考慮投標者后悔的一級密封拍賣的最優投標策略

高廣鑫，樊治平

東北大學 工商管理學院，沈陽 110167

考慮投標者后悔的一級密封拍賣的最優投標策略

高廣鑫，樊治平

東北大學 工商管理學院，沈陽 110167

許多實驗研究表明，投標者在拍賣過程中表現出的預期后悔心理行為會對投標策略產生影響，在這種情況下如何確定最優投標策略是一個值得關注的問題。

針對一級密封拍賣的最優投標策略確定問題，分別采用線性函數和非線性函數刻畫投標者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，構建非線性拍賣模型，通過模型求解分析最優投標策略；進一步地，給出確定拍賣模型中描述投標者后悔心理行為參數的實驗方法，并通過一個關于SO2排污權拍賣的實例分析說明非線性拍賣模型及實驗方法的可行性和潛在應用。

研究結果表明，最優投標策略與投標者價值和后悔行為有關；最優投標策略為獲勝者后悔參數的減函數，且為失敗者后悔參數的增函數；完全理性的最優投標策略是所得最優投標策略的特例；當投標者人數非常多時，完全理性的最優投標策略是報出自身的真實估價；在僅考慮投標者獲勝后悔情形下，其最優投標策略與線性拍賣模型所得結果相同，且低于完全理性的最優投標策略；在僅考慮投標者失敗后悔情形下，其最優投標策略高于完全理性的最優投標策略；與線性拍賣模型比較，由非線性拍賣模型得到的最優投標策略更接近于真實投標報價。提出的非線性拍賣模型為解決現實拍賣中考慮投標者心理行為的最優投標策略確定問題提供借鑒。

一級密封拍賣；預期后悔心理行為；非線性拍賣模型；投標策略；實驗方法

1 引言

在現實生活中，古董交易、農畜產品買賣、礦產開采權轉讓等經濟活動大多是通過拍賣實現的[1]，此外，拍賣也常被用于定向購買商品或服務[2]。通常，拍賣有多種形式，如英式拍賣、荷式拍賣、一級密封拍賣和二級密封拍賣等[3]，不同拍賣形式下的投標者價值、拍賣定價及配置效率均存在差異[4]。其中，一級密封拍賣是最為常見的拍賣形式[5]，是指投標者以書面密封形式出價競標，且出價最高者以其報價獲取標的物[6]。關于一級密封拍賣投標策略的行為實驗研究表明[7]，在拍賣過程中投標者往往表現出預期后悔心理行為，并且投標者的后悔心理行為會對投標策略產生影響。因此，本研究在考慮投標者預期后悔心理行為的情況下，通過構建并求解考慮投標者后悔心理行為的一級密封拍賣模型，對最優投標策略進行分析，并給出確定拍賣模型中描述投標者后悔心理行為的參數的實驗方法。

2 相關研究評述

關于考慮投標者后悔心理行為的一級密封拍賣問題的研究成果中，與本研究最直接相關的是ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[7-8]針對一級密封拍賣中投標者后悔心理行為對投標策略影響的研究，他們認為在現實拍賣中，出現偏離風險中性納什均衡投標價(risk neutral Nash equilibrium, RNNE)的超投標或低投標現象是由投標者的后悔心理行為引起的。ENGELBRECHT-WIGGANS[9]認為在一級密封拍賣中，投標者獲得的效用不僅依賴于其期望的貨幣收入，同時也依賴于獲勝者后悔和失敗者后悔兩方面的情感因素，也就是說投標者的后悔心理行為將會對其投標策略產生影響。通常情況下，當投標者對于獲勝者后悔敏感時會降低平均投標價，而當投標者對于失敗者后悔更敏感時便會提高平均投標價[8]。而FILIZ-OZBAY et al.[10]側重于研究預期失敗者后悔對于投標策略的影響，認為超投標現象主要是由失敗者后悔導致的，而在投標者獲勝的情形下，其一般不會預期后悔，并且不會出現明顯的低投標現象。

此外，還有學者進行投標者后悔對投標策略影響的實驗研究。ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[11]利用與后悔心理行為相關的反饋信息作為變化的實驗條件，分析在不同實驗條件下投標者后悔與其投標策略的關系；DU et al.[12]通過實驗方法研究投標者在投標過程中預期后悔與實際經歷的后悔之間的差異，分析預期后悔對投標策略的影響，并得到預期后悔大于實際經歷的后悔的結論；ASTOR et al.[13]從心理學的視角研究獲勝者和失敗者后悔，并通過心理學實驗操縱投標者情感進程來驗證ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]研究工作中不同類型的后悔參數的準確性。

綜上，已有研究解釋了在拍賣中出現的不等于RNNE的超投標或低投標等非理性現象，對考慮投標者行為的一級密封拍賣的投標策略研究做出了重要的貢獻。需要特別指出的是，ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]是在投標者對于后悔感知是風險中性的假設基礎上，通過采用線性函數刻畫投標者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，并分析其對于投標策略的影響，他們認為次高價與投標者獲勝價或獲勝價與投標者價值的差值的增長與投標者后悔值的增長均成等比關系。但是，已有研究表明[10]，在現實拍賣中，相對于投標所獲得的期望效用，投標者往往更關心自己是否獲勝，因此，其通常會事先預期失敗者后悔，而對于獲勝者后悔一般不會有所預期，且不會出現明顯的低投標現象。也就是說，投標者對于失敗者后悔是敏感的，而對于獲勝者后悔是相對不敏感的，這是由于獲勝者后悔影響的是投標者獲得的期望效用大小，而失敗者后悔影響的則是投標者的最終獲勝狀態[8]。進一步地，投標者認為其對獲勝價與投標者價值之間的差值愈大愈敏感[14]，即投標者預期失敗者后悔值的變化程度要大于獲勝價與投標者價值的差值的變化程度，在這種情況下，采用線性后悔函數刻畫投標者的失敗者后悔行為是有局限性的。此外，在已有研究中，關于確定描述投標者后悔心理行為參數的具體實驗方法尚不多見。因此，有必要針對ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]的工作進行深入的擴展研究。

基于上述分析，本研究進一步研究針對考慮投標者后悔心理行為情況下的一級密封拍賣的投標策略確定問題，通過分別采用線性函數和非線性函數刻畫投標者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，并通過構建拍賣模型及模型求解，對最優投標策略進行分析，同時給出確定拍賣模型中描述投標者后悔心理行為的參數的實驗方法。

3 問題描述

這里考慮不可分割的單物品一級密封拍賣最優投標策略確定問題。記A為參與投標的n個投標者的集合，A={A1,A2,…,An}，其中，Ai為第i個投標者，且投標者Ai與其他(n-1)個競標者同時參與投標。令vi為投標者Ai對標的物的估價(即投標者價值)，0≤vi≤1；bi為投標者Ai針對標的物的投標價，且0≤bi≤vi，若投標者Ai獲勝，則其收益為(vi-bi)。令v-i為除Ai外的其他(n-1)個競標者中的任一估價，b-i為除Ai外的其他(n-1)個競標者中任一估價的投標價，v-i的分布函數為G(·)，z為其他(n-1)個競標者中針對標的物的最高投標價，假設z服從概率分布，其分布函數為F(·)，且密度函數為f(·)。

在做出決策時，人們通常會被一種反事實想法所困擾，即如果其選擇不同的決策方案，將可能會有更有利的結果，從而產生后悔的負面心理行為[15]。這里，考慮投標過程中投標者的兩種預期后悔心理行為，即獲勝者后悔行為[8]和失敗者后悔行為[16]，具體描述如下。

(1)獲勝者后悔。假設拍賣結束后，投標者Ai不僅會得知獲勝狀態，當其投標獲勝時，還可以知道次高價信息。這種情況下，若該投標者預期此次拍賣投標獲勝，即P(bi>z)，則意味著投標者Ai為了贏得標的物將多支付(bi-z)個單位數量的貨幣。實際上，其只要出比z高最小單位數量的投標價便可獲勝，并且支付將會減少。通過與次高價z比較得知，Ai會為可能多支付的不必要的貨幣而產生后悔預期，進而在實際拍賣中，Ai便會相應地降低投標價，通過縮小與次高價之間的差距來增加自己的收益。

(2)失敗者后悔。假設拍賣結束后，投標者Ai不僅會得知獲勝狀態，當其投標失敗時，還可以知道獲勝價信息。這種情況下，若該投標者預期此次拍賣投標失敗，且獲勝價是在其可承受的范圍內，即P(bi

顯然，影響投標者事前期望效用的因素體現在兩個方面，一個是投標者獲勝的期望收益；另一個是投標者的預期后悔感知，這里可能是獲勝者后悔或者是失敗者后悔。本研究要解決的問題是，在考慮影響投標者事前期望效用的因素的情況下，如何構建考慮投標者后悔行為的一級密封拍賣模型，并通過模型求解確定最優投標策略。相應地，還要考慮如何確定模型中的相關參數值。

4 拍賣模型

為了解決上述提及的問題，下面分別給出投標者后悔心理行為刻畫、拍賣模型構建以及最優投標策略確定的描述。

4.1 投標者后悔心理行為刻畫

在實際拍賣過程中，投標者并非是完全理性的[17]，其不僅關心獲勝的期望收益，而且關心選擇不同投標策略時可能產生的相對效用，即投標者預期后悔[18]。在這種不確定的決策環境下，相對效用值通?？梢酝ㄟ^不同方案之間的比較來測量[19]，即投標者在投標獲勝時的投標價與可能的次高價之間的差值，或者其投標失敗時的投標者價值與可能的獲勝價之間的差值。為了便于分析，下面給出投標者Ai的獲勝者后悔函數RW(ΔvW)和失敗者后悔函數RL(ΔvL)構建過程的描述。

由上述獲勝者后悔行為和失敗者后悔行為的描述可知，獲勝者后悔將對投標者獲得的期望效用大小產生影響，而失敗者后悔將對投標者的最終獲勝狀態產生影響[8]。在現實拍賣中，投標者通常更關注于自己的獲勝狀態，也就是說，相對失敗者后悔而言，投標者對獲勝者后悔的預期感知并不敏感[10]。因此，這里考慮采用已有的線性后悔函數刻畫投標者的獲勝者后悔心理行為[7]，即

RW(ΔvW)=αΔvW

ΔvW=z-bi

其中，ΔvW為次高價與投標者獲勝價的差值，且ΔvW≤0；α為投標者獲勝的后悔參數，0≤α≤1，且α越大，表示投標者預期的獲勝者后悔程度越大。

RL(ΔvL)=1-exp(-βΔvL)

ΔvL=z-vi

其中，β為投標者失敗的后悔參數，0≤β≤1，且β越大，表示投標者預期的失敗者后悔程度越大[25]。失敗者后悔函數RL(ΔvL)的示意圖見圖1，由圖1可知，隨著β值的增大，|RL(ΔvL)|也隨之增大，且|RL(ΔvL)|增大的變化比例明顯大于|ΔvL|增大的變化比例。

圖1 失敗者后悔函數RL(ΔvL)Figure 1 The Loser′s Regret Function RL(ΔvL)

4.2 拍賣模型構建

為了構建考慮投標者后悔行為的一級密封拍賣模型，做出如下假設。

假設1 拍賣者不設置保留價；

假設2 在拍賣過程中，投標者Ai存在預期后悔心理行為，且其對于獲勝者后悔是風險中性的，而對于失敗者后悔是風險敏感的[10]，除Ai外的其他(n-1)個競標者是風險中性的[26]；

假設3 投標者Ai預期后悔心理行為對其事前期望效用的影響與后悔值的大小成反比，即在投標者獲勝收益一定時，后悔值越大，則投標者的事前期望效用越小，反之亦然；

假設4 除Ai外的其他(n-1)個競標者的估價被視為私人信息，且相互獨立。同時，估價是對稱的，即其他(n-1)個競標者的估價在某一區間內服從同一概率分布，其分布函數記為G(·)。

這里需要指出的是，依據經典拍賣理論可知[27]，假設1與傳統拍賣假設一致；一級密封拍賣的行為實驗表明[7]，投標者在投標過程中存在后悔心理行為，并且相對于獲勝者后悔，投標者對于失敗者后悔更敏感，依據實際投標情況可知，假設3意味著投標者的期望效用與自身的后悔心理行為有關，因此假設2和假設3是合理的；某些拍賣物品并不存在確定的價值(如式樣唯一的手工藝品)，其對每個投標者的價值都不相同，投標者的報價只依賴于自身對于此拍賣物品的估價[28]，因此假設4不僅滿足獨立私人估價條件，而且符合拍賣實際。

F(bi)]

i=1,2,…,n

(1)

進一步地，(1)式可以被簡化為

(2)

(2)式就是本研究建立的考慮投標者后悔心理行為的一級密封拍賣模型。在模型(2)式中，分布函數F(z)與其他(n-1)個競標者的估價分布函數G(v-i)相關，在關于最優投標策略的研究中，通常假設v-i服從[0,1]范圍內的均勻分布[8]，即G(v-i)=v-i。在一級密封拍賣環境下，每個投標者僅根據自己的私人信息對拍賣品進行估價，與其他競標者的私人信息無關，因此，有限個投標者的估價在某個區間內擁有相同的概率，即假設其他(n-1)個競標者的估價服從均勻分布符合拍賣實際。此外，投標價與估價(投標者價值)之間存在增函數關系[29]，為了便于分析，這里考慮其他(n-1)個競標者的投標價b-i與v-i之間呈線性正比關系，令θ為相關性系數，則存在b-i(v-i)=θv-i，顯然b-i(v-i)∈[0,θ]。若記x為n個投標者中的任一投標價，則關于x的分布函數F(x)可以寫成

F(x)=P(z≤x)=P(θv-i≤x)n-1

(3)

4.3 最優投標策略確定

針對模型(2)式，可以確定最優投標策略，即貝葉斯-納什均衡投標策略[30]，為此，有如下結論。

證明：依據bi的取值范圍，下面就3種情況分別討論投標者Ai的最優投標策略。

(1)當bi≤0時，意味著其他(n-1)個投標者給出的投標價均不低于投標者Ai的投標價，即投標者Ai投標失敗，則Ai的獲勝概率為0，因此，Ai在投標前僅能感知到失敗者后悔。在這種情況下，由(2)式表示的投標者Ai期望效用可變為

(4)

由(4)式可知，期望效用與投標價bi無關，且在現實中bi是非負的，因此可將bi=0視為期望效用最大化時的投標價，即投標者Ai選擇不參與競拍是占優策略。

(2)當bi≥1時，意味著投標者Ai給出的投標價大于或等于其他(n-1)個投標者所給出的投標價，即投標者Ai獲勝，則Ai的獲勝概率為1，其投標獲勝收益為(vi-bi)，因此，投標者Ai在投標前會產生獲勝者后悔預期。在這種情況下，由(2)式表示的投標者Ai期望效用可變為

(5)

若將(3)式代入(5)式，則(5)式可變為

(6)

(3)當bi∈(0,1)時，意味著投標者Ai投標可能獲勝也可能失敗，在這種情況下，投標者Ai的期望效用是由(2)式所表述的。若將(3)式代入(2)式，Ai的期望效用函數可表示為

vi)]}zn-2dz

(7)

(8)

為方便起見，(8)式可以寫成

(9)

(10)

由(10)式可推導出：當如下不等式

(11)

根據定理1，可得到如下5個推論。

推論1 投標者的最優投標策略為獲勝者后悔參數α的減函數，且為失敗者后悔參數β的增函數。

針對(8)式兩邊分別對α求導，可得

故投標者的最優投標價為獲勝者后悔參數的減函數。

類似地，針對(8)式兩邊分別對β求導，可得

故投標者的最優投標價為失敗者后悔參數的增函數。證畢。

推論2 當bi∈(0,1)時，由(8)式可以看出，投標者Ai關于最優投標策略bi的確定不僅與投標者價值vi有關，而且與描述投標者心理行為的后悔參數α和β有關。

推論3 在考慮投標者是完全理性的情況下，即投標者后悔值R(Δv)=0(α=β=0)，由(8)式可知投標者Ai的最優投標策略為

這一結果與VICKREY[27]得到的風險中性納什均衡投標策略(RNNE)相同，推論3意味著本研究的拍賣模型能夠推廣到完全理性的假設條件下，即完全理性投標策略是考慮后悔行為的投標策略的特例。

5 拍賣模型中后悔參數確定的實驗方法

由(8)式可以看出，后悔參數α和β對最優投標策略是有影響的，并且后悔參數的確定取決于投標者的投標者價值和投標價。在投標者價值既定的情況下，投標者的投標價通?？梢酝ㄟ^實驗方法來確定[31]。因此，為了確定后悔參數，這里給出獲取投標者投標價的實驗方法，該實驗方法是一個拍賣模擬實驗方法。為了進行拍賣模擬實驗，可事先運用面向對象的程序設計開發一級密封拍賣系統[32]。在完成系統開發后，讓參與實驗的被試使用該系統進行模擬實驗。具體地，參與實驗的被試進入實驗室后首先領取實驗說明，并根據隨機分配的計算機編號，找到相應機位以等待實驗的進行。每個被試登陸系統后需在計算機上獨立完成所有操作，在實驗過程中，將采用真實的貨幣激勵方式，付給被試一定的出場費；此外，如果被試嚴格按照實驗要求進行投標且所提供數據均為有效數據，那么其還將會獲得額外獎勵。實驗方法由被試、實驗設計、實驗程序等3個部分組成，下面分別對這3個部分給予說明。

5.1 被試

以某一個特定的物品作為拍賣標的物進行一級密封拍賣的模擬實驗，該模擬實驗由一名實驗組織者或實驗操作者組織完成。在實驗過程中，選取40名被試參與模擬拍賣實驗，并要求被試事先了解拍賣和投標的相關知識，并熟悉該標的物的拍賣過程。

5.2 實驗設計

本研究的實驗設計參照ENGELBRECHT-WIGGANS et al.[8]針對考慮投標者心理行為的投標策略研究中給出的實驗設計，依據實驗組織者對被試提供或不提供獲勝者和失敗者后悔反饋信息，設計如下4種實驗條件。

實驗條件1 拍賣組織者對被試不提供其投標獲勝時的次高價信息和投標失敗時的獲勝價信息；

實驗條件2 拍賣組織者對被試提供其投標獲勝時的次高價信息，不提供其投標失敗時的獲勝價信息；

實驗條件3 拍賣組織者對被試提供其投標失敗時的獲勝價信息，不提供其投標獲勝時的次高價信息；

實驗條件4 拍賣組織者對被試提供其投標獲勝時的次高價信息和投標失敗時的獲勝價信息。

針對上述每個實驗條件，均要求隨機選擇10個被試參與拍賣模擬實驗，且每個被試僅在一種實驗條件下進行拍賣模擬實驗。

5.3 實驗程序

實驗程序主要由實驗操作和參數確定兩部分組成，實驗操作是指拍賣模擬實驗的具體操作要求和實驗過程，參數確定是指依據通過實驗獲取的數據并運用計算公式來確定具體的后悔參數值。

5.3.1 實驗操作

在實驗前，事先設定5個較大的投標者價值取值水平(如50、60、70、80、90，這里投標者價值的最大取值設定為100)。實驗中，要求每個被試在每個設定的投標者價值取值水平下，依據自身對標的物的心理出價水平重復投標20次，但要求被試的出價水平不能高于設定的投標者價值，這樣，一個被試共需要進行100次投標出價決策；在每一次投標過程中，設計每個被試與兩個計算機模擬投標者競標(即n=3)，實驗組織者將告知被試，計算機模擬投標者采取的是使其預期收益最大化的投標策略(即納什均衡投標策略)，但具體投標價對于被試是未知的，從而為所有被試創造一個相同的信息環境。本實驗為被試提供了一個大量拍賣的環境，這樣能使被試進一步理解自身投標決策對拍賣結果的影響，從而在進行每次投標出價決策之前會更加慎重，同時通過重復實驗也能夠使被試加速學習。下面給出實驗操作中的兩點說明。

(1)實驗前事先設定5個較大投標者價值取值水平的原因在于：一方面，拍賣中投標獲勝者通常具有較大投標者價值，通過設定較大的投標者價值，能夠更加明確后悔心理行為對拍賣結果的影響；另一方面，具有較小投標者價值的投標者，通常意味著其投標價也相對較低，這樣其投標獲勝的概率就會較小，繼而一些投標者將不認真進行實驗，從而對實驗產生干擾數據。因此，設定較大的投標者價值能夠很好地避免干擾數據的產生。

(2)實驗中，設計每個被試與兩個計算機模擬的競爭對手競標的原因在于：首先，是能夠有效消除其他外源變量(如相互勾結、圍標等)的影響；其次，利用計算機模擬投標者能夠滿足與被試競標的其他投標者是風險中性和獨立估價的假設。

5.3.2 后悔參數確定

(12)

(13)

6 實例分析

為了說明上文給出的考慮投標者后悔心理行為的一級密封拍賣最優投標策略確定方法，這里給出確定SO2排污權拍賣的最優投標策略的一個實例。

SO2排污權交易或拍賣在中國的發展還處于起步階段[33]，排污權拍賣是應用經濟手段優化環境容量資源配置、控制環境污染的一種新型的環境政策[34]，是控制企業排污量、預防環境污染的一種有效措施[35]。在排污權交易中，政府環境監管部門依據對環境的監測和環境質量目標，推算出環境允許污染物的最大排放量，并將最大排放量劃分為若干規定的排放量，通常稱為若干的排污權，政府可將一定比例的排污權進行拍賣交易[36]，而不同的企業可根據自身實際利益和對環境的污染程度決定是否買入相應的排污權[37]。由于企業對于排污權的估價是與自身的治污能力相關的，所以不同企業對于排污權的估價和出價是不同且相互獨立的，并且每個企業是密封投標的，因此可將此種交易機制視為一種一級密封拍賣交易機制。這里，考慮中國東北地區S市政府擬將SO2排污權按一級密封價格拍賣方式向該地區的n個廠商進行暗標拍賣，即要求各廠商根據自身對于排污權的估價將其報價寫下來裝入信封，以密封的形式交給政府，最高投標價者將獲得排污權并支付其投標價。環境監管部門在對S市SO2排污權交易市場調查研究后，發現共有15個廠商準備參與投標。假設廠商(投標者)Ai以外的其他14個廠商對排污權估價的累積分布函數為G(v-i)=v-i，投標價范圍為[0,1](單位：10萬元/噸)；投標者Ai對于排污權的估價為0.800/10萬元/噸。這里，考慮如何確定投標者Ai的最優投標策略，首先進行投標者的后悔參數的確定，然后通過求解拍賣模型確定最優投標策略。

6.1 后悔參數的確定

根據上文給出確定后悔參數的實驗方法，這里針對SO2排污權拍賣為實際背景進行模擬實驗，以便確定影響SO2排污權拍賣最優投標策略的后悔參數值。下面簡要給出模擬實驗的相關說明。

(1)實驗環境

在實驗之前，通過雅奇MIS設計開發了專用的一級密封拍賣系統[38]，利用Access 2003存儲數據。本次實驗在東北大學工商管理學院實驗室進行，被試為40人，均為該學院管理科學與工程專業的博士研究生和碩士研究生，男生22人，女生18人，年齡在22歲～27歲之間(M=23.760，SD=1.360)。被試進入實驗室后首先領取實驗說明(見附錄A)，并根據隨機分配的計算機編號找到相應機位，然后按照實驗說明在一級密封拍賣系統中獨立進行拍賣模擬實驗。

(2)實驗數據分析

利用最小二乘法[39]分析可知，在提供獲勝者后悔反饋信息條件下平均投標價隨時間而降低(p值為0.001)，在提供失敗者后悔反饋信息條件下平均投標價隨時間升高(p值為0.005)；然而，在其他實驗條件下則不會出現這種情況，可見重復實驗的過程也是被試逐漸學習的過程。

依據上文給出參數確定中的數據處理方法，將不同實驗條件下被試的投標價進行均值規范化處理，結果見表1。由表1可知，在4種實驗條件下，提供兩種后悔反饋信息實驗條件下的平均投標價低于提供失敗者后悔反饋信息條件下的平均投標價，且高于提供獲勝者后悔反饋信息條件下的平均投標價；類似地，不提供后悔反饋信息實驗條件下的平均投標價同樣低于提供失敗者后悔反饋信息條件下的平均投標價，且高于提供獲勝者后悔反饋信息條件下的平均投標價。

圖2 在4種實驗條件下相同投標者價值水平時的投標價與投標者價值比值的均值Figure 2 Average Bid Prices in Line with the Same Bidder′s Value under Four Different Experimental Conditions

表1 實驗數據的規范化處理結果Table 1 Normalization Treatment Results of the Experiment Data

在拍賣模擬實驗過程中，一些被試認為，除非他們獲勝，否則他們將不會獲得任何收益，而另一些被試則從獲勝概率的角度認為低的投標價可能會導致錯失一個以合適的價格贏得標的物的良好機會，但幾乎很少有人在實驗中會預期獲勝者后悔的概率。因此，可以看出被試趨向于考慮失敗者后悔，直到被試經歷了很多次投標以后才會趨向于考慮獲勝者后悔，所以投標者在提供獲勝者后悔反饋信息條件下將會隨著時間的推移降低投標價。同時，投標者在提供失敗者后悔反饋信息條件下也會隨著時間的推移提高投標價。通過圖2和表1可以看出，在提供獲勝者后悔反饋信息和提供失敗者后悔反饋信息兩種實驗條件下投標價確實按著預期的方向發展。但是，如果獲勝者后悔反饋信息隨著時間推移有更強的影響作用，那么在提供兩種后悔反饋信息實驗條件下投標價則會隨著時間降低，但沒有在單純提供獲勝者后悔反饋信息實驗條件下降低的多。

已有研究中，FILIZ-OZBAY et al.[10]認為投標者在投標之前一般會預測失敗者后悔，而對于獲勝者后悔一般不會預測，也不會出現明顯的低投標現象。這一結論與本研究上述實驗數據分析結果相一致，即被試在實驗中更趨向于考慮失敗者后悔，直到被試經歷了很多次實驗以后才會趨向于考慮獲勝者后悔。因此，為了便于分析和計算，這里設定在不提供后悔反饋信息條件下，α=0；將處理后的實驗數據代入(13)式可得，在不提供后悔反饋信息條件下，β=0.157。α=0的含義是投標者在不能獲取與后悔相關的反饋信息情況下，其不會預期獲勝者后悔；β=0.157的含義是投標者在這種實驗條件下會對失敗者后悔有所預期，且后悔感知程度較小。該參數估計值對制定投標策略的影響是，投標者在這種信息條件下會在一定程度上提高實際投標價。特別地，在提供失敗者后悔反饋信息條件下，β′為投標者失敗時的后悔參數，β′=0.549，其含義是投標者在可以得知投標的獲勝價情況下，會對失敗者后悔有比較高的心理預期。該參數估計值對制定投標策略的影響是，投標者在這種信息條件下會顯著提高實際投標價。類似地，依據(12)式可計算得到在提供獲勝者后悔反饋信息條件下，α′為投標者獲勝時的后悔參數，α′=0.216，其含義是投標者在可以得知投標的次高價情況下，會對獲勝者后悔有一定的心理預期。該參數估計值對制定投標策略的影響是，投標者在這種信息條件下會在一定程度上降低實際投標價。

6.2 參數分析

6.3 最優投標策略的確定

通過本研究實驗分析可知，在考慮拍賣者是否對投標者提供獲勝者后悔反饋信息的情況下，投標者獲勝時的后悔參數值不同；類似地，在是否為投標者提供失敗者后悔反饋信息的情況下，投標者失敗時的后悔參數值也是不同的。因此，針對本節給出的實例，將從提供4種不同反饋信息的拍賣機制角度進行分析計算。

(1)拍賣結束后，拍賣者對投標者除提供獲勝狀態外同時提供失敗時的獲勝價和投標者獲勝時的次高價信息(即向投標者提供兩種后悔反饋信息)，這時投標者Ai的事前期望效用為

(14)

此時，投標者的最優投標策略為

(15)

(2)拍賣結束后，拍賣者對投標者除提供獲勝狀態外同時提供投標者獲勝時的次高價信息(即向投標者提供獲勝者后悔反饋信息)，這時投標者Ai的事前期望效用為

表2 針對不同實驗條件和參數取值水平的非線性投標模型和線性投標模型的實驗數據對比分析Table 2 The Comparative Analysis of the Non-linear and Linear Auction Model under Different Experimental Conditions and Parameter

注：相對獲勝者后悔，投標者在拍賣中對失敗者后悔更加敏感，在同一實驗條件下參數取值設置為α≤β，參照已有研究和本研究實驗得到的后悔參數值，設置獲勝者后悔參數α(α′)和失敗者后悔參數β(β′)分別以0.100為步長從0.000增加到0.500進行靈敏度分析。

(16)

此時，投標者的最優投標策略為

(17)

(3)拍賣結束后，拍賣者對投標者除提供獲勝狀態外同時提供投標者失敗時的獲勝價信息(即向投標者提供失敗者后悔反饋信息)，這時投標者Ai的事前期望效用為

(18)

此時，投標者的最優投標策略為

(19)

從上述提供不同反饋信息的結果中可以看出，當提供與失敗者后悔相關的獲勝價信息時，投標者的最優投標價為7.660萬元/噸，其投標價是最高的；當提供與獲勝者后悔相關的次高投標價信息時，投標者的最優投標價為7.440萬元/噸，其投標價是最低的；而同時提供與獲勝者后悔相關的次高價和與失敗者后悔相關的獲勝價信息時，其投標價介于上述兩個結果之間，為7.590萬元/噸；拍賣之后不提供任何與后悔相關的反饋信息時，投標者的最優投標價為7.540萬元/噸。由此可以看出，提供與失敗者后悔相關的信息后，投標者的投標價確實比不提供任何后悔相關信息時的最優投標價高；而提供與獲勝者后悔相關的信息后，投標者的投標價確實比不提供任何后悔相關信息時的最優投標價低。這也進一步解釋了現實中出現的超投標和低投標的現象。盡管上述投標者對于SO2排污權最優投標價單位價格相差不是很大，但當考慮到具體的拍賣量時，投標者最終支付的金額會有相當大的差異，這對于投標者(廠商)來說將會是相當可觀的一筆“收入”。

最后，從拍賣者的角度來說，根據上述4種不同反饋信息實驗條件下產生的最優投標價的大小關系，可以選擇合適的拍賣機制，通過選擇為投標者提供不同的反饋信息來使自身的收益最大化?？梢钥闯?，拍賣者對投標者僅提供與失敗者后悔相關的獲勝價信息時能夠使自身的收益最大化，這對于實際拍賣中連續拍賣機制的設計具有很強的指導意義。

7 結論

本研究針對一級密封拍賣的最優投標策略確定問題，將投標者后悔心理行為與傳統拍賣理論相結合，給出一種考慮投標者后悔心理行為的最優投標策略確定方法。在該方法中，分別采用線性函數和非線性函數刻畫投標者的獲勝者后悔和失敗者后悔心理行為，并在此基礎上構建綜合考慮投標者預期獲勝后悔和失敗后悔的非線性拍賣模型，同時通過模型求解分析最優投標策略，進一步地，給出確定模型參數的實驗方法，并通過一個實例分析說明本研究給出方法的潛在應用價值。

理論研究結果表明，投標者的最優投標策略不僅與投標者價值有關，而且與投標者的后悔心理行為有關；投標者的最優投標策略為獲勝者后悔參數的減函數，且為失敗者后悔參數的增函數；在僅考慮投標者預期獲勝后悔時，最優投標策略與線性拍賣模型所得結果相同，并且將低于完全理性的最優投標策略，而在僅考慮投標者預期失敗后悔時，最優投標策略將高于完全理性的最優投標策略；完全理性的最優投標策略是考慮投標者后悔行為的投標策略的特例，且當投標者人數非常多時，完全理性的最優投標策略是報出自身的真實估價。

實驗研究結果表明，與線性拍賣模型比較，由非線性拍賣模型得到的最優投標策略更接近于真實投標報價，并且將非線性后悔函數引入到拍賣模型中能夠較好地反映實際拍賣中投標者的心理行為。

通過本研究得到如下管理啟示和現實意義。投標者在制定投標策略時，需要綜合考慮自身對預期后悔的感知，特別是對失敗者后悔的敏感性；拍賣組織者在拍賣機制設計時，若選擇僅向投標者提供與失敗者后悔相關的獲勝價信息，則能夠增加自身收益，而若選擇僅向投標者提供與獲勝者后悔相關的次高價信息，則將使自身收益減少。

本研究僅針對一級密封拍賣機制下考慮投標者后悔心理行為的最優投標策略確定方法進行研究，今后將探討針對二級密封拍賣、組合拍賣等其他拍賣機制下的情形；另外，還可以關注不同拍賣機制對考慮投標者心理行為的最優投標策略的影響。

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附錄A：實驗說明

(1)實驗概要

您將參加一個關于SO2排污權的拍賣模擬實驗。如果您按照本實驗說明并進行投標決策，那么依據您的良好實驗結果，得到相應的貨幣獎勵。在實驗過程中，如果有問題可以隨時舉手提問，屆時實驗操作者會及時回答您所提出的問題。在實驗室操作過程中，請不要相互交談，獨立進行實驗。

在實驗過程中，您將會與計算機模擬的兩個投標者進行投標，即共有3個投標者。計算機模擬的投標對手將采取使其期望收益最大化的策略進行投標，整個實驗您需要進行100次投標出價決策。實驗桌上有一張實驗表格，需要您在每次投標出價之后將實驗結果填入相對應的實驗表格(見附表1)。

附表1要求被試填寫的實驗數據表格

Appendix1TheExperimentalFormRequiredtoBeFilledinbySubjects

投標次數獲勝收益獲勝者后悔失敗者后悔12?99100

(2)如何獲得收益

在每次投標決策開始時，系統會自動顯示您本次投標決策的投標者價值(單位：千元/噸)。同時，計算機模擬的競爭對手的投標者價值由系統自動隨機產生，并服從[0, 100]的分布，所有投標者的投標者價值是相互獨立的，計算機模擬的競爭對手的投標策略(即如何出價)是由系統事先設定的，不會受到您投標決策的影響。

對于本次關于SO2排污權拍賣模擬實驗的投標者價值(單位：千元/噸)有50、60、70、80、90共5個取值水平，每個投標者價值會連續循環20次，在這20次投標決策中，您的投標者價值是不變的，唯一變化的是計算機模擬投標者的投標者價值和投標價，以上5個投標者價值的順序不是固定的，是由計算機隨機產生的。在每一次投標決策中，您的投標者價值和輸入的投標價會與計算機模擬的競爭對手進行博弈，在博弈的過程中，競爭對手的投標者價值和投標價是變化的。因此，請慎重確定您的投標價，本實驗規定您輸入的投標價應該大于零且不超過您的投標者價值。您獲得收益的方式是贏得SO2排污權。

(3)拍賣實驗系統的操作說明

本實驗條件下主要包括輸入界面、確認界面和結果反饋界面3個操作界面，即分別用來進行投標價的輸入、投標信息的確認、投標結果的反饋。

在“輸入界面”顯示相關控件的意義和操作說明如下。

投標者價值：系統會自動顯示您本次投標決策的投標者價值；

清空按鈕：完成數據指針的動態移動，實現投標者價值的動態改變(注：再次進入輸入界面需點擊該按鈕)；

請輸入您的投標價：在此編輯框輸入您的投標價；

更改投標價：更改已輸入的投標價；

確認投標：確認本次投標決策。

在點擊“確認投標”之后進入“信息確認界面”，在該界面同樣顯示了相關信息和操作要求，具體如下。

投標者價值：與輸入界面的投標者價值相同；

您已輸入的投標價：顯示您在輸入界面所輸入的投標價；

如果獲勝，您的收益：投標獲勝時您的收益來自投標者價值與投標價之間的差值；

如果失敗，您的收益：投標失敗時收益設定為0；

點擊“確認信息”按鍵之后進入“信息反饋界面”，該界面上顯示本次投標決策的信息如下。

獲勝狀態：是或否；

收益：投標者價值-投標價；

獲勝價：所有投標者中最高投標價；

次高價：所有投標者中第二高投標價；

獲勝者后悔：當您投標的獲勝狀態為“是”時，次高價與您的投標價之間的差值；

失敗者后悔：當您投標的獲勝狀態為“否”時，獲勝價與您的投標者價值之間的差值，反映了您錯失了一個以合適的投標價贏得該虛擬資產的良好機會。

點擊“繼續投標”按鈕，在關閉確認界面和結果反饋界面的同時回到輸入界面，進行下一次投標決策循環試驗。

附錄B：實驗數據

4種實驗條件下被試針對設定的投標者價值水平的平均投標價分別見附表2～附表5。

附表2 實驗條件1下被試針對設定的投標者價值水平的平均投標價

附表3 實驗條件2下被試針對設定的投標者價值水平的平均投標價

附表4 實驗條件3下被試針對設定的投標者價值水平的平均投標價

附表5 實驗條件4下被試針對設定的投標者價值水平的平均投標價

OptimalBiddingStrategyinFirst-priceSealedAuctionConsideringtheBidder′sRegret

GAO Guangxin，FAN Zhiping

School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110167, China

Numerous experimental studies have shown that the bidders usually exhibit the anticipated regret psycological behaviors in first-price sealed auctions and such behaviors will have impacts on the final bidding strategies. Thus, how to determine the optimal bidding strategy with consideration of the bidder′s anticipated regret is a noteworthy topic.

For the problem of the optimal bidding strategy in first-price sealed auction, a linear function and a non-linear function are adopted to describe the winner regret with respect to paying much higher price than the second highest bid price and the loser regret with respect to missing opportunities to win at a favorable price respectively. On such bases, a non-linear auction model is constructed. Then, the optimal bidding strategy is analyzed based on the above model. Further, an experimental method is carried out to determine the corresponding parameters for describing the bidder′s regret behavior. Moreover, a case study in the field of the auctions of SO2emission permits is introduced to illustrate the feasibility and its potential application of the study.

Through the theoretical analysis, we find that the optimal bidding strategy is related to not only the bidder′s value but also the bidder′s regret, which bridges the gap between the bidding strategy and the bidder′s psychological behavior. The optimal bidding strategy is the descending function of the winner regret parameter and the increasing function of the loser regret parameter. In addition, when the bidder′s regret behavior is not considered, the optimal bidding strategy is the same as the one under the perfect rationality. It means that the optimal bidding strategy under the perfect rationality is a special case of the one determined by the non-linear auction model. In particularly, when the number of bidders is large enough, the optimal bidding strategy under the perfect rationality is just the bidder's true value. In the situation where the winner regret is considered only but the loser regret is ignored, the optimal bidding strategy is the same as the one determined by the linear auction model and is lower than the one under the perfect rationality. Otherwise, the optimal bidding strategy is higher than the one under the perfect rationality. Compared with the optimal bidding strategy determined by the linear auction model, the one determined by the non-linear auction model is much closer to the real auction bid price. The non-linear auction model proposed in this paper provides guidance for determining the optimal bidding strategy in the real auction considering the bidder′s regret.

first-price sealed auction；anticipated regret psycological behavior；non-linear auction model；bidding strategy；experimental method

Date:June 29th, 2015

DateNovember 19th, 2015

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71271051) and the Fundamental Research Funds for the Central Universities(N140607001)

Biography:GAO Guangxin is a Ph.D candidate in the School of Business Administration at Northeastern University. His research interests cover bidding decision analysis and operations management. His research work was published in international journals such asKybernetesandJournalofSystemsEngineeringandElectronics. E-mail：guangxin_gao@126.com

FAN Zhiping, doctor in engineering, is a professor in the School of Business Administration at Northeastern University. His research interests include management decision analysis and operations management. His research work can be referred in academic journals such asEuropeanJournalofOperationalResearch,InternationalJournalofProductionEconomicsandJournaloftheOperationalResearchSociety. E-mail：zpfan@mail.neu.edu.cn

F713.359

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2016.01.001

1672-0334(2016)01-0001-14

2015-06-29修返日期2015-11-19

國家自然科學基金(71271051)；中央高?；究蒲袠I務經費專項資金(N140607001)

高廣鑫，東北大學工商管理學院博士研究生，研究方向為投標決策分析和運作管理等，曾在《Kybernetes》和《Journal of Systems Engineering and Electronics》等期刊發表論文，E-mail：guangxin_gao@126.com

樊治平，工學博士，東北大學工商管理學院教授，研究方向為管理決策分析和運作管理等，曾在《European Journal of Operational Research》《International Journal of Production Economics》和《Journal of the Operational Research Society》等期刊發表論文，E-mail：zpfan@mail.neu.edu.cn

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