從映射與運算的角度定義線性空間

周齊

【摘要】線性空間的定義是代數中一個較為抽象但又十分重要的概念，在認識代數關于空間上具有基礎性的作用，而線性空間的定義中涉及代數運算與代數結構，本文首先從映射與運算的定義與基本內涵說起，然后從代數運算的角度給出線性空間的定義，并在此基礎上引入平常意義上線性空間加法的定義，與通常意義上的加法做出區分，從來源與本質上回歸到最基本的映射.

【關鍵詞】映射；運算；代數運算；線性空間

前 言

線性空間又可以稱作向量空間，是高等代數的中心概念之一.在此基礎上使許多問題的處理變得更為簡捷和清晰，并且高度抽象出了空間的本質，使得從數學上對空間進行十分深刻的認識，眾所周知我們生活的三維立體空間，通常意義上我們這樣稱謂，本質上就可以用線性空間中的歐幾里得空間進行描述，因此線性空間的概念雖然比較抽象，但卻與我們的生活聯系緊密，而其定義又是認識它的關鍵.

一、線性空間的基礎——映射與運算

首先我們要解決的是，映射和運算的定義：

映射：設M和M′是兩個集合，所謂集合M到集合M′的一個映射就是指一個對應法則φ，這個對應法則使M中的每一個元素a都有M′中唯一一個確定的元素a′與之對應.由此知道，所謂映射，本質上是一個對應法則，是建立在兩個集合上的對應法則.

運算：數學上，運算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量.所以可以看到，運算的本質是集合之間的映射，也是一種對應法則.

二、映射與運算在數學中的基礎作用

下面我們從初等數學的四則運算說起，所謂四則運算即指我們通常意義上的加法（和運算）、減法（差運算）、乘法（積運算）以及除法（商運算），而這四個運算所針對的對象是數：3與5組合在一起，獲得新的8；6.77與2組合在一起，獲得新的8.77；17與27組合在一起，獲得新的37；……換句話說，3與5這兩個數對應8；6.77與2這兩個數對應8.77；……我們就把這種運算或者說是這種映射，稱為加法，記作3+5=8，這就是加法（運算）的概念.同理減法、乘法、除法類似.至于為什么3+5=8，6.77+2=8.77，17+27=37等等，這首先來源于自然認識，其次是運算法則決定.這些都體現了映射與運算在數學上的基礎地位.

三、代數運算下的線性空間

接著，我們來對線性空間進行定義，在對線性空間定義之前，先定義代數運算以及代數結構.

有一個非空集合，在這個集合上至少有一個映射，這個映射的原像和像都在該集合里面，則該集合稱為一個代數結構，該映射稱為一個代數運算.由此可知，所謂的代數運算本質上仍是一個映射，只是這個映射是建立在同一個非空集合上的.

下面，建立線性空間的定義：

對于一個非空集合，在這個非空集合上定義兩個代數運算，第一個代數運算滿足四條規則：第一，α與β組合在一起所獲得的新的量或者說α與β這兩個元素所對應的，與β與α組合在一起所獲得的新的量或者說β與α所對應的是一樣的.第二，α與β先組合在一起所獲得的新的量，再與γ組合在一起所獲得的新的量跟α與β和γ先組合在一起獲得新的量組合在一起所獲得的新的量一樣.第三，在集合中有一個元素0，對于集合中任意一個元素α，0與α所對應的是α.第四，對于集合中每一元素α，都有集合中的元素β，使得α與β這兩個元素所對應的是0.

第二個代數運算滿足兩條規則：第一，1與α組合在一起所獲得的新的量仍是α.第二，任意數k和l，k和l與α先組合在一起所獲得的新的量組合在一起所獲得的新的量跟kl與α組合在一起所獲得的新的量一樣.

并且在滿足如下兩條規則：第一，k+l與α按照第二個代數運算所對應的，跟k與α按照第二個代數運算所對應的，與l與α按照第二個代數運算所對應的，按照第一個代數運算所對應的一樣.第二，k與α和β先組合在一起按照第一個代數運算所對應的，按照第二個代數運算所對應的，跟k與α組合在一起按照第二個代數運算所對應的，和k與β組合在一起按照第二個代數運算所對應的，組合在一起按照第一個代數運算所對應的一樣.

我們給第一個代數運算起個名字叫作加法，記作α+β，第二個代數運算起個名字叫作數量乘法，記作kα，加法所對應的結果稱為α與β的和，數量乘法所對應的結果稱為k與α的數量乘積.八條規則用符號表示如下：

（1）α+β=β+α；

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）在集合中有一個元素0，對于集合中任意一個元素α，有：0+α=α；

（4）對于集合中每一個元素α，都有集合中的元素β，使得：α+β=0；

（5）1α=α；

（6）k（lα）=（kl）α；

（7）（k+l）α=kα+lα；

（8）k（α+β）=kα+kβ.

由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數被廣泛地應用于自然科學和社會科學中，因此線性空間具有廣泛的應用價值.