極小最大量子態區分

張文海，張夢迪

（淮南師范學院 電子工程學院，安徽 淮南 232038）

極小最大量子態區分

張文海，張夢迪

（淮南師范學院 電子工程學院，安徽 淮南 232038）

得到在未知先驗概率的情況下，區分三個非正交量子態的最優概率，給出了求解這類問題的公式，同時，把這類區分和Bayesian非正交量子態的區分相比較。該方法可以推廣到N個非正交量子態問題的區分。

量子態區分；POVM測量；確定性區分；極小最大區分

量子力學的疊加原理指出，量子態可以是正交本征量子態的概率疊加。這也說明在量子態中，既有正交的量子態，也有非正交量子態的存在。由于量子不可克隆定理的限制［1］，正交的量子態可以被精確地測量，而非正交的量子態則不可能精確地測量。在量子信息科學中，量子密碼術［2］就是使用非正交量子態作為量子編碼，這樣，竊聽者就不可能精確的復制通信雙方的信息。非正交量子態區分理論［3-4］為量子密碼術的安全性提供理論支撐，是量子密碼術理論研究的核心，同時，也揭示了認識量子世界的限度。

由于不可能被精確地測量，非正交量子態的測量方式可能會出現兩種。第一，可能量子測量會出錯誤，但測量著希望出錯誤的概率最?。∕inimum Error Discrimination，MED）。第二，在測量中不允許出現錯誤，但有時可能測量不到所需要的結果，但是，一旦測量到結果，則測量結果是明確的 （OptimalUnambiguousdiscrimination，OUD）。假設具有輸入先驗概率p1和p2=1-p1的兩個非正交量子態，量子系統可以表示為（其中是量子系統的密度矩陣），根據量子力學量子系統的保跡性，可以有（其中Tr是求跡算符運算）。利用廣義量子測量（Generalized Measurements）或稱正定算符值測量（Positive-Operator-Valued Measures，POVM）［5-7］，可以在理論上給出 MED和OUD的測量結果的最優值。對MED測量，定義POVM元M^i滿足完全性關系（其中為單位算符）。當測量到時可以認為輸入態是，因此MED測量可以表示為

能夠正確判斷測量結果的概率為

由于不允許出現錯誤，當測量到O^i時輸入態一定是，這要求。當測量到時，不能判斷輸入態。因此，能夠正確判斷測量結果的概率為

利用POVM測量，可以得到（3）和（6）式，同時也給出POVM元M^i和O^i的具體形式。然而，由于M^i和O^i都是非正交算符，在物理實驗中不可能直接實現，因而不能直接驗證理論的正確性。

一般情況下，輸入量子態的先驗概率是已知的，因此，以上所述的OUD和MED測量方案都可以稱為Bayesian（貝葉斯）非正交量子態的區分。本文研究在未知先驗概率的情況下，區分三個非正交量子態的最優概率（MUD），主要研究確定性區分。我們首先確定三個非正交量子態的一般形式，然后利用可以在物理系統中可以直接實現的幺正變換，給出了求解這類問題的公式，同時，把這類區分和Bayesian（貝葉斯）非正交量子態的區分相互比較。我們的方法可以推廣到N個非正交量子態這類問題的區分。

1　區分兩個非量子態的測量

假設具有輸入先驗概率p1和 p2=1-p1的兩個非正交量子態，可以不是一般性的令兩個非正交量子態的內積為，其中s∈（>0，1）和。我們首先讓輸入量子態經過一個幺正變換，可以表示為

下面我們求成功概率的最大值。

從（7）式可以得到幺正變換的內積為

顯然，從（9）式，可以直接得到最優測量概率為

這可以和由（6）式的OUD測量作為比較，兩種測量方式得到的概率是一樣的，只是OUD的條件是先驗概率為p1=p2=1/ 2。下面我們求解三個非正交量子態的測量。

2　三個非正交量子態的測量

假設具有先驗概率 p1，p2和 p3的三個輸入非正交量子態，三個先驗概率滿足p1+p2+p2=1。我們研究確定性區分，因此，三個非正交量子態必須是線性無關的［3］。區分可以是一般性的，令三個非正交量子態的內積為，其中sij∈（）0，1和。類似于兩個非正交量子態的測量，我們設幺正變換為

下面我們來求失敗概率的最小值。從（11）式可以得到量子態的內積為

失敗態必須是線性相關的。反之，如果是線性無關的，可以再進行下一個幺正變換，直至失敗態線性無關為止。同時，可以設失敗態滿足

這樣，得到求解BUD的問題為在條件下，求Q（）BUD的最小值。

我們給出幺正變換的（14）式，也是給出可以直接測量的POVM。

在未知先驗概率時，這就意味著失敗概率不依賴先驗概率。因此，可以令qi=q≠1。在簡化條件后，可以給出Max（）sij＜q＜1的條件。所以，求解條件為 在條件下， 求Q（）MUD的最小值。

對于BUD和MED，它們有不同的標準，這就導致它們有不同的約束條件，（15）和（16）式就是它們的約束條件。例如，對于BUD，條件可以是qk＞sij，但對于MED，條件必須是q＞Max（）sij。同時，對于BUD，可以存在某個失敗概率是qk=1，這量子態不能被區分；但對于MUD，失敗概率條件q＜1保證所有的輸入量子態一定能被區分。下面，我們來比較這兩種區分。

3BUD和MUD的比較

對于BUD，從條件Δ~（）BUD=0可得，失敗態的行列式為：

其中 α=φ12+φ23+φ31稱為 Berry相?，F在考慮MUD，利用（16）式，經過計算后可得到解析式

其中

現在對BUD和MUD做一個比較。假設三個非正交線性無關的量子態內積為 s23=0.5，s31=0.3和0≤s12≤0.976，并且cosα=1，先驗概率相同 pi=1/3。在 0＜s12≤0.187 5區域內，有qi＜1，則解為；在區域0.187 5≤s12≤0.6，有qi＜1，則解為；在區域內，

圖1給出BUD和MUD的比較，其中MUD意味著的解可以直接從（18）式中得到。

圖1　BUD和MUD的比較，其中s23=0.5，s31=0.3和0≤s12≤0.976，并且cos α=1

圖2　以cosα為參數的

對于N≥4的情況，即：確定性區分N個線性無關的非正交量子態，我們提供的方法仍然有效。假設以先驗概率pi（且滿足給出N個線性無關的非正交量子態，其內積為，則幺正變換為

其中失敗態滿足

4　結論

本文研究在未知先驗概率的情況下，研究確定性量子區分。首先研究了兩個非正交量子態的區分，然后推廣到三個線性無關的非正交量子態的區分。同時，我們將BUD和MUD的兩種結果作了比較。同時，我們提供的方法可以推廣到對N個線性無關的非正交量子態的確定性分。

［1］ Wootters W K，Zurek W H.A single quantum cannot be cloned［J］.Nature（London）1982，299：802-803.

［2］ Gisin N，Ribordy G，Tittel W，et al.Quantum cryptography［J］，Reviews of Modern Physics，2002，4：145-195.

［3］Chefles A.Quantum state discrimination［J］.Contemporary Physics，2000，41，401

［4］ Barnett S M，Croke S.Quantum state discrimination ［J］.Advances in Optics and Photonics，2009，1：238

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［11］Peres A.How to differentiate between non-orthogonal states［J］.Physics LettersA，1988，128（1/2）：19.

Minimax quantum state discrimination

ZHANG Wen-Hai，ZHANG Meng-Di

（School of Electronic Engineering，Huainan Normal University，Huainan Anhui，232038，China）

We derive the optimal probabilities for minimax unambiguous discrimination（MUD）among three pure states without knowing a priori probabilities.We present the formulation for solving the MUD problem，and make a detailed comparison between MUD and Bayesian unambiguous discrimination（BUD）with a priori probabilities when N=3.Our method can be generalized to any N linearly independent pure states.

quantum state discrimination；POVM measurement；unambiguous discrimination；Minimax unambiguous discrimination

O0413

A

1004-4329（2016）01-027-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-027-04

2015-10-11

淮南師范學院2015年“支持百名優秀學生課外科技實踐創新活動基金”項目（2015XS157）資助。

張文海（1968-），男，博士，副教授，研究方向：量子信息。