王金鳳++李喆
摘要:梯形的證明與計算是中學數學學科的重要部分,也是數學學習中的一個難點。一般情況下,通過構造輔助線來達到解題目的。當梯形中含有中點時,如何通過這個中點構造輔助線,使問題更簡單是中學生解答這類題型的關鍵。本文探討這了類梯形輔助線的做法,將其轉化為簡單的三角形和平行四邊形,從而達到解題目的。
關鍵詞:梯形;中點;輔助線
梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的結合體。因為它有一組對邊平行,使得它在輔助線的作法方面有了較多的選擇余地。在求解與梯形相關的問題時,可以通過添加輔助線的方法,構造三角形,平行四邊形,再應用三角形和平行四邊形的相關性質和特征解決問題。因此,解決梯形的相關問題時既要考慮它與平行四邊形之間明顯的不同,又要學會利用平行四邊形去解決梯形中的相關問題。本文著重討論含有中點的梯形中輔助線的做法。
1.在梯形中出現一腰上的中點時,根據梯形上下底的平行關系,作梯形的中位線,并由梯形中位線與上下底之間的長度關系,達到解題目的。
如圖,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中點,∠AOD=90°,求證:AB+CD=AD.
證:取AD的中點E,連接OE,則易知OE是梯形ABCD的中位線,
從而
OE= 1/2(AB+CD) ①
在△AOD中,∠AOD=90°,AE=DE
所以
OE= 1/2 AD ②
由①、②得AB+CD=AD。
2、在梯形中出現兩條對角線的中點,連接梯形一頂點與一條對角線中點,并延長與底邊相交,使問題轉化為三角形中位線,從而達到解題目的。
如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分別是BD、AC的中點,求證:(1)EF//AD
(2)EF= 1/2(BC-AD)
證:連接DF,并延長交BC于點G,易證△AFD≌△CFG
則AD=CG,DF=GF
由于DE=BE,所以EF是△BDG的中位線
從而EF//BG,且EF= 1/2 BG
∵AD//BG,BG=BC-CG=BC-AD
∴EF//AD,EF= 1/2(BC-AD)
3、在梯形中出現一腰上的中點時,過這點延長線段,構造出兩個全等的三角形,利用全等達到解題的目的。
在梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=〖90〗^0,E是DC上的中點,連接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。
解:分別延長AE與BC,并交于F點
∵∠BAD=〖90〗^0且AD//BC
∴∠FBA=〖180〗^0-∠BAD=〖90〗^0
又∵AD//BC
∴∠DAE=∠F
∠AED=∠FEC
DE=EC
∴△ADE≌△FCE
∴ AE=FE
在△ABF中∠FBA=〖90〗^0 且AE=FE
∴ BE=FE
∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE
4.在梯形中出現一腰上的中點時,可延長底邊和一條過中點的線段,兩者交于一點,從而構造全等三角形,找到線段之間的大小關系,達到解題目的。
已知:如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中點,試問:線段AE和BE之間有怎樣的大小關系?
解:AE=BE,理由如下:
延長AE,與BC延長線交于點F.
∵DE=CE,
∠AED=∠CEF,∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC
∴BE=AE.
5.在梯形中出現一腰中點的時候,過這點構造另外一腰的平行線,利用三角形全等和平行四邊形的性質,達到解題目的。
已知:梯形ABCD中,AD//BC,E為DC中點,EF⊥AB于F點,AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面積.
解:如圖,過E點作MN//AB,分別交AD的延長線于M點,交BC于N點.
∵DE=EC,AD//BC
∴△DEM≌△CNE
四邊形ABNM是平行四邊形
∵EF⊥AB,
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2.
6.在梯形中出現兩底邊的中點時,過上底中點做兩腰的平行線,構造特殊三角形,根據特殊三角形的性質,達到解題目的。
如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分別是AD、BC的中點,若∠B+∠C=〖90〗^°.AD=7,BC=15,求EF.
分析:因為∠B+∠C=〖90〗^°,通過平移AB、DC:構造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中線。
解:過E作EM//AB,EN//DC,分別交BC于M、N,
∵∠B+∠C=〖90〗^°
∴∠EMN+∠ENM=〖90〗^°
∴△MEN是直角三角形 ∵AD=7,BC=15
∴MN=8
∵E、F分別是AD、BC的中點
∴F為MN的中點
∴EE=1/2 MN=4
總之,解題方法一定要合理選擇,靈活應用。在具體的教學過程中,教師一定要引導學生對上述方法靈活應用,不能用固定模式要求學生機械記憶,做到“教無定法,貴在得法”。數學是思維的體操,對數學的學習應重理解,在理解的基礎上掌握合理的解題方法。學生也應該加強對自身思維能力和理解能力的鍛煉,做到具體問題具體分析,不盲目死記硬背。只有這樣,學生的數學學習能力和學習成績才能有效提升。