□于志洪
分類求解相似三角形
□于志洪
在解答相似三角形問題時,常常因為條件的不確定,而需要對問題進行分類討論,從而可以防止漏解.
例1△ABC與△ADE相似,點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上,且AD=4,AB=8,AC=12,求AE的長.
分析:當以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時,兩個三角形的公共頂點A必為對應點,但夾角A的兩組對應邊的對應關系不確定,故需要分類討論.
解:(1)當∠ADE=∠B時,如圖1,△ADE∽△ABC,所以
(2)當∠AED=∠B時,
如圖2,△AED∽△ABC,
圖1
圖2
例2如圖3,∠ACB=∠ABD=90°,BC=a,AC=b,當Rt△ABD的斜邊上的高h=時,圖中的兩個直角三角形相似.
圖3
分析:要使兩個直角三角形相似,只要∠D=∠ABC或∠D=∠BAC即可,又因為相似三角形對應高的比等于相似比,而Rt△ABD斜邊上的高可求出,所以列比例式可求h.
解:設Rt△ABC斜邊上的高為x,則AB·x=ab.
所以,當Rt△ABD斜邊上的高h=a或b時,圖中的兩個直角三角形相似.
例3在正方形ABCD中,P是CD上一動點(與C、D不重合),使三角尺的直角頂點與點P重合,并且一條直角邊始終經過點B,另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E.探究:(1)觀察操作結果,哪一個三角形與△BPC相似?并證明你的結論;(2)當點P位于CD中點時,你找到的三角形與△BPC的周長比是多少?
分析:解決本題的關鍵是要經過動手操作,畫出圖形,再加以分析,由于圖形位置的不確定,故需要分情況求解.
解:(1)①如圖4所示,另一條直角邊與AD交于點E,
則△PDE∽△BCP.
證明:在△PDE和△BCP中,
因為∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2.
又因為∠PDE=∠BCP=90°,所以△PDE∽△BCP.
②如圖5,同理可證明△PCE∽△BCP及證明△BPE∽△BCP.(過程略)
圖4
圖5
圖6
圖7
(2)①如圖6所示,當點P位于CD中點時,若另一條直角邊與AD交于點E,則
又因為△PED∽△BCP,所以△PDE與△BCP的周長比是1∶2.
②如圖7所示,同樣可計算出△PCE與△BCP的周長比為1∶2;及△BPE與△BCP的周長比為
總之,在今后解相似三角形問題時,我們只要細心去思考,認真去分析,就不會出現漏解.只要我們養成全方位進行思考的好習慣,我們就能不斷走向成功.