冪的大小比較

□鄒興平

冪的大小比較

□鄒興平

比較冪am和an（其中a、b為正數，m、n為正整數）的大小時，首先明白它們之間有如下兩種大小關系：

（1）當a＝b，且m＞n時，

①若底數大于1，則am＞bn，即底數大于1的兩個同底數的冪，指數大的冪也大；

②若底數小于1，則am＜bn，即底數小于1的兩個同底數的冪，指數大的冪反而??；

（2）當m＝n時，若a＞b，則am＞bn，即同指數的兩個冪，底數大的冪也大.

根據上述結論可得比較冪的大小有如下幾種方法.

方法一、把冪的底數化為相同后，通過比較指數的大小來確定冪的大小

例1若a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c大小關系是（）.

A.a＞c＞b B.a＞b＞c

C.a＜b＜c D.b＞c＞a

解析：因為8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，而124＞123＞122，所以a＞b＞c，故選B.

答案：B.

點評：由于冪比較大，直接計算很不現實，觀察發現，例1和例2中其底數分別可以轉化為3或，這樣只需要比較其指數即可.

方法二、把冪的指數化為相同后，通過比較底數的大小來確定冪的大小

例3已知a＝2444，b＝3333，c＝5222，則a，b，c大小關系是（）.

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.a＜c＜b D.b＞a＞c

解析：根據冪的乘方的性質，逆向運用得到amn＝（am）n，因為444，333，222的最大公約數為111，所以a＝2444＝（24）111＝16111，b＝3333＝（33）111＝27111，c＝5222＝（52）111＝25111.而16＜25＜27，所以16111＜25111＜27111，即a＜c＜b，故選C.

答案：C.

例4比較390與845的大小.

解析：由于兩個冪的指數90是45的2倍，因此給出的兩個冪可以化為相同的指數，得390＝（32）45＝945.顯然945＞845，所以390＞845.

點評：無法直接計算，又不能把底數化為相同，可考慮先找出其指數的最大公約數，逆用冪的乘方運算性質，把它們的指數化為相同，這樣只需比較其底數即可.

方法三、將冪乘方后，通過比較乘方所得數的大小來確定冪的大小

例5已知a3＝3，b5＝4，比較a、b的大小.

解析：因為（a3）5＝a15＝35＝243，（b5）3＝b15＝43＝64，而243＞64，所以a15＞b15，所以a＞b.

點評：顯然不能直接求出a、b值再比較，可先將它們各自乘方，使乘方后冪的指數為原各指數的最小公倍數，然后再比較所得數的大小.

方法四、利用中間量傳遞或放縮后，再運用上述方法比較來確定冪的大小

例6比較1516和3313的大小.

解析：因為1516＜1616＝（24）16＝264，3313＞3213＝（25）13＝265，而265＞264，所以3313＞1516.

點評：既不能化為同底數，又無法化為同指數，觀察兩個底數，15接近16，33接近32，而16與32都可以表示為以2為底數的冪的形式，可通過比較中間量的大小來確定冪的大小.運用放縮法比較冪的大小時要注意放縮的“幅度”，應盡可能與原數的大小接近，不能過大，如果比較失敗，說明放縮的“幅度”偏大.

方法五、作商法

例7比較2616和8213的大小.