資金時間價值計算方法再探

□閆翠蘋

( 山西財貿職業技術學院，山西 太原 030031)

資金時間價值計算方法再探

□閆翠蘋

( 山西財貿職業技術學院，山西 太原 030031)

資金時間價值的計算，一般情況下，我們可以通過查表的方式求出。但是，當我們遇到的期數是表中沒有給出的期數時，通過查表的方式計算資金的時間價值就顯得無能為力了。當涉及期數較大時的復利現值、復利終值、年金現值與年金終值的計算時，可以利用資金時間價值計算的基本原理，引申出多種其它計算方法，從而使問題得到解決。在此過程中，不但熟練掌握資金時間價值計算的本質，而且充分體現了資金時間價值計算方法的多樣性與靈活性。

資金時間價值；復利現值；復利終值；年金現值；年金終值

資金時間價值是財務管理的重要理念之一，是企業決策需要考慮的重要因素。尤其是在企業的長期投資決策中，涉及時間長，如果沒有將資金時間價值考慮在內，就無法做出正確的決策和恰當的評價與分析。對于涉及資金時間價值的現值與終值以及年金現值與終值的計算，一般情況下可通過查閱相關的系數表求出，但是系數表中給出的期數是有限的，最高期數是55，并且當期數超過30時，系數表中只給出部分期數，分別是35、40、45、50、55。其他期數在系數表中并未給出，這就需要尋求其他的解決辦法，筆者初步探求了涉及期數較大時資金時間價值的多種計算方法。

一、復利現值的計算

復利現值的計算，當涉及的期數較大時我們可以采用將較大的期數轉換成較小的期數從而求出。原理解析如下：

(圖1)

將較長的時間段n分為若干段，我們先以分為兩段為例來加以說明。(如圖1)

計算時點n處1元資金折算到時點0處的值：先計算出時點n處的1元資金折算到時點a的現值，然后將折算到時點a的現值再一次折現到0時點。這樣就將計算較長期數n的現值轉換為計算較小期數a與(n-a)的現值，從而求出期數為n的復利現值。用公式表示為：

(P/F，i, n)=(P/F，i, n-a)(P/F，i, a) ①

當a取不同的值時，我們可以得出復利現值計算的無數種解法：

(P/F，i, n)=(P/F，i, n-1)(P/F，i, 1)=(P/F，i, n-2)(P/F，i, 2)=(P/F，i, n-3)(P/F，i, 3)=……

如果期數特別大，還可以將時間段分為三段、四段……來求出：

(P/F，i, n)=(P/F，i, a)(P/F，i, b)……(P/F，i, m)其中：a+b+ ……+m=n

由以上分析可以看出，對于期數較大的復利現值系數的計算可以將之轉化為期數較小的復利現值系數求出。下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運用。

例題一：若市場利率為5%，100年后的1元錢，現在的價值是多少？

方法一：將將時間段100分為三段(100=30+20+50)求出：

(P/F，5%, 100)=(P/F，5%, 30)(P/F，5%, 20)(P/F，5%, 50)=0.2314×0.3769×0.0872=0.0076

方法二：將時間段100分為五段(100=14+16+20+23+27)求出：

(P/F，5%, 100)=(P/F，5%, 14)(P/F，5%, 16)(P/F，5%, 20)(P/F，5%, 23)(P/F，5%, 27)=0.5051×0.4581×0.3769×0.3256×0.2678=0.0076

還可以將時間段分為其他任意時間段來計算，得出的結果是一致的。

二、復利終值的計算

對于復利終值的計算，同樣可以采用與復利現值相同的計算方法將較大的期數轉換成較小的期數求出。原理解析如下：

(圖2)

將較長的時間段n分為若干段，我們仍以分為兩段為例來加以說明(見圖2)。

計算時點0處的1元資金折算到時點n處的值：先計算出時點0處的1元資金折算到時點a處的值，然后將折現到時點a的值再一次折現到時點n，這樣就將計算較長期數n的終值轉換成計算較小期數a與(n-a)的終值，從而求出期數為n的復利終值。用公式表示為：(F/P，i, n)=(F/P，i, a)(F/P，i, n-a) ②

當a取不同的值時，我們可以得出復利終值計算的無數種解法：

(F/P，i, n)=(F/P，i, 1)(F/P，i, n-1)=(F/P，i, 2)(F/P，i, n-2)=(F/P，i, 3)(F/P，i, n-3)=……

與計算復利現值類似，如果期數特別大，還可以將時間段分為三段、四段……來求出：

(F/P，i, n)=(F/P，i, a)(F/P，i, b)……(F/P，i, m) 其中：a+b+ ……+m=n

由以上分析可以看出，對于期數較大的復利終值的計算可以將之轉化為期數較小的復利終值求出。下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運用。

例題二：若市場利率為5%，現在的1元錢，100年后的價值是多少？

方法一：若將時間段100分為三段(100 =30+20+50)：

(F/P，5%, 100)=(F/P，5%, 20)(F/P，5%, 30)(F/P，5%, 50)=2.6533×4.3219×11.467 =131.50

方法二：若將時間段100分為五段(100=14+16+20+23+27)：

(F/P，5%, 100)=(F/P，5%, 14)(F/P，5%, 16)(F/P，5%, 20)(F/P，5%, 23)(F/P，5%, 27)=1.9799×2.1829×2.6533×3.0715×3.7335=131.50

還可以將時間段分為其他任意時間段來計算，其計算結果是一致的。

三、年金現值的計算

(圖3)

年金現值的計算如圖3所示，其實質上是把各個時點的值A分別折算至時點0相加后得出的值。對于年金現值的計算，與復利現值的計算比較起來更加的靈活多樣，筆者總結方法如下：

(一)期數相加等于被求期數求解。利用此原理可得如下計算公式：

(P/A，i，n)=(P/A，i，a)+(P/A，i，n-a)(P/F，i，a)③

(圖4)

③式解析(見圖4)：③式的右邊：(P/A，i，a)計算出時點1的A至時點a的A折算到時點0的值；(P/A，i，n-a)計算出時點(a+1)的A至時點n的A折現至時點a的值；(P/A，i，n-a)(P/F，i，a)計算出時點(a+1)的A至時點n的A折現至時點0的值；(P/A，i，a)+(P/A，i，n-a)(P/F，i，a)則計算出了時點1的A至時點n的A折算到時點0的值，即等式左邊等于等式右邊。

由上述公式的推導，當a取不同的值時，利用此種方法求解，可以得出無數種類似的解法：(P/A，i，n)=(P/A，i，1)+(P/A，i，n-1)(P/F，i，1)=(P/A，i，2)+(P/A，i，n-2)(P/F，i，2)=……

下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運用。

例題三：求(P/A，5%，42)的值是多少？

如果將期數42分為兩期(比如：42=40+2；42=18+24)：

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，40)+(P/A，5%，2)(P/F，5%，40)=17.1591+1.8594×0.1420=17.423

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，18)+(P/A，5%，24)(P/F，5%，18)=11.6896+13.7986×0.4155=17.423

與求復利現值與終值類似，如果期數較大時，同樣可以將較大的期數n劃分為若干期數分別折算求得。當將時間段n劃分為m段時，(P/A，i，n)=(P/A，i，a)+(P/A，i，b)(P/F，i，a)+(P/A，i，c)(P/F，i，a+b)+……

其中：a+b+c+……=n

特別的，當n可以寫成完全平方時，(P/A，i，n)=(P/A，i，n/)2

下面將n分為三段加以說明(如圖5所示)

(圖5)

分為三段時：(P/A，i，n)=(P/A，i，a)+(P/A，i，b)(P/F，i，a)+(P/A，i，c)(P/F，i，a+b)；其中：a+b+c=n

用此方法求解例題三如下:

將時期數42分為三段(比如：42=18+20+4；42=10+20+12)時，計算如下：

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，18)+(P/A，5%，20)(P/F，5%，18)+(P/A，5%，4)(P/F，5%，38)=11.6896+12.4622×0.4155+ 3.6299×(0.2314×0.6768)=17.4

(其中：(P/F，5%，38)=(P/F，5%，30)×(P/F，5%，8)

(P/A，5%，42)=(P/A，5%，10)+(P/A，5%，20)(P/F，5%，10)+(P/A，5%，12)(P/F，5%，30)=7.7217+12.4622×0.6139+ 8.8633×0.2314=17.423

還可以將時間段分為其他任意時間段來計算，其計算結果是一致的。

(二)不同時點的年金折算至同一時點求解。利用此原理可得：

(P/A，i，n)=[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](P/F，i，a)④

(圖6)

④式解析(見圖6)：④式的右邊：(F/A，i，a)計算出時點1的A至時點a的A折算到時點a的值；(P/A，i，n-a)計算出時點(a+1)的A至時點n的A折算至時點a的值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)]計算出時點1的A至時點n的A折算至時點a的值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](P/F，i，a)，計算出時點1的A至時點n的A折算到時點0的值，即等式左邊等于等式右邊。由上述公式的推導，利用此種方法求解，可以得出無數種解法：

(P/A，i，n)=[(F/A，i，1)+(P/A，i，n-1)](P/F，i，1)=[(F/A，i，2)+(P/A，i，n-2)](P/F，i，2)=……

用此方法求解例題三如下:

(P/A，5%，42)=[(F/A，i，2)+(P/A，i，40)](P/F，i，2)

=(2.0500+17.1591)×0.9070=17.423

(P/A，5%，42)=[(F/A，i，15)+(P/A，i，27)](P/F，i，15)

=(21.579+14.6430)×0.4810=17.423

與求復利現值與終值類似，如果期數特別大時，同樣可以將較大的期數n劃分為若干期數相加求得，這里不再贅述。

四、年金終值的計算

計算原理圖7所示：

(圖7)

年金終值基本原理是將各時點的A值折算到終點n的值。對于年金終值的計算，與年金現值的計算類似，方法靈活多樣，變幻無窮。筆者根據其計算的基本原理，總結出其他的方法如下(與年金現值的計算方法類似，同樣可以將較長期數的n劃分為若干期數求得，下面僅以劃分為二期為例加以說明)：

(一)期數相加等于被求期數求解。利用上述原理可得：

(F/A，i，n)=(F/A，i，a)(F/P，i，n-a)+(F/A，i，n-a) ⑤

(圖8)

⑤式解析(見圖8)：⑤式的右邊的(F/A，i，a)計算出時點1的A至時點a的A折算至時點a的值；(F/P，i，n-a)計算出時點a的值折算至時點n的值；(F/A，i，a)(F/P，i，n-a)計算出時點1的A至時點a的A折算至時點n的值；(F/A，i，a)(F/P，i，n-a)+(F/A，i，n-a)計算出了時點1的A至時點n的A折算到時點n的值，即等式左邊等于了等式右邊。

由上述公式的推導，利用此種方法求解，可以得出無數種類似的解法：

(F/A，i，n)=(F/A，i，1)(F/P，i，n-1)+(F/A，i，n-1)=(F/A，i，2)(F/P，i，n-2)+(F/A，i，2)=……

下面，用一具體例題來說明上述公式的具體運用。

例題四：求(F/A，5%，42)的值是多少？

方法一：(F/A，5%，42)=(F/A，5%，12)(F/P，5%，30)+(F/A，5%，30)=15.917×4.3219+66.439=135.230

方法二：(F/A，5%，42)=(F/A，5%，24)(F/P，5%，18)+(F/A，5%，18)=44.502×2.4066+28.132=135.23

同理用類似的方法還可以得出無數種其他計算方法。

(二)不同時點的年金折算至同一時點求解。利用上述原理可得：

(F/A，i，n)=[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](F/P，i，n-a) ⑥

(圖9)

⑥式解析(見圖9)：⑥式右邊：(F/A，i，a)計算出時點1至時點a的A折算到時點a的值；(P/A，i，n-a)計算出時點(a+1)的A至時點n的A折算至時點a的值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)]計算出時點1的A至時點n的A折算至時點a值；[(F/A，i，a)+(P/A，i，n-a)](F/P，i，n

-a)計算出時點1的A至時點n的A折算到時點n的值。即等式左邊等于了等式右邊。

由上述公式的推導，利用此種方法求解，可以得出無數種類似的解法：

(F/A，i，n)=[(F/A，i，1)+(P/A，i，n-1)](F/P，i，n-1)=[(F/A，i，2)+(P/A，i，n-2)](F/P ，i，n-2)……

用此方法求解例題四如下：

(F/A，5%，42)=[(F/A，i，12)+(P/A，i，30)](F/P，i，30)=(15.917+15.3725)×4.3219=135.230

(F/A，5%，42)=[(F/A，i，24)+(P/A，i，18)](F/P，i，18)=(44.502+11.6896)×2.4066=135.23

由以上計算可知，無論采用哪種方法對例題四進行求解，最終的結果都是一樣的。

與年金現值的計算方法類似，同樣可以將較長期數的n劃分為若干期數求得，于是又能引申出無數種解法，解法與前述年金現值的計算原理類似，這里不再贅述。

五、結論

通過以上的分析可以看出，復利現值與終值、普通年金現值與終值的計算方法可以分為若干類，在每一類計算方法下又能引申出無窮種解法?？梢?，資金時間價值的計算方法靈活多樣，變幻無窮，只要掌握了資金時間價值的計算本質，便可以在計算過程中得心應手，運用自如。

[1] 注冊會計師協會.財務成本管理[M]. 北京：中國財政經濟出版社，2016.

本文責編：趙鳳媛

The Exploration of the Time Value of Capital Calculation Method

Yan Cuiping

(Shanxi Vocational & Technical College of Finance &Trade, Taiyuan, Shanxi, 030031)

In general，the calculation of time value of capital, we can check the coefficient tables to get the results. But the period number given in these tables is limited, when the number of period we encounter is the periods not given in the table，the calculation of funds through the look-up table is incapable of action. When the calculation is related to the large periods of present value, final compound interest, compound interest and pension annuity present value, the basic principle of time value of capitals can be used, leading to a variety of other calculation methods to resolve the problems. The essence of capital time value computation can be mastered and the diversity and flexibility of the time value of capital calculation method can be embodied.

capital time value； compound present value； compound value； present value of annuity； final value of annuity

2016—11—08

閆翠蘋(1973—)，女，山西定襄人，山西財貿職業技術學院，講師，碩士。

F299.2

B

1008—8350(2017)01—0045—04