給定不確定結果的量子比特的量子態區分*

張 剛，張文海

(1.皖西學院機械與電子工程學院，安徽 六安 237012; 2.淮南師范學院物理系，安徽 淮南 232038)

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給定不確定結果的量子比特的量子態區分*

張 剛1，張文海2

(1.皖西學院機械與電子工程學院，安徽 六安 237012; 2.淮南師范學院物理系，安徽 淮南 232038)

給出更簡單的利用輔助測量比特和系統的幺正演化的方法用于在給定不確定結果時的量子比特的兩個量子態區分。方案涵蓋了當不確定結果的概率為零時的最小錯誤區分，以及當不確定結果的概率為某些數值時的最優確定性區分。文中給出最大全局正確概率和給定不確定概率關系的解析式。利用輔助測量比特，對被測的非正交量子態初態系統實施幺正演化，對輸出態進行正交測量，就可以完成非正交態的量子態區分。方案提供了一種對于兩個非正交量子態的正定算符值測量的物理實現方法。

量子態區分；最小錯誤區分；確定性區分

量子力學指出：正交量子態可以被精確地測量(區分)，而非正交量子態則不能。在量子密鑰分配(Quantum key distribution，QKD)中[1-2]，通信雙方利用非正交量子態進行量子通信。量子態被用于編碼成量子密鑰，通信雙方通過測量非正交量子態而使接收方獲得量子密鑰。因此，量子態區分(Quantum state discrimination，QSD)就成為量子信息中一個基本研究方向[3]。目前，大量的研究工作關注于這個方向，并且量子態區分理論研究發展迅速。

1 兩個量子態的POVM

我們首先介紹文獻[23]中利用POVM對兩個量子態進行區分。特殊的輸入量子態形式為

|ψ1〉=cosθ1|1〉+sinθ1|2〉,
|ψ2〉=cosθ2|1〉+sinθ2|2〉

(1)

它們的內積為

s=〈ψ1|ψ2〉=cos(θ1-θ2)=cosθ∈(-1,1)

(2)

一般而言，任意兩個量子態的內積是復數。我們將在下一節里設定量子態的內積為復數，所得到的結果能對任意兩個量子態都適用。對于兩個量子態的先驗概率ηi(i=1,2)，滿足關系η1+η2=1, 文獻[23]設定在POVM元的集合中，三個測量元表示為Π={Π0,Π1,Π2}，并滿足Π0+Π1+Π2=I(I是單位算符，該式表示為量子測量的完備性), 其中算符Π1(2)表示可以對輸入量子態ρ1(2)=|ψ1(2)〉〈ψ1(2)|的判定, 而算符Π0則對應為不確定結果。定義測量量子態|ψ1〉和|ψ2〉的正確概率為p11=tr(ρ1Π1)和p22=tr(ρ2Π2)，這意味著當算符Πi(i=1,2)出現時，可以正確概率pii判斷輸入態是ρi。測量錯誤的概率為p12=tr(ρ2Π1)和p21=tr(ρ1Π2)，這就是說，當算符Πi(i=1,2)出現時，會以錯誤的概率pij(j=1,2;i≠j)認為輸入態是|ψj〉。不確定概率為q1=tr(ρ1Π0)和q2=tr(ρ2Π0)，這意味著，當算符Π0出現時，不能判斷輸入態。顯然，在不出現錯誤判斷pij=0，以及也不存在不確定概率qi=0時，就可以確定性地判斷輸入態。但是，這是不可能的，因為非正交量子態是不可能確定性地被判斷，這是量子力學中的基本原理(量子態疊加原理)。當然，正交量子態是可以被確定性地測量。因此，經典的測量方案有兩種：① 當不確定概率qi=0時，測量就會出錯，有pii≠0和pij≠0，這就是MD；② 如果希望測量不出錯pij=0(此時算符Πi的出現就可以確定性地判斷輸入態為|ψi〉)，就必須有qi≠0，這就是UD。

結合輸入態的先驗概率η1和η2=1-η1，傳統上規定全局正確概率Pc，全局錯誤概率Pe以及不確定概率Q的定義如下[23]：

Pc=tr(η1ρ1Π1)+tr(η2ρ2Π2)=η1p11+η2p22,

Pe=tr(η1ρ1Π2)+tr(η2ρ2Π1)=η1p21+η2p12,

Q=tr(η1ρ1Π0)+tr(η2ρ2Π0)=η1q1+η2q2

(3)

顯然，(3)式給出概率關系Pc+Pe+Q=1。對于給定的不確定概率Q，文獻[23]是求解全局正確概率Pc最大值(等價于求解全局錯誤概率Pe的最小值)。對于特殊的輸入態(1)，文獻[23]定義

(4)

(5)

(6)

對(6)式求逆可得Pc/e(Q)，但是文獻[23]并沒有分析，原因是Pc/e(Q)是多值函數，得不出明顯的含義。在本文中，我們得出了(6)式具體的反函數。

本節介紹文獻[23]的結果。從其內容可以看出，文獻[23]選擇的是特殊輸入態(兩個量子態的內積為實數)，而一般的量子態的內積是復數。其次，在角度為特殊值φ=π/4時，(5)式給出最大全局正確概率和給定不確定概率的具體解析式；而在取任意值時，(6)式給不出明確的關系。最后，文獻[23]利用POVM得出相應的概率，但是，POVM本身不能直接在物理上實現，需要將POVM轉化為物理上可以實現的測量。在下一節中，將選取一般的量子態作為輸入態，并給出物理上可以直接實現的測量方案，最后得出最大全局正確概率和給定不確定概率的具體解析式。

3 兩個量子態區分

選取兩個非正交量子態|ψ1〉和|ψ2〉, 它們的內積一般為〈ψ1|ψ2〉復數, 可以不失一般性地定義為

(7)

利用文獻 [24-25]的方法, 可以首先將一個幺正變換作用在輸入態上，然后對輸出態進行正交測量。對于MD，幺正變換定義為

(8)

(9)

Helstrom界限表示為[4]

(10)

對于UD，引入輔助測量比特|1〉a，定義幺正變換為

(11)

(12)

最優成功概率為

(13)

這就是JS極限[8]。當等概率輸入時，(13)式退化為IDP極限[5-7]。

(14)

|ψ2〉→eiφ|2〉|2〉a

(15)

這種情況下量子態|ψ2〉就不能被判斷，最小不確定概率為Q=η1s2+η2。上述UD的結果已由POVM方法得出[23，26]，我們給出的幺正變換，可以直接在物理上實現MD和UD。

上述的方法可以直接推廣到文獻[23]的情況，相應的幺正變換定義為

(16)

(16)式給出概率系數的歸一化條件和兩個量子態的內積：

p11+p21+q1=1,p12+p22+q2=1

(17-1)

(17-2)

將(17-1)代入(17-2)可以得到

(18)

(19)

最大全局正確概率為

(20)

將a,b和c的數值代入(20)式中，可以得到

(21)

(Q0≥Q≥0)

(22)

這個解析式的形式和(5)式相同，并且對任意兩個非正交量子態都適用，是最優QSD。

(23)

由于POVM定義測量算符可以是非正交的，而非正交測量在物理上是不可以實現的，所以對非正交的POVM算符不可能直接在物理上實現。我們利用輔助測量比特，對初態系統實施幺正演化，將POVM測量算符轉化為對輸出態的正交測量。幺正演化和正交測量在物理上是可以實現的，因此，方案(16)式為實現量子態區分的POVM提供了一種物理實現的具體方法。

3 結 論

本文得出了在給定不確定概率情況下，兩個非正交量子態區分的普遍式，具體表示為最大全局正確概率是給定不確定概率的函數解析式。提出的方案適合任意區間的先驗概率。同時，方案給出的幺正變換為實現量子態區分的POVM提供了物理實現的具體方法。

[1]GISINN,RIBORDYG,TITTELW,etal.Quantumcryptography[J].RevModPhys,2002, 74(1): 145-197.

[2]SCARANIV,BECHMANN-PH,CERFN,etal.Thesecurityofpracticalquantumkeydistribution[J].RevModPhys, 2009, 81(3): 1301 -1350.

[3]BARNETTSM,CROKES.Quantumstatediscrimination[J].AdvOptPhoton, 2009, 1(2): 238-437.

[4]HELSTROMCW.Quantumdetectionandestimationtheory[M].NewYork:AcademicPress,1976.

[5]IVANOVICID.Howtodifferentiatebetweennon-orthogonalstates[J].PhysLettA, 1987, 123(6): 257-259.

[6]DIEKSD.Overlapanddistinguishabilityofquantumstates[J].PhysLettA, 1988 126(5): 303-306.

[7]PERESA.Howtodifferentiatebetweennon-orthogonalstates[J].PhysLettA, 1988,128 (1): 19.

[8]JAEGERG,SHIMONYA.Optimaldistinctionbetweentwonon-orthogonalquantumstates[J].PhysLettA, 1995, 197(2): 83-87.

[9]BARNETTSM.Minimum-errordiscriminationbetweenmultiplysymmetricstates[J].PhysRevA, 2001, 64(3): 030303(R).

[10]HERZOGU,BERGOUJA.Minimum-errordiscriminationbetweensubsetsoflinearlydependentquantumstates[J].PhysRevA, 2002, 65(5): 050305(R) .

[11]CHOUCL.Minimum-errordiscriminationamongmirror-symmetricmixedquantumstates[J].PhysRevA, 2004, 70(6): 062316 .

[12]MOCHONC.Familyofgeneralized“prettygood”measurementsandtheminimal-errorpure-statediscriminationproblemsforwhichtheyareoptimal[J].PhysRevA, 2006, 73(3): 032328 .

[13]QIUD.Minimum-errordiscriminationbetweenmixedquantumstates[J].PhysRevA, 2008, 77(1): 012328.

[14]TYSONJ.ErrorratesofBelavkinweightedquantummeasurementsandaconversetoHolevo’sasymptoticoptimalitytheorem[J].PhysRevA, 2009, 79(3): 032343.

[15]ASSALINIA,CARIOLAROG,PierobonG.Efficientoptimalminimumerrordiscriminationofsymmetricquantumstates[J].PhysRevA, 2010, 81(1): 012315.

[16] BAE J, HWANG W Y. Minimum-error discrimination of qubit states: Methods, solutions, and properties [J]. Phys Rev A, 2013, 87(1): 012334.

[17] PERES A, TERNO D. Optimal distinction between non-orthogonal quantum states [J]. J Phys A, 1998, 31(34): 7105.

[18] CHEFLES A. Unambiguous discrimination between linearly independent quantum states[J]. Phys Lett A, 1998, 239(6): 339-347.

[19] SUN Y, HILLERY M, BERGOU J A. Optimum unambiguous discrimination between linearly independent nonorthogonal quantum states and its optical realization [J]. Phys Rev A , 2001, 64 (2): 022311.

[20] JAFARIZADEH M A, REZAEI M, KARIMI N, et al. Optimal unambiguous discrimination of quantum states [J]. Phys Rev A, 2008, 77(4): 042314.

[21] SAMSONOV B F. Optimal positive-operator-valued measures for unambiguous state discrimination [J]. Phys Rev A, 2009, 79(4): 042312.

[22] BERGOU J A, FUTSCHI U k, FELDMAN E. Optimal unambiguous discrimination of pure quantum states [J]. Phys Rev Lett, 2012,108(25): 250502 .

[23] BAGAN E, MUOZ-T R, OLIVARES-R G A, et al. Optimal discrimination of quantum states with a fixed rate of inconclusive outcomes [J]. Phys Rev A, 2012, 86(4): 040303 (R) .

[24] ZHOU X F, LIN Q, ZHANG Y S, et al. Physical accessible transformations on a finite number of quantum states [J]. Phys Rev A, 2007, 75(1): 012321.

[25] ZHO X F, ZHANG Y S, GUO G C. Unambiguous discrimination of mixed states: A description based on system-ancilla coupling [J]. Phys Rev A , 2007, 75 (5): 052314.

[26] BERGOU J A. Discrimination of quantum states [J]. Journal of Modern Optics, 2010, 57(3): 160.

By exploiting an ancillary measured qubite and a system unitary evolution, a simpler method for state discrimination of qubits with a fixed inconclusive answer is given. The strategy includes the minimal error discrimination is zero as the probability of an inconclusive answer and the optimal unambiguous discrimination is some value as the probability of an inconclusive answer.The analytical solution was derived between the maximal total correct probability and the fixed inconclusive probability. By using an ancillary measured qubite, a unitary transformation acts on the whole initial system and the orthogonal measures on the output states can reach quantum state discrimination of two nonorthogonal states. The scheme itself provides an implementation of a positive operator-valued measure of two nonorthogonal quantum states.

quantum state discrimination; minimum-error discrimination; unambiguous discrimination

2014-07-20

安徽省自然科學基金資助項目(1408085MA20)；安徽省教育廳自然科學基金資助項目(KJ2010A323 )

張剛(1975年生)，男；研究方向：量子信息與量子計算;E-mail:zhanggang@wxc.edu.cn

10.1347/j.cnki.acta.snus.2015.01.011

O

A

0529-6579(2015)01-0052-06

State Discrimination of Qubits with a Fixed Inconclusive Answer

ZHANGGang1,ZHANGWenhai2

(1.School of Mechanical and Electronic Engineering, West Anhui University, Lu’an 237012,China; 2.Department of Physics, Huainan Normal University, Huainan 232038,China)