車輛內輪差問題的優化分析

范朔

【摘 要】由于車輛內輪差的存在而導致的交通事故屢見不鮮。對于大型車輛或是狹窄路況此問題尤為嚴重。通過建立數學模型，借助MATLAB，可以模擬繪制車輛轉彎時前、后內側車輪的運動軌跡，制作車輛轉彎過程動畫，分析車輛各參數與內輪差的關系，進而提出由車輛內輪差導致的相關安全問題的解決方案，盡量減少和避免此類事故的繼續發生。

【關鍵詞】MATLAB；內輪差；數學建模；事故防范

Optimal Analysis in Difference of Radius Between Inner Wheels

FAN Shuo

（School of Mechanical and Power Engineering， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）

【Abstract】Traffic accidents caused by the existence of difference of radius between inner wheels always occur. The problem is particularly severe with large vehicles and narrow roads condition. By establishing mathematics model and with the help of MATLAB， the path of front and back wheels of vehicles when turning can be simulated， the animation of vehicles when turning can also be made， so that relationship between different parameters of vehicles and difference of radius between inner wheels can be concluded. Whats more， solutions which aiming at reducing and eliminating the occurrence of traffic accidents caused by difference of radius between inner wheels can be proposed.

【Key words】MATLAB； Difference of radius between inner wheels； Mathematical model； Prevention of accidents

0 引言

車輛內輪差指車輛轉彎時前內輪轉彎半徑與后內輪轉彎半徑之差。通常車輛前內輪的轉彎半徑大于后內輪，這也就意味著如果車輛的車頭部分以較小的轉彎半徑轉彎時，車輛的中、后部分會以一個更小的轉彎半徑轉彎，即車輛在轉彎的過程中會向圓心方向的空間不斷靠近。而這種在轉彎過程中的變化通常難以被駕車司機察覺，造成司機的“視覺盲區”。容易理解，倘若在“視覺盲區”內存在行人或是其他機動車輛，事故發生的可能性將大大提高。實際上，由于內輪差的存在而造成的交通事故屢見不鮮。對于大型車輛或是狹窄轉彎路況而言，此問題尤為嚴重。

若結合生活經驗定性的思考一下內輪差問題，不難想象對于同一類車型，轉彎的幅度越小，內輪差越小，反之相反。而對于不同的車型，當轉彎的幅度相同時，軸距大的車型內輪差大，反之相反。但是從經驗角度沒有辦法推出一個具體的內輪差數值概念。本文希望通過建立數學模型，借助MATLAB，定量求解內輪差問題，增加人們對于內論差的認知。在建模的過程中，與其他轉彎問題研究一樣[1，2]，我們忽略離心力所引起的側滑與輪胎變形所引起的側向偏離對運動軌跡的影響。

1 內輪差建模

1.1 模型一

假設1：汽車整體為一剛體，轉彎的過程中不會發生變形；

假設2：車輛在轉彎過程中，內前輪與內后輪的軌跡均為圓弧，且兩圓弧圓心重合。

當rD為車輛的最小轉彎半徑時，對應的D即為該車的最大內輪差。最小轉彎半徑的數值可以從車輛參數表中方便的獲得，因此利用式（3）可以快速估算車輛的最大內輪差。

但由于真實條件下車輛的轉彎軌跡并不是嚴格的圓弧，因此上述公式實際上計算的是車輛內輪差的近似值。不過有研究表明[3]，利用該公式計算的結果與實測數據的誤差小于10%。因此，上述公式不失為快速估算內輪差的好方法。接下來尋找更為精確的建模方法。

1.2 模型二

假設1：汽車整體為一剛體，轉彎的過程中不會發生變形；

假設2：汽車內前輪的運動軌跡為圓弧，內后輪的軌跡由前輪的運動而定；

在模型一中我們將內側前、后輪的軌跡都假定為圓弧，但由于在車輛轉彎過程中只有前輪起導向作用，所以實際上后輪的運動軌跡是受前輪帶動而被動確定的，并不是按圓弧運動。因此在模型二中我們只假定前輪的轉彎軌跡為圓弧，借助其他條件求解后輪的軌跡。

首先，車輛在轉彎過程中軸距并不發生改變，即內前輪（A）、后輪（B）之間的距離不發生改變，因此有：

此微分方程系統我們可以借助MATLAB快速求解、繪圖。

現假設汽車內側前輪按xA=7cost；yA=7sint運動，汽車的軸距l為4米。MATLAB給出的轉彎軌跡如下：

圖2 模型二MATLAB作圖結果

從圖2中可以看出，內后輪的軌跡并不是圓弧。圖中兩條曲線所夾區域即為由內輪差造成的轉彎過程中車輛發生的偏移區域，也即“視覺盲區”。倘若行人或其他車輛出現在此區域，則事故發生率將大大提高。在MATLAB輔助下，內輪差問題變得形象而直觀。前后輪的軌跡方程可以通過MATLAB進行擬合獲得，進而可以計算如盲區面積等其他信息。

下面嘗試用控制變量的方法，首先控制車輛的轉彎半徑相同，在同一幅圖中繪出不同軸距車輛的內輪轉彎軌跡，如圖3（a）所示。再控制車輛的軸距相同，在同一幅圖中繪出不同轉彎半徑車輛的內輪轉彎軌跡，如圖3（b）所示。這兩幅圖再次說明：內輪差隨軸距和轉彎幅度的增大而增大。這也從理論上更為形象的闡明了為何如公交車、渣土車等長軸距車更容易在轉彎的過程中釀成事故。

（a）不同軸距汽車以相同轉彎半徑轉彎的內輪軌跡圖

（b）相同軸距汽車按不同轉彎半徑轉彎的內輪軌跡圖

圖3

借助模型二，對參數已知的車輛（轉彎半徑及軸距），我們可以利用MATLAB快速模擬繪制出車輛轉彎過程中所形成的“視覺盲區”，擬合輪胎運動軌跡方程，計算盲區面積等。廣大車輛駕駛員若能由此建立起轉彎過程中的警惕意識，將對事故的預防具有積極的意義。廣大群眾由此也應得到相應的啟示：切忌距離轉彎車輛過近，尤其是長軸距車輛或是急轉彎車輛。

不過模型二與真實條件相比依然存在缺陷。在模型二中我們假設前輪的運動軌跡為圓弧，但是實際上在轉彎的過程中司機通常進行的是“先打輪，再回輪”的操作，也就是說前輪的轉彎半徑應是先減小而后增大的，并不保持定值。因此在模型三中我們將嘗試對模型二進行改進，重新假定前輪的運動軌跡，并驗證模型二中建立的微分方程系統是否依然適用。

1.3 模型三

假設1：汽車整體為一剛體，轉彎的過程中不會發生變形；

假設2：汽車內前輪的轉彎半徑按一定規律變化，不保持定值。內后輪的軌跡依然由前輪的運動而定；

根據車輛內前輪在轉彎過程中曲率半徑先增大后減小的規律，我們在模型二的基礎上假定內前輪的運動軌跡為：

經分析可知，該函數在0≤t≤π/4的區間時，隨著t的增大，函數的曲率半徑逐漸增大，并在t=π/4時達到最大值。當π/4≤t≤π/2時，函數的曲率半徑隨t的增大而減小。其變化規律與實際汽車轉彎曲率半徑變化規律一致，因此以該函數作為汽車內前輪的軌跡方程做進一步分析。

圖4 模型二與模型三內前輪軌跡對比圖

仿照模型二建立微分方程系統，借助MATLAB求解并繪制在該種假設下內側前、后輪的軌跡圖，將其與模型二所繪車輪軌跡進行比較：

圖5 模型二與模型三內輪轉彎軌跡對比圖

理論上模型三所示軌跡更接近于車輛實際轉彎過程中的內輪軌跡。模型三的建立也同時說明了模型二中所使用的微分方程系統具有很好的可遷移性。因此，倘若需要實際條件下準確的車輛內輪軌跡，通過記錄車輛轉彎過程中的車輪位置信息，擬合出內側前輪的軌跡方程，套用模型二中的微分方程系統，即可實現。

此外，筆者除利用MATLAB模擬繪制了車輛內輪的轉彎軌跡外，還借助其動畫制作功能制作了內輪差形成的動畫。筆者認為通過動畫可以更加形象的幫助理解由于內輪差的存在而導致的內側前、后輪軌跡的形成過程。若未來能將動畫或是軌跡圖像應用于針對內輪差問題的相關教學中，將會收到很好的效果。

2 總結

文章中所建立的三個內輪差模型各有特點。模型一可方便的對內輪差進行估算，而在MATLAB的輔助下，模型二和模型三則可以更加準確的描述內輪差問題。但需注意的是，本文中的三個模型只針對可視作剛體的車輛。

通過查閱幾類車型的汽車參數表，利用MATLAB繪制了車輛軸距與內輪差的關系圖（圖6），從圖中可以明顯看出：隨軸距增大內輪差也增大。同時還繪制了車輛輪距和最小轉彎半徑與內輪差的關系圖（圖7、圖8），可以看出內輪差隨輪距和最小轉彎半徑的增大也呈現出明顯的增大趨勢。

圖6 車輛軸距與內輪差關系圖

圖7 車輛輪距與內輪差關系圖

對內輪差問題的研究主要是為了更好的預防由于內輪差而引起的交通事故的發生。經估算，對軸距不超過3m的小型車而言，其內輪差一般不會超過1m，約為0.8m至1m；對軸距在3m至5m的中型車而言，其內輪差增大，約為1m至1.5m；對于軸距超過5m的大型車而言，其內輪差則可能達到2m甚至以上。掌握這些數據對避免事故的發生有著重要意義。于行人而言，應盡量遠離正在過彎中的車輛，尤其是公交車等大型車輛，并至少保持2m以上的安全距離。于駕駛者而言，應充分考慮到所駕車型軸距，最好估算出所駕車型內輪差，提前觀察轉彎內側是否有其他機動車輛或行人活動，控制車的轉向角度。尤其是行駛在傍山險路或是臨崖路段，若忽視內輪差后果將極為嚴重，相關事故曾有過記載[4]。此外有研究指出[5]，車速對駕駛者的視野會造成影響：車輛靜止狀態下，駕駛員雙眼的視野范圍約210°；40km/h，雙眼的視野范圍約100°；70km/h，雙眼的視野范圍約65°；100°km/h，雙眼的視野范圍只約40°。因此轉彎的過程中減速慢行也更有利于駕駛者觀察路況，避免交通事故的發生。

圖8 車輛最小轉彎半徑與內輪差關系圖

此外，借助該問題的研究，可以發現MATLAB對于求解微分方程系統的極大幫助。不只是運動學，諸多領域中的系統，如生物反應過程、化學反應速率、電子系統等都可以通過微分方程進行描述，這也就意味著可以利用MATLAB輔助研究這些問題。通過計算機編程，不僅可以方便的計算復雜的實際問題，同時可以將結果可視化[6]。因此，MATLAB作為強大的數學軟件，無論對于工程實踐或是教學都具有很高價值，應當更加普及與推廣。

【參考文獻】

[1]蕭建英.汽車及汽車列車轉彎過程的研究[J].汽車技術，1986（08）：25-27.

[2]李相彬.汽車列車轉彎過程的分析及其最小轉彎半徑的確定[J].汽車技術，1981（11）：18-21.

[3]陳思嘉，巫宇霞，楊平.汽車轉彎時由內輪差引發的交通事故原因建模與分析[J].數學通報，2013（12）：55-57.

[4]阿仁.內輪差與外輪差[J].汽車駕駛員，1998（8）：15.

[5]萬祿義.公交車“內輪差”，不容忽視[J].人民公交，2012（1）：71.

[6]李彤，闞文彬，曹昱彭.學習MATLAB應從大一開始[J].實驗技術與管理，2008（8）：102-104.

[7]Holly Moore. MATLAB實用教程[M].高會生，劉童娜，李聰聰，譯.北京：電子工業出版社，2010.

[8]王鐸.理論力學[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2003.

[9]張志涌.MATLAB教程R2012a[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010.

[責任編輯：湯靜]