擬定生產計劃的多變量條件下的線性規劃模型

李小卉

摘 要：擬定生產計劃是生產生活中常出現的一個問題，本文就合金的制造給出的生產和訂購決策問題進行研究，展開討論，分析和建立數學模型，利用數學軟件lingo進行求解。只考慮包含一家公司和一份訂單的供應鏈，這家公司的原材料的信息是已知的，訂單量也是確定的，在此條件下找好目標函數與約束條件，建立線性規劃模型進行求解，當這家公司滿足訂單要求時所需的成本最低就是此題的最優解，最后利用lingo軟件進行編程求解確定這家公司的原材料的取法。

關鍵詞：生產計劃；lingo軟件；線性規劃

一、問題背景與重述

（一）問題的背景

中國自古就是個鋼鐵大國，鋼鐵用于各行各業，由于對鋼鐵的性能高要求，合金制造商家必須用合理的原材料組配煉出高性能的鋼鐵合金以迎合市場要求，同時使自身獲利更多，而造船用鋼是指用于制造海船和大型內河船體結構的鋼，它除了要有良好的焊接性能，還要求有一定的強度、韌性和一定的耐低溫及腐蝕性能，這種鋼一般使用合金制造而成。

（二）問題的重述

一家鋼鐵公司收到一份500噸造船用鋼的訂單，對這些造船用鋼有如下要求（品質）：

此公司儲存有7種不同的原材料，都可以用于制造這種鋼。

問題（1）：為了使生產成本最低，各種原材料應該各取多少。

問題（2）：如果鐵合金1的可用庫存為380噸，其他條件不變，問此時怎樣選取各種原材料。

問題（3）如果鋁合金1的價格上50%，其他條件不變，此時又該怎樣選取各種原材料。

二、模型假設

假設訂單的要求不會在生產途中有所改變；每種原材料的取用量可隨意假設鋼鐵造船時無耗損，即生產的合金全造成船；不考慮其他費用成本僅是鋼鐵材料的花費；原材料的品質是確定的，即在單位質量的原材料中所含雜質的量是一定的，不會因為取料的多少而改變任意雜質的含量。

三、符號說明

x1鐵合金1的需求量

x2鐵合金2的需求量

x3鐵合金3的需求量

y1銅合金1的需求量

y2銅合金2的需求量

z1鋁合金1的需求量

z2鋁合金2的需求量

P生產成本

四、問題分析

這是一個線性規劃問題，要決定的是這家鋼鐵公司的最優的生產方案，完成此方案需滿足兩個條件，其一為使生成本最低的目標函數，但在現實生活中所需條件通常并非那么理想，這就構成了所需的第二個條件——約束條件。

對本題這家鋼鐵公司原材料的信息與訂購量都是明確的，目標函數的確定是顯然的，而約束條件分為三小點：1.對雜質含量約束；2.對可用庫存的約束；3.對訂單所需總量的約束，分別用數學表達式表達上述條件，然后用lingo軟件即可求解。

五、模型建立

對于問題（1）的求解：

六、模型求解及結果分析

（一）模型求解結果

根據我們建立的模型結果如下表：

（二）結果分析

1、問題（1）為了使生產成本最低，各種原材料應該各取多少？

由此解得用鐵合金1量為400噸、銅合金1量為1.7噸、鋁合金1量為98.2噸鍛造此合金時可使總花費最低為90.2萬元。

另外我們還可以得出：當碳最低含量減少1個單位時，總花費減少20.1，當碳最高含量減少或增加1個單位時，總花費不變，當銅最低含量減少1個單位時，總花費減少0.6，當碳最高含量減少或增加1個單位時，總花費不變，當合金總重即生產能力減少1個單位時，總花費減少0.1。

2、問題（2）如果鐵合金1的可用庫存為380噸，其他條件不變，問此時怎樣選取各種原材料？

用鐵合金1量為380噸、鐵合金2量為16.7噸、銅合金1量為1.7噸、鋁合金1量為101.5噸鍛造此合金時可使總花費最低為90.7萬元。

另外我們還可以得出：當碳最低含量減少1個單位時，總花費減少25.1，當碳最高含量減少或增加1個單位時，總花費不變，當銅最低含量減少1個單位時，總花費減少0.7，當銅最高含量減少或增加1個單位時，總花費不變，當合金總重即生產能力減少1個單位時，總花費減少0.2，當鐵合金1的庫存量增加1個單位時，總花費降低0.2491071E-01。

3、問題（3）如果鋁合金1的價格上50%，其他條件不變，此時又該怎樣選取各種原材料？

用鐵合金1量為400噸、銅合金1量為1.79噸、鋁合金1量為98.21噸鍛造此合金時可使總花費最低為95.125萬元。

另外我們還可以得出：當碳最低含量減少1個單位時，總花費減少10.11，當碳最高含量減少或增加1個單位時，總花費不變，當銅最低含量減少1個單位時，總花費減少0.3，當銅最高含量減少或增加1個單位時，總花費不變，當合金總重即生產能力減少1個單位時，總花費減少0.1902500。

七、模型評價與推廣

模型的優點：該模型較客觀的反映了在確定條件下的線性規劃問題，模型簡單明了，易于編程求解；模型的缺點：該模型題目條件過于理想，所考慮的不變因素過少，不太可能在實際生產生活中進行推廣。

模型推廣：可用庫存與單價也是可以變動的；本模型可以推廣到多家鋼鐵公司與多份訂單的模型，多份訂單的要求可以不同；合金中雜質的含量可以與所用該合金的多少有關，即單位質量的某種雜質的含量的多少是有一波動區間，但所取該合金量越多此波動區間越小。

參考文獻：

[1] 宋來忠、王志明，數學建模案與實驗，科學出版社，2005年。

[2] 袁新生、紹大宏、郁時煉，LINGO和Excel在數學建模中的應用，高等教育出版社，2006年。