□劉頓
“銳角三角函數”中考新題型
□劉頓
提到“銳角三角函數”,你就會想到中考,想到中考就自然會去看看又有哪些創新型試題,為方便你的尋求,現歸納幾類,供參考!
例1(2016·臨沂)當α、β為任意角時,sin(α+β)與sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ;sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin60°· cos30°+cos60°·sin30°=類似的,可以求得sin15°的值是.
分析:把15°化為60°-45°,則可利用sin(α-β)=sinα·cosβcosα·sinβ和特殊角的三角函數值計算出sin15°的值.
解:sin15°=sin(60°-45°)
=sin60°·cos45°-cos60°·sin45°
點評:求解時要熟記特殊角的三角函數值,一是按值的變化規律去記,正弦逐漸增大,余弦逐漸減小,正切逐漸增大;二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記.
例2(2016·咸寧)閱讀理解:我們知道,四邊形具有不穩定性,容易變形,如圖1,一個矩形發生變形后成為一個平行四邊形,設這個平行四邊形相鄰兩個內角中較小的一個內角為α,我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度.
圖1
(1)若矩形發生變形后的平行四邊形有一個內角是120度,則這個平行四邊形的變形度是.
(2)猜想證明:設矩形的面積為S1,其變形后的平行四邊形面積為S2,試猜想S1、S2、之間的數量關系,并說明理由.
拓展探究:(3)如圖2,在矩形ABCD中,E是AD邊上的一點,且AB2=AE·AD,這個矩形發生變形后為平行四邊形A1B1C1D1,E1為E的對應點,連接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面積為,平行四邊形A1B1C1D1的面積為試求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度數.
圖2
分析:(1)根據平行四邊形的性質得到α=60°,根據三角函數的定義即可得到結論.
(2)若設如圖1中矩形的長和寬分別為a、b,變形后的平行四邊形的高為h,根據平行四邊形和矩形的面積公式即可得到結論.
(3)由已知條件得到△B1A1E1∽△D1A1B1,由相似三角形的性質得到∠A1B1E1=∠A1D1B1,根據平行線的性質得到∠A1E1B1=∠C1B1E1,求得∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1,證得∠A1B1C1=30°,于是得到結論.
解:(1)∵平行四邊形有一個內角是120度,∴α=60°,
理由:如圖1,設矩形的長和寬分別為a、b,變形后的平行四邊形的高為h,
∴S1=ab,S2=ah
(3)∵AB2=AE·AD,
而A1B1=AB,A1E1=AE,
A1D1=AD,
∴A1B12=A1E1·A1D1,
∵∠B1A1E1=∠D1A1B1,
∴△B1A1E1∽△D1A1B1,
∴∠A1B1E1=∠A1D1B1,
∵A1D1∥B1C1,
∴∠A1E1B1=∠C1B1E1,
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1
=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1.由(2)中的結論
∴sin∠A1B1C1
∴∠A1B1C1=30°,
因此∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°.
點評:本題通過閱讀探究,考查了平行四邊形的性質、矩形的性質、三角函數的定義,相似三角形的判定和性質,正確理解題意是解題的關鍵.
例3(2016·揚州)如圖3,△ABC和△DEF中,AB=AC,DE=DF,∠A=∠D.
圖3
(2)由(1)中的結論可知,等腰三角形ABC中,當頂角∠A的大小確定時,它的對邊(即底邊BC)與鄰邊(即腰AB或AC)的比值也就確定,我們把這個比值記作T(A),即T(A)=
①理解鞏固:T(90°)=,T(120°)=,若α是等腰三角形的頂角,則T(α)的取值范圍是;
②學以致用:如圖4,圓錐的母線長為9,底面直徑PQ=8,一只螞蟻從點P沿著圓錐的側面爬行到點Q,求螞蟻爬行的最短路徑長(精確到0.1).
圖4
(參考數據:T(160°)≈1.97,T(80°)≈1.29,T(40°)≈0.68)
分析:(1)證明△ABC∽△DEF,根據相似三角形的性質解答即可.
(2)①根據等腰直角三角形的性質和等腰三角形的性質進行計算即可;②根據圓錐的側面展開圖的知識和扇形的弧長公式計算,得到扇形的圓心角,根據T(A)的定義解答即可.
解:(1)∵AB=AC,DE=DF,
又∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,
圖5
圖6
如圖6,∠A=120°,AB=AC,
作AD⊥BC于D,則∠B=30°,
∵AB-AC<BC<AB+AC,
∴0<T(α)<2.
②圓錐的側面展開圖如圖7所示.
圖7
∵圓錐的底面直徑PQ=8,
∴圓錐的底面周長為8π,即側面展開圖扇形的弧長為8π.
設扇形的圓心角為n°,
∵T(80°)≈1.29,
∴螞蟻爬行的最短路徑長為PQ=1.29×9≈11.6.
點評:本題通過模仿銳角三角函數的定義,考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質以及T(A)的定義,正確理解T(A)的定義、掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.