建立分式模型解決實際問題一例

鄭泉水

洗衣服人人都做過，但你是否注意過其中的數學問題？請看：

將一件衣服在洗衣粉水中充分浸泡、搓洗后，擰掉其中的污水，當然，你不可能將其中的污水全部擰掉，假設衣服中還存有1斤污水，現在要用20斤清水清洗，怎樣清洗效果更好呢？

若將20斤清水一次用掉，即將衣服一下子放到20斤清水中，通過充分搓洗后，衣服中的1斤污水與20斤清水充分混合，再擰掉水分（還按衣服中存有1斤水計算），此時，衣服中存在的污物是原來的121.

若將20斤清水分兩次用，第一次先用12斤，通過充分搓洗再擰掉水分，此時，衣服中存在的污物是原來的113；第二次用8斤，通過充分搓洗再擰掉水分，此時，衣服中存在的污物是第一次清洗后污物的19，即衣服中存在的污物是原來的113×19=1117.這比一次用掉20斤清水要干凈多了！

若將20斤清水分兩次用，每次用10斤，根據上面的計算方法可知，兩次清洗后衣服中存在的污物是原來的111×111=1121.

看來，20斤清水分兩次用，平均使用比不平均使用效果要好！

由此可知：①用一定量的清水清洗衣服，將清水分兩次使用比一次使用效果要好；②用一定量的清水清洗衣服，將清水分兩次平均使用比不平均使用效果要好.

下面我們證明上述結論.

將一件衣服在洗衣粉水中充分浸泡、搓洗后，擰掉其中的污水，假設衣服中還存有a斤污水，現在要用m斤清水清洗：

（1）若將m斤清水一次用掉，則衣服中存在的污物是原來的am+a，即a2ma+a2；

（2）若將m斤清水分兩次用，第一次先用x斤，第二次用m-x斤，則衣服中存在的污物是原來的ax+a×a（m-x）+a，即a2mx-x2+ma+a2；

（3）若將m斤清水分兩次平均使用，則衣服中存在的污物是原來的am2+a×am2+a，即a2m24+ma+a2.

接下來的問題就是比較三個分式a2ma+a2、a2mx-x2+ma+a2、a2m24+ma+a2的大小了，也就是比較ma+a2、mx-x2+ma+a2、m24+ma+a2的大小.

（1）由于x0，即mx-x2+ma+a2>ma+a2，

所以a2mx-x2+ma+a2

即：用一定量的清水清洗衣服，將清水分兩次使用比一次使用效果要好.

（2）由于mx-x2=-（x-m2）2+m24，x≠m2（不平均使用），

故m24>mx-x2，即m24+ma+a2>mx-x2+ma+a2.

所以a2m24+ma+a2

即：用一定量的清水清洗衣服，將清水分兩次平均使用比兩次不平均使用效果要好.

當然用一定量的清水清洗衣服，將清水分的次數越多并平均使用，清洗效果越好（有興趣的同學不妨仍以20斤清水為例進行驗證）.

看來，洗衣服中還真大有學問呢！這正如我國著名數學家華羅庚教授說過的一句話：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學.”

可謂是：生活處處皆數學，生活處處皆學問.