一種方法[3～5]，學生容易接受.

一束平行光垂直入射到單縫上，發生衍射.半波帶法給出的暗紋公式為

(1)

其中a為縫寬，θ為衍射角，λ為垂直入射的光波的波長.

學生在根據以上的思想推導暗紋條件時容易產生兩種誤解，從而把暗紋所在位置判斷成明紋所在位置.

2 半波帶法推導暗紋條件過程的定量分析

如圖1所示，一束平行光垂直入射到單縫OA上，以O為原點建立坐標軸，取從O到A為x軸正方向.在狹縫上任選一點M，該點到O點的距離為x.該點相當于一個子波波源，其振幅正比于微元dx.狹縫處的波陣面可以看成是一個個子波波源組成，這些子波在波陣面上的振動相位相同，到達P點后，P點振動的合振幅取決于各子波的光程差.

圖1 單縫夫瑯禾費衍射

作平面OB⊥AB，那么OB面上的各點達到P點的光線的光程都相等，這樣從OB發出的光線在P點的相位差就等于它們在OB上的相位差.假設OA面上各點的振動初相位為零，M點光線沿θ方向到達OB面上的N點，那么N點處光振動的表達式為[6]

(2)

(3)

其中δ為從N點到P點的光程.式(3)寫成復指數形式為

(4)

2.1 把波陣面分成2k個半波帶

根據式(1)，波陣面OA可以分成2k個半波帶，從單縫最下端到最上端依次為第1個半波帶，第2個半波帶，……，第m個半波帶，……，第2k個半波帶.第m個半波帶在P點處的振動為式(4)的積分

(5)

第(m+1)個半波帶在P點處的振動為

eiπEm=-Em

(6)

Em+Em+1=0

(7)

即相鄰半波帶在P點處振動的振幅相等，但振動相位相反，振動疊加為零.所以，P點處疊加的結果表明P點為暗紋所在位置.

下面考慮不相鄰的兩波帶在P點引起的振動.根據式(5)第m個半波帶和第(m+2)個半波帶在P點干涉結果為

Em+Em+2=

(8)

那么這兩個半波帶在P點干涉加強.同理，根據式(5)第(m+1)個半波帶和第(m+3)個半波帶在P點干涉結果為

Em+1+Em+3=

(9)

那么這兩個半波帶在P點干涉加強.所以，以上兩者在P點引起的振動都是加強的，且振動的振幅相等，但是振動的相位卻相反.兩者振動疊加為

(Em+Em+2)+(Em+1+Em+3)=0

(10)

所以，P點處疊加的結果表明P點為暗紋所在位置.

2.2 把波陣面分成k個整波帶

根據式(1)，波陣面OA可以分成k個整波帶，從單縫最下端到最上端依次為第1個波帶，第2個波帶，……，第n個波帶，……，第k個波帶.第n個波帶在P點處的振動為

(11)

第(n+1)個波帶在P點處的振動為

Enei2π=0

(12)

即任意整波帶在P點引起的振動為零.所以，P點處疊加的結果表明P點為暗紋所在位置.

3 結束語

1 趙凱華，鐘錫華. 光學(上冊). 北京：北京大學出版社，1982

2 游璞，于國萍. 光學. 北京：高等教育出版社，2006

3 程守洙，江之永. 普通物理學(下冊) . 北京：高等教育出版社，2012

4 許麗萍，魏天杰. 物理學原理簡明教程(下冊). 北京：高等教育出版社，2013

5 馬文蔚. 物理學. 北京：高等教育出版社，2014

6 謝英慧,楊潔,宋漢閣.夫瑯和費型單縫衍射光強公式的修正.東北師大學報: 自然科學版,1997(3):34～37

*中北大學高等教育教學改革創新項目(2016).

李志堅(1986- )，男，碩士，助教，主要從事大學物理教學及量子光學的研究.

2016-09-09)