淺談"數形結合"思想在解題中的應用

邱元香

（三明市明溪縣城關中學 福建三明 365000）

淺談"數形結合"思想在解題中的應用

邱元香

（三明市明溪縣城關中學 福建三明 365000）

數與形是和諧與統一的整體，是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合，是數學教學和數學研究不可分割的兩個方面。數形結合思想是數學教學中重要的解題思想。在教學中反復滲透數形結合的思想，使學生逐步學會運用數形結合的思想去分析問題，從而提高學生分析問題和綜合解決問題的能力。

數形結合 解題應用

數與形是和諧的統一的整體，是數學教學和數學研究不可分割的兩個方面。由圖形性質來研究數量關系，或由數量關系來研究圖形性質，這種重要的數形結合的數學思想方法，在我們初中數學教材中都有所滲透。在七年級“有理數”一章中就先入為主，充分利用數軸直觀形象地表述了有理數的有關概念及運算。到方程解應用題中又通過列表、圖式，使隱含的等量關系明朗化；而八年級，隨著無理數的引入，運用數形結合的思想，學生對“數軸上的點與實數一一對應”就很容易理解；勾股定理及其逆定理的證明以及直角三角形相似的判定，無不體現數形結合的思想。

所以我們在教學中必須反復滲透數形結合的思想，讓學生在不知不覺中不斷強化、領會、掌握數形結合思想，這樣才能讓學生在解題時自覺運用，提高學生分析問題和解決問題的能力。

有很多數學問題，在使用常規方法進行證明或解答時，常常無從下手，若利用數形結合的方法去證明、解答，立竿見影，由繁變簡，從而使問題迎刃而解?，F本人結合自己多年初中數學教學活動中的體會，談談數形結合思想在解題中的應用。

一、利用數形結合巧解最值問題

新課標中注重數學知識應用于生活中，特別強調數形結合的思想在人們日常生活中的應用，同時可以發展學生的思維能力。

例1：如圖（1），A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河CD的距離分別為AC=2千米，BD=10千米，且CD=5千米，現在要在河邊 CD上建一自來水廠，分別向 A、B兩村輸送自來水，鋪設水管工程費用為每千米 2萬元，問：P在CD上的那個位置可以使鋪設水管的費用最??？總費用多少？

解析：要使鋪設水管的費用最小，即 PA+PB須最短，先作出點A 關于CD的對稱點A′，根據兩點之間線段最短，連接A′B 與直線 CD 的交點 P，即為所求，則 PA=PA′，那么PA+PB=PA′+PB=A′B，

問題轉化為求 A′B，根據題意構造直角三角形，利用勾股定理可求A′B的長。

解：作 A 關于直線 CD的對稱點 A′，連接 A′B，與 CD的交點，即為自來水廠P的位置，連接PA，則PA =PA′，過B作 BE⊥A A′交 CA 的延長線于 E，則 BE=CD=5千米，CE=BD=10千米， A′C=AC=2千米，

A′E=10+2=12千米，根據勾股定理，得：

∴鋪設水管的總費用為2×13=26萬元。

∴蜘蛛爬行的最短路程為 10。

例 2、如圖（2）所示，圓錐的母線長 OA=8，底面的半徑 r=2，若一只小蟲從點A出發，繞圓椎的側面爬行一周后又回到點A，則小蟲爬行的最短路線的長是多少？

解析：學生在解此題時，想當然地認為小蟲爬行的最短路線就是圓錐底面圓的周長 π4。而實際上并非如此，我們必須將圓錐的側面展開，沿母線 OA剪開，展開得一扇形，連接 AB，根據兩點之間線段最短，從而求出最短路線的長。

設扇形的圓心角為n度，則：

以上兩題，要學會把實際問題轉化為數學問題，由形助數，把問題解決。

圖

二、數形結合在代數式求解中的應用

在有理數的運算中，學習乘方運算時，一旦出現 n次方，比較抽象，學生較難理解，下面舉例說明。

解析：這是初一練習冊的一道題目，是高中的數列求和問題，對初中學生來說有一定的難度。

方法一：可設計如圖所示的一個邊長為 1的正方形，其面積為1。

讓學生思考：連接正方形的一條對角線所得兩個三角形的面積如何？再作其中一個三角形底邊上的高所得的兩個三角形的面積又如何？依此方法一直作下去呢？學生很容易就明白：

圖

方法二：設計另一種情境：用一根長為1米的木棒，第一次先截去第二次再截去剩下的依次進行下去… …（如圖4）

圖（4）

我們可以列表表示上述關系：每次截去的木棒長都等于剩下的木棒長。

于是

通過數與形的結合，把原本看過去不可解的數學計算問題，借助具體的圖形，把原本抽象的數學問題形象化，學生既明白也容易理解。

三、利用數形結合巧解字母的取值范圍

在不等式這一章中，有關于字母的取值范圍是難點，學生常常出錯，下面舉例說明。

例4：關于a的不等式3x-a≤0的正整數解是1、2、3，求 a的取值范圍。

由于不等式3x-a≤0的正整數解是1、2、3，

例5：已知方程關于x的方程 x2-（4a-1）x+3a+4=0的一個根大于5，另一個根小于5，求a的取值范圍。

解析：本題如果直接解答，要考慮一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，解起來比較麻煩，如果利用二次函數及圖象聯系起來，可直觀簡捷地解決問題。

令 y= x2-（4a-1）x+3a+4，則問題轉化為拋物線y= x2-（4a-1）x+3a+4與 x軸的交點在（5、0）的兩側，因為 1＞0.拋物線的開口向上，畫出草圖，如圖（5）所示：

圖（5）

由圖像可以知道當x=5時，y＜0，

即52-（4a-1）5+3a+4＜0解得a＞2，即為a的取值范圍。

此題看似與圖像無關，但卻可以利用圖像解決，因此利用數形結合，可以拓寬思路提高學生的分析能力。

四、數形結合在函數中的應用

在初中數學學習過程中，最難理解和掌握的就是函數了，函數是在某一變化過程中，出現兩個變量，尤其是解析式中出現了待定系數時，增加了函

數的難度，因此學生要善于利用數形結合，對函數的圖像和性質深入理解和掌握，掌握解題技巧，提高解題能力。

例 6：二次函數 y=ax2+bx+c的圖像只經過第一、二、三象限，則一次函數y=ax-b的圖像是（ ）

圖

解析：此題未給出二次函數的圖像，若憑空想象，大多數學生得不到正確的結論。因此我們必須畫出二次函數的草圖（如圖 6）。結合圖像，再結合二次函數的一些性質，就可以判斷 a、b、c的取值范圍，進而可以得出正確結論。

由圖可知：拋物線開口向上，所以 a＞0，

拋物線與y軸交于正半軸（含原點），所以c≥0，

∴a，b同號，∴b＞0

∴一次函數y=ax-b的圖像經過第一、二、四象限，應選A。

五、利用數形結合巧解幾何求值題

有些幾何問題若能以“數”助“形”，把復雜的幾何問題轉化成代數問題，能使問題簡單化。

求∠C的度數

解析：由∠BAC-∠B=900，故設法構造直角三角形。

如圖 8，在已知△ABC中，過 A 作 AD⊥AC，交 BC于 D，則∠DAC=900

∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=900，

∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=900，

又∠BAC-∠B=900

∴∠B=∠BAD，則BD=AD，

∴∠C=300

總之，在教學過程中，教師要反復滲透數形結合思想，在形的問題難以解決時發揮數的功能，在數的問題遇到困難時，畫出與它相關的圖形，使學生逐步學會運用數形結合的思想去分析問題，解決問題，養成良好的思維習慣，就能逐步培養學生的數學能力，提高學生的解題能力。

圖（7）

2002.1 ～2中小學數學

1999.3 中學數學雜志