集體活動的時間規劃

彭雪峰+陳楊林

摘 要：本文針對具體的學校學生體能測試時間安排問題展開了深入研究。對于學生等待時間的理解為，學生在測試場地的時間與各項測試的總時間之差。為了滿足該校的要求和條件，分析了將所有學生分批次進行測試的原因，而每批次的最佳學生數為40人，次佳學生數為50人，而40人和50人的可選組合人數為80、90、100和120，并通過建模得到了學生班級的28個測試批次，同進同出進行測試。如果28個測試批次的學生采用緊湊式進出場地，即前后兩批次的學生測試時間可以重疊。我們將模型優化后可得到最優測試時間安排：整個測試時間段為3段，學生總等待時間約減半。

按照上述模型和算法，我們得到五個測試項目重組為三個項目進行輪轉為最佳，因而提出了如下調整建議：需引進立定跳遠、肺活量測試儀器各1臺，一個班的學生需要分組，每組30人，這樣測試場所的人員容量只需30人。

關鍵詞：線性規劃；可選組合數；輪轉法；數學模型；MATLAB

中圖分類號： G523 文獻標識碼： A 文章編號： 1673-1069（2016）36-82-2

1 問題描述與分析

首先，由于考慮到測試場所最多可容納150個學生，同一班的所有學生在同一時間內完成所有項目的測試所用時間最少的情況下，我們先將150個學生看成一個班級不考慮學生的學號，利用數學軟件（lingo）求出最短時間和滿足最短時間的條件。如果將150個人分為了兩個班級，通過計算最短時間可知，后者比前者多了5秒鐘的錄入學號時間。依此做法，每增加一個班級就會多出5秒鐘的錄入學號時間。即，多n個班級就會有n個錄入學號時間。在對問題的模型建立過程中，我們對附表中的班級采取合并的方法，即將一個班或幾個班看成一個整體，又考慮到學生的學號不同，我們對模型進行了修改，采取輪轉法求最短時間。我們還計算了耗時多的向耗時少的方向輪轉與耗時少的向耗時多的方向輪轉的區別。

其次，考慮到在測試時間段我們采取了對班級進行分組的方法，針對不同的儀器對每個學生測試所用的時間不同，并且有些項目有多臺設備的錄入學號問題。

2 模型建立與計算

模型一：

為簡化問題，我們做出如下假設：

①將同一批次測試的學生看作整體（即不考慮班級與班級之間的學號問題）；②將同一項目的測試看作整體（即不考慮有多臺儀器的錄制學號問題）；我們將同一批次測試的學生分成5組，同時進行5項測試。則所需時間如下：

PT1=10/3，PT2=20，PT3=15/2，PT4=20，PT5=210/10

mint=t1+t2+t3+t4+t5+5

x1+x2+x3+x4+x5=k

t1=max（10*x1/3，20*x2，15*x3/2，20*x4，210*x5/10）

t2=max（10*x2/3，20*x3，15*x4/2，20*x5，210*x1/10）

t3=max（10*x3/3，20*x4，15*x5/2，20*x1，210*x2/10）

t4=max（10*x4/3，20*x5，15*x1/2，20*x2，210*x3/10）

t5=max（10*x5/3，20*x1，15*x2/2，20*x3，210*x4/10）

假設k=150人，求得結果如下（運算程序見附件1）：

x1=31人，x2=29人，x3=30人，x4=30人，x5=30人，t=3155秒

模型二：我們考慮班級與班級之間的學號問題及多臺儀器的錄制學號問題。

①若考慮班級與班級的學號問題即每個班級的第一個學生與上一個班級的最后一個學生的學號不相連，所以就存在一個錄入時間5秒，用輪轉法得出5項測試有4項存在這個錄入時間（因為我們在這里把每一批次的學生看作一個整體，故不存在耗時多向耗時少輪轉與耗時少向耗時多的差異，只有一個學號不相連的5秒差）。按時間分我們得出耗時間最長的臺階測試不要加，其余4項均加一個5秒。因此下面的第一項至第五項測試分別為臺階試驗、立定跳遠、肺活量、握力、身高與體重。

我們將一批次的K個學生分成學號相連的5組

第一項測試：x1，x2，x3，x4，x5；第二項測試：x2，x3，x4，x5，x1因隊伍的學號加了一個錄入時間；第三項測試：x3，x4，x5，x1，x2因隊伍的學號加了一個錄入時間；第四項測試：x4，x5，x1，x2，x3因隊伍的學號加了一個錄入時間；第五項測試：x5，x1，x2，x3， x4因隊伍的學號加了一個錄入時間。

②一項測試有多臺儀器的項目均需增加一個錄入時間5秒。

得出如下（運算程序見附件2）：

由個班級組合成一個人數為k的批次

mint=t1+t2+t3+t4+t5+n*5

x1+x2+x3+x4+x5=k

t1=max（10*x1/3+5+5，20*x2+5，15*x3/2+5+5，20*x4+5，210*x5/10+5）

t2=max（10*x2/3+5+5，20*x3+5，15*x4/2+5+5，20*x5+5，210*x1/10+5）

t3=max（10*x3/3+5+5，20*x4+5，15*x5/2+5+5，20*x1+5，210*x2/10+5）

t4=max（10*x4/3+5+5，20*x5+5，15*x1/2+5+5，20*x2+5，210*x3/10+5）

t5=max（10*x5/3+5+5，20*x1+5，15*x2/2+5+5，20*x3+5，210*x4/10+5）

假設k=150，n=1，得：x1=31人，x2=29人，x3=30人，x4=30人，x5=30人，t=3180秒

由以上結果我們得出規律并編排出表1：①用輪轉法時，要將同一批次的學生均衡的分配。②學生測試用時最多的盡量充分利用。

因為40+75=115<210，

所以我們將時間最短的兩個項目看作整體，得出表2：

由以上分析得，一批次的學生為40人最佳，其次是50人。但學校要求同一班的所有學生在同一時間段內完成所有的項目。因而我們只有向40、50拼湊，次可選組合人數80，90，100，120，故可選組合數為40、50、80、90、100、120。又因為人數越多學生的等待時間越長，所以數字盡量小且數字只能比可選人數小而不能比可選人數大。

我們將附表得如下分組：①40人的組有3個。②50人的組有8個。③79人的組有2個。（可以當作4個40人的組）。④80人的組有9個。（可以當作18個40的組）。⑤89人的組有1個。（可以當作1個40人的組和1個50人的組）。⑥90人的組有1個。（可以當作1個40人的組和1個50人的組）。⑦99人的組有1個。（可以當作2個50人的組）。⑧120人的組有2個。（可以當作6個40人的組）。

即我們把附表中的班級當作36個40人的組和12個50人的組。

k=40m+50n≤150

4m11+5n11≤15000/225 4m12+5n12≤1170/225

4m21+5n21≤15000/225 4m22+5n22≤1170/225

m11+m12+m21+m22=36 n11+n12+n21+n22=12

按照優先填滿原則，求得：

答案一：m11=14n11=2m12=8n12=4 答案二： m11=9n11=6m12=13n12=0

我們可以參照上面其中一個答案編排出學生測試時間安排表，結果所有56個班級所需要的時段為4個，如表3所示：

這個表格雖然不是時間編排最緊湊的（即可以把第二天下午測試的批次分配到其余三個時段），經過我們的分析得出：第二天下午不能完全分配到其余三個時段，因而最少時段仍為4個時段，且學生的等待時間均相等。故我們在這不再做調整。

第I批次的學生在測試場地的時間各項測試的總時間

批次為40人的學生的總等待時間：T1=（40*21+5+5*5-275）*40=23800秒；批次為50人的學生的總等待時間：T2=（50*21+5+14*5-275）*50=43550秒；批次為79人的學生的總等待時間：T3=（80*21+5+4*5-275）*79=112970秒；批次為80人的學生的總等待時間：T4=（80*21+5+18*5-275）*80=120000秒；批次為89人的學生的總等待時間：T5=（90*21+5+2*5-275）*89=145070秒；批次為90人的學生的總等待時間：T6=（90*21+5+2*5-275）*90=146700秒；批次為99人的學生的總等待時間：T7=（100*21+5+3*5-275）*99=182655秒；批次為120人的學生的總等待時間：T8=（120*21+5+8*5-275）*120=274800秒。

按上述編排方法可以得到最佳方案，即測試所需段數最少為4段，學生等待的總時間為1049545秒。

參 考 文 獻

[1] 謝金星，薛毅.優化建模與LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學出版社，2005.

[2] 傅家良.運籌學方法與模型[M].復旦大學出版社，2005.

[3] 費培之，程中瑗.數學模型實用教程[M].成都：四川大學出版社，1999.

[4] 唐應輝，唐小我.排隊論——基礎與分析技術[M].北京：科學出版社，2006.