韓寶燕
(山東工藝美術學院公共課教學部,山東 濟南250000)
若一個行列式可看做x的函數(一般是x的n次多項式),記作f(x),按泰勒公式在某處x0展開,用這一方法可求得一些行列式的值.
例1 求n階行列式
解 記fn(x)=D,按泰勒公式在z處展開:
易知
由(3)得,fk(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,…,n.時都成立根據行列式求導的規則,有
因為(f1(x)=x),于是fn(x)在x=z處的各階導數為
把以上各導數代入(2)式中,有
分析:f(x)在[0,1]上二次可微,且最小值-1≠0,所以在(0,1)內一定有極值點,該點的導數為0,題中可知f(x)二次可微,從這點我們可以想到使用泰勒公式,而要證明的結論中右邊是一個常數,故選在最小值點x0處泰勒展開。
解:不妨設x0∈(0,1)為f(x)在[0,1]上的最小值點,則f(x0)=-1,f′(x0)=0,f(x)在x0處的泰勒公式:
,ξ是介于x與x0之間的某個值.
綜上所述,存在一點ξ∈(0,1),使f″(ξ)≥8.
當級數的通項表達式是由不同類型函數式構成的繁難形式時,往往利用泰勒公式將級數通項簡化成統一形式,以便利用判斂準則.
分析:直接根據通項去判斷該級數是正向級數還是非正向級數比較困難,因而也就無法恰當選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應,會使判斂容易進行.
故該級數是正向級數.
又因為,
所以
如果f(x)泰勒公式已知,其通項中的加項(x-x0)n的系數正是(x0),從而可反過來求高階導數數值,而不必再依次求導.
例4 求函數f(x)=x2ex在x=1處的高階導數f(100)(1)(2).
解 設x=u=1,則
而g(u)中的泰勒展開式中含u100的項應為,從g(u)的展開式知u100的項為u100,因此
[1]華東師范大學數學系,編.數學分析:上冊[M].3版.北京:高等教育出版社,2001(2008重印).
[2]華東師范大學數學系,編.數學分析:下冊[M].3版.北京:高等教育出版社,2001(2008重印).
[3]閆曉紅,王貴鵬,主編.數學分析全程導學及習題全解:上冊[M].北京:中國時代經濟出版社,2006,2.
[4]閆曉紅,王貴鵬,主編.數學分析全程導學及習題全解:下冊[M].北京:中國時代經濟出版社,2006,2.
[5]同濟大學數學系,編.高等數學:上冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2007,6(2009重印).
[6]同濟大學數學系,編.高等數學:下冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.6(2009重印).