利用輔助圓解決角的大小問題

劉亞萍

【摘 要】 利用輔助圓解決角的大小問題在數學中是一個常見問題.在遇到具有綜合性以及技巧性且其隱蔽性較強的角的大小問題時，若能結合題目的本質特征，進而聯想到圓的相關知識，并且對輔助圓進行恰當構造，總可以讓這一些問題由難變易，由繁到簡。利用輔助角有利于對這類問題實現有針對性地解決，找到解題捷徑。

【關鍵詞】 輔助圓；圓周角；直徑；方程；鈍角

【中圖分類號】G633.2 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2016）07-0-01

縱觀全國各地中考壓軸題，角的大小問題具有舉足輕重的地位。對于某些綜合性、技巧性、隱蔽性較強的角的大小問題，許多學生往往感到無處下手。在遇到這些題時，需要對輔助圓作恰當地構造。而對輔助圓的構造需要聯想到圓的有關知識。為了實現這個目標，需要結合題目的本質特征，進而找到解題捷徑。利用輔助圓的構造，就可以實現化繁為簡，化難為易，下面筆者就以一些具體實例加以說明。

一、利用圓周角定理

對于一些角的大小問題，能利用圓周角定理。利用同弧或等弧所對的圓周角相等這個特點，則可以另辟蹊徑。

例1 （本題為2014·晉江市二模題一，有改動）已知拋物線y=a（x﹣2）2+1。該拋物線從左到右依次與x軸交于A、B兩點，并與y相交于點C。（如圖1）點B的坐標為（3，0），連接AC、BC。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，那么，設點P的縱坐標為m。

求：在P點的運動過程中，∠APB能否與∠ACB相等？

如果能，那么請求出點P的坐標；如果不能，請解釋說明。

分析與簡解：定線段與動點的張角問題可考慮添加輔助圓，利用同弧所對的圓周角相等?？梢韵仍O直線x=2與x軸相交于點D。然后作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點為P1。再做P1關于x軸的對稱點P2，那么P1、P2就是所需求的點。在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的長，可得P1（2，﹣2﹣）。由對稱性得P2（2，2+）。

（1）拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；

（2）如圖2，設直線x=2與x軸的交點為點D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點為P1，P1關于x軸的對稱點為P2，則P1、P2均為所求的點。

∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上。

∴點E的橫坐標為2。

又∵OB=OC=3，

∴E（2，﹣2）。

在Rt△ADE中，由DE=2，

則AD=AB=（OB﹣OA）=（3﹣1）=1

由勾股定理得EA===，

∴EP1=EA=，

∴DP1=DE+EP1=2+，

∴P1（2，﹣2﹣）。

由對稱性得P2（2，2+）。

∴可得結論：符合題意的點P的坐標分別為：P1（2，﹣2﹣）、P2（2，2+）。

二、利用圓心角、圓周角、圓外角的關系

解題時若能另辟蹊徑應用圓心角、圓周角、圓外角的關系，常常能夠化繁為簡，達到快速解題的目的。

例2 （2014·淄博改動）在直角坐標系內有一個動點P，A點與B點的坐標分別是（1，0），（5，0）。問：當點P沿y坐標軸移動時，∠APB是否有最大值？如果有，請求出點P的坐標。同時，請說明此時∠APB最大的理由；如果沒有，請說明沒有的理由。

理由：易證：∠APB=∠AEH，當∠APB最大時，∠AEH最大。由sin∠AEH=得：當AE最小即PE最小時，∠AEH最大。所以當圓與y軸相切時，∠APB最大。

①當點P在y軸的正半軸上時，

∵⊙E和y軸相切于點P上，

∴PE⊥OP。

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°。

∴四邊形OPEH是矩形。

∴OP=EH，PE=OH=3。 ∴EA=3。

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===

∴OP=∴P（0，）。

②當點P在y軸的負半軸上時，

同理可得：P（0，﹣）。

連接NA（如圖3）。

∵∠ANB是△AMN的外角

∴∠ANB>∠AMB

∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB。

若點P在y軸的負半軸上，

可得結論：點P的坐標為（0，）和（0，﹣）。

三、利用圓90的圓周角

由圓周角定理的推論知：90的圓周角所對的弦是直徑，從而使問題轉化為與直角三角形的外接圓相關問題求解。

例3 （本題來自2014·南寧，有改動）如圖4，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k>0）與直線y=kx+1交于兩點A、B，點B點在A點的右側，同時和x軸相交于兩點C、D（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否只存在一點Q，可以使∠OQC=90°？如果存在，那么請求出k的值；如果不存在，請說明理由。

解：由，得C、D（1，0）。

設點Q的坐標為（m，km+1）。

如圖5，作QM⊥y軸于Q，作CN⊥QM于N。

當∠OQC=90°時，△QMO∽△CNQ。

所以。因此。

整理成關于m的方程，得。

如果只存在一點Q，可以使∠OQC=90°，那么關于m的方程有兩個相等的實數根。

所以。解得。

四、利用圓的有關角的一些特殊關系

由圓周角定理推論可知，直徑（或半圓）所對應的圓周角是直角。同時，直徑的兩個端點和圓內任意一點所圍成的三角形是鈍角三角形，這一結論往往對解決有關角的大小問題具有很好的效果。

例4 （2014·廣州，經改動）已知A（﹣1，0）與B（4，0）是平面直角坐標系中兩個定點。有拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0），點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點。拋物線經過點A與B，其頂點為C。

（1）請求出該頂點C的坐標和拋物線的解析式

（2）求當m的取值范圍為多少時，∠APB為鈍角。

解：（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；C（，﹣）.

（2）如圖6，以AB為直徑作圓M，則拋物線在圓內的部分，

∵P′是拋物線與y軸的交點，∴OP′=2，

∴MP′==，∴P′在⊙M上，∴P′的對稱點（3，﹣2），

∴當﹣1

幾何命題證明的魅力就在于其獨特靈活的技巧以及多樣的策略。而選擇利用輔助圓解決角的大小問題更使幾何證明題有著別樣的趣味，獨特的方法使人深受啟發。若能合理地運用構造輔助圓解決角的大小問題，不但可以使問題變得簡明，而且對進一步認識數學知識的內在規律和聯系、提高綜合運用知識的能力、培養創造性思維能力大有裨益。