型極限的求解方法

魏建剛++李曉歌

摘要：極限是高等數學中重要的知識，而極限的求解更是高等數學的難點之一，本文對極限問題中 型極限問題的求解，給出利用有理化、利用重要極限、利用洛必達法則和利用泰勒公式這幾種方法，方便大家遇到類似極限輕松解題。

關鍵詞：重要極限；洛必達法則；泰勒公式

在我們剛進入高等數學的學習的過程中，初步接觸到一些極限的求解方法，比如借助于定義法和極限的四則運算來求解一些簡單的極限。我們知道在利用極限的四則運算中商的運算法則中要求分母的極限不能為零。但是學習時總會遇到分母的極限為零的情形，如果分母的極限為零，分子的極限是一個常數，那么可以用無窮大量與無窮小量的關系求解。時常還會遇到分子和分母的極限都是零的情形，我們把這類極限稱之為“ ”型。下面就介紹一下一些 型極限的求解方法，以供參考。

方法一 利用有理化或約零因子求 型極限。

例1求

解析 通過觀察發現，當 時，分子和分母的極限都是零，是一個 型極限，這時候無法用極限的四則運算法則來求?？梢韵葘⒋髽O限的分子先進行因式分解，在用四則運算法則求極限

下面看一個利用有理化求解極限的例子

例2求

解析 上式極限也是一個 型的極限，顯然無法用因式分解約零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要極限求 型極限

我們這個極限 稱之為重要極限，根據對這個極限內容深刻理解，可以推廣到 ，下面看如何利用這個重要極限來求解 型極限。

例3 求

解析 這待求極限看似與重要極限形式不同，實際上先將這個極限的形式變形一下就可以借助重要極限來解答了。

令 ，則 ，且當 時 ，所以有

類似地還有這樣的極限 ， 也可以利用重要極限來求解。

方法三 利用洛必達法則來求解 型極限

定理1：若函數 和 滿足

上述定理就給出了洛必達法則的使用條件和使用方法。

例4 求

解析 容易驗證 與 在點 的鄰域內滿足上述定理的（1）（2），又因

從而有洛必達法則可知

如果 仍是 型極限，可以再次用洛必達法則，當然這時候 和 在 的某鄰域內必須滿足定理1中的條件。

方法四 利用泰勒公式求解 型極限

例5 求

解析 本題可以用洛必達法則求解，但是過程角為繁瑣，若應用泰勒公式求解可大為簡化求解過程?？紤]到極限式的分母為 ，可用麥克勞林公式表示極限的分子（取 ）

所以

以上就是我們學習時經常遇到的一z些 型的極限和相對應的方法，當然 型的極限的求解還有其他的方法，我們在學習的過程不斷嘗試更多的解決 型的極限的方法，這樣才能不斷提高知識寬度和深度，從而在遇到這類極限的時候，才能迎刃而解。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系。高等數學第三版，高等教育出版社 2001年

[2]趙曄 關于 型極限求解方法的討論[J]，重慶工商大學學報 2015年