數學教學中思維品質的培養

代四新

我們現在培養的學生正是二十一世紀的人才，二十一世紀需要的德才兼備的創造性的人才。為了培養更多更好的優秀人才，在重視學生全面發展過程中，應注重思維品質的培養。培養學生的思維品質就是要培養學生探索問題的廣闊性、靈活性、敏銳性、獨立性、批判性和創造性。要培養思維品質，就必須在教學中啟發學生從不同方面，利用不同方法，對同一問題進行思考，從而使學生思維的流暢性、變通性和獨特性得到發展。我在數學教學實踐中注重采用“一題多解、聯想化規、一題多變、設置誤區、逆向思考、觀察嘗試”來培養學生思維品質。

一、一題多解，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維發揮的廣闊程度，集中表現在思路寬廣，能全面考察問題，從多角度尋求解決問題的方法。教學中要發揮典型例題引導學生從多角度、多方位觀察和思考問題，在廣闊的范圍內尋求解法，然后引導他們找出多種解法的共同規律和最佳方法。

例1 已知二次函數圖象與X軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點，且頂點縱坐標為-8，求此二次函數的解析式。

在解題時，絕大多數同學先設解析式 ，然后把已知條件代入解析式和頂點坐標公式中，列出方程式，求出a、b、c的值代入解析式中獲得。在解完后，問還有別的解法嗎？此時引導學生分析，由拋物線的對稱性可知，拋物線的頂點坐標為（1，-8），從而設解析式為 即 ，再將A點或B點的坐標代入頂點式即可求得a=2，把a代入 中便獲得；在解完后進一點啟發聯想 = ，設拋物線解析式為 ，其中 是圖象與 軸交點的橫坐標，即 ， ，所以 ，再將頂點坐標（1，-8）代入上式，求出a=2，就可得到結果。

例2 已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CE為中線，延長AB至D，且BD=AB。

求證：CD=2CE

在這一題中，題目文字不多，但解題方法卻不少，到了八年級下學期期中考試前，很多同學還是用三角形全等的方法去證明。方法是：

證明1：如圖（1）取CD中點F，連BF

∵B是AD中點，F是AC中點

∴BF∥AC且BF= AC

而BE= AB= AC

∴BE=BF

又∵BF∥AC

∴∠FBC=∠ACB=∠ABC

在△BEC和△BFC中

BC=BC；∠FBC=∠EBC；BE=BF

∴△BEC≌△BFC（SAS）

∴CE=CF

而CD=2CF

∴CD=2CE

很明顯，利用三角形全等的方法證明此題比較麻煩，我在此時就提示還有沒有其他的方法呢？引導學生分析，根據條件中出現的中點，要發揮中點的作用，嘗試找出AC的中點F，連接BF又如何呢？有些同學馬上就意識到了，這樣利用中位線定理，更簡單了。

證明2：如圖（2）取AC的中點F，連BF

則CE=BF（等腰三角形中線等長）

∵B是AD中點，F是AC中點

∴BF= CD

∴CE= CD

即CD=2CE

在講到此處時，有些同學明顯感覺很激動，我便又說，這兩種方法都需要作輔助線，還不夠簡單，能不能不作輔助線就證明出來呢？此時大家激動的心情又平靜下來，我邊說邊提示，△AEC和△ACD這兩個三角形有什么關系呢？這一下子，學生馬上意識到這兩個三角形相似，并且很快寫出了證明過程。

證明3：如圖（3）在△AEC和△ACD中

∠A公用，

∴△AEC∽△ACD

∴

∴CD=2CE

解完后讓學生觀察，教師總結。第一種方法思路自然，但運算較繁；第二種方法簡練；第三種方法巧妙，利用一題多解，使知識結構的建立更加合理有序，彼此關聯，融會貫通，從而有效地培養思維的廣闊性。

二、聯想化規，培養思維的靈活性

思維的靈活性是指思維的靈活程度，其集中表現為能根據問題的基本情況，及時地改變觀察和思維角度，提示本質聯系，迅速解題。轉化思想在初中數學中，有著廣泛的應用，如在數學解題中，求代數式的值，解一元二次方程，分式方程和方程組，證明線段和差關系，證明線段的倍半關系，計算不規則圖形的面積的指導思想都是轉化思想，其根本特征：把所解決的問題轉化、歸納為已經解決了的問題。

例3 過△ABC的頂點C作一直線與中線AD及邊AB分別交于E、F。

求證： =

本題直接證明是很困難的，通過分析已知條件，并聯想平行線與線段成比例定理，過D作DG∥CF，交AB于G，則 ，再證FG= FB，代入上式便得證。

本題通過聯想，把證 = 轉化為證 ，在證出FB和FG的關系，很快可以獲證，能否合理地轉化或變換問題是衡量思維的靈活性的重要標志，培養學生思維靈活性，就是使學生的思維始終處在思考問題的動態之中。

三、一題多變，培養思維的深刻性

思維的深刻性是指思維的抽象程度、邏輯水平和思維活動的深度。其集中表現為能深入地思考問題，教學中，教師要善于挖掘題目潛在的功能，恰當地對題目進行延伸、演變、拓展，使學生的思維處于積極的最佳狀態，從而培養學生思維的深刻性。

例4 已知四邊形中，AD∥BC，BD平分∠ABC，求證：AB=AD

變式（一）已知：AB=AD，BD平分∠ABC，求證：AD∥BC。

變式（二）已知：AB=AD，AD∥BC，求證：BD平分∠ABC。

又如：例5：在方程 =0中，若k為任意實數，此方程有無實根，為什么？

也可將結論作如下變化：

（1）若方程有相等實根，求k的值；

（2）若方程有絕對值相等的根，求k的值；

（3）若0﹤k﹤ ，確定此方程二根的符號；

（4）在什么情況下方程有兩個負根。

由于問題多變，學生不斷變換應用的范圍和方式，從而在應用中求活求通。

再如：a、b、c是△ABC的三邊且滿足 ，求證：△ABC是等邊三角形。

這是一道常見的數學題，應用配方法以及平方和為非負數的性質可證，若把例子中條件“ ”換成“ -3abc=0”，或者“3 +4（a+b+c） +4（ab+bc+ac）=0有兩個等根”，在求證便可以開拓學生思維，加深對問題的理解。

通過一題多變，學生廣泛地聯系了各知識點，收到了舉一反三，深化知識之效果。

四、設置誤區，培養思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中獨立分析和批判的程度，其表現為不受暗示的影響，能嚴格而客觀地評價，檢查思維的結果，教學中要鼓勵學生發現問題，提出問題，對教師的講述和教科書的陳述敢于發表不同看法。教師可以給出似是而非的問題啟發進行討論，辨別真假，或故意對某些問題作出錯誤回答，組織討論，找出錯誤所在和產生的原因，引導學生正確評價自己的解題思路，有效地培養思維的批判性。

例6 已知： ，求此比值。

解：由等比性質，得

= =2

多數同學為解題成功而高興，我說這有沒有問題呢，或者有沒有漏洞呢？學生感到驚訝，問題在哪里呢？

讓學生說出等比公式成立的條件，進一步引導， 是不是等于0呢？讓學生明白錯的原因在于應用等比性質時忽視了等比性質成立的條件。

正確解法：

（1）若x+y+z≠0時，由等比性質得出結果為2。

（2）若x+y+z=0時，則x+y=-z，因此，該比值為-1。

從某種意義說，學生的思維發展是在與失誤斗爭過程中實現的，學生失誤本來是壞事，但通過師生的努力完全可變為好事，只有讓學生嘗過失誤的苦頭，他們的思維才逐步趨于完善，以致成熟。

五、逆向思考，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維活動的反應速度，而逆向思維更是消除思維定勢影響，培養敏捷性思維的有效途徑。

在初中數學的教學內容中，利用逆向思維的例子屢見不鮮，如代數中許多性質的導出就是這樣，有理數減法法則：a-b=a+（-b）的導出就巧妙地利用了逆向思維，并不直接計算a與b的差，而是反過來看a與-b的和，這樣就將有理數減法運算轉變成學生所熟悉的加法運算了；對于有理數除法性質：a÷b=a （b≠0）也是這樣。通過這些性質的導出，既培養了學生順向思維與逆向思維方式，同時對學生理解在有理數范圍內加與減、乘與除的統一有很大幫助。

例7：已知一元二次方程 =0的兩根為 ，不解方程求 的值。

這道題因為要求不解方程，所以很難直接求出，但利用學生熟悉的 ，逆向思考 = 便可求出。

六、觀察嘗試，培養思維的獨創性

思維的獨創性是指思維活動的內容、途徑和方法的自主程度，其集中表現為善于獨立思考，思維不循常規，勇于創新。教學中，對那些學生感到無從下手，在無計可施時，要求學生對已知進行多角度、全方位的觀察，靈活地應用所學知識，不斷地突破思維定勢的束縛，尋找問題的突破口，使問題得出簡解、巧解。

例8計算

此題用常規思維難以解決，通過觀察，分析該題的特點，原式平方后仍含有原式，故可用“自身代換法”予以解決。

設 = ，則 =6+ =6+

即 -6=0，解得 =-2（舍）， =3

例9 把循環小數0.252525……化為分數

此題中出現的數是一個無限循環小數，肯定可以化成一個分數，但是如何化成一個分數，小數無從下手，通過觀察，該數擴大100倍后仍是一個無限循環小數，故也可用“自身代換法”予以解決。

設 =0.252525……，那么 =25.2525……=25+x

解此一元一次方程，可得 = ，即0.252525……=

總而言之，培養學生良好的思維品質是一個長期的過程，只要我們努力探索，不斷研究，就一定能為二十一世紀中華民族偉大復興培養出創造性的人才。