一類多時滯切換隨機系統的無源輸出調節問題

李莉莉, 苑春波, 史寧寧, 周月峰

(遼寧師范大學 數學學院， 遼寧 大連 116029)

一類多時滯切換隨機系統的無源輸出調節問題

李莉莉, 苑春波, 史寧寧, 周月峰

(遼寧師范大學 數學學院， 遼寧 大連 116029)

基于無源性討論一類多時滯切換隨機系統的輸出調節問題.構造分段Lyapunov泛函,利用平均駐留時間方法,分別設計多時滯全息反饋控制器和多時滯誤差反饋控制器.結合自由權矩陣方法和詹森積分不等式,以線性矩陣不等式的形式給出多時滯切換隨機系統的無源輸出調節問題可解的充分條件.最后,用兩個仿真例子說明結果的有效性.

切換隨機系統;多時滯;輸出調節問題;無源性;平均駐留時間

輸出調節問題是指通過設計反饋控制器實現閉環系統漸近跟蹤參考信號和漸近抑制擾動信號的同時,保持閉環系統內部穩定,是控制領域的一個十分重要的課題.基于凸組合方法給出了一類線性切換系統輸出調節問題的可解性條件[1].為進一步降低保守性,利用多Lyapunov函數方法研究了離散線性切換系統的輸出調節問題[2].研究了具有切換外部系統的線性系統輸出調節問題,但系統本身是非切換系統[3].基于多Lyapunov函數和平均駐留時間兩種方法給出了幾類切換系統輸出調節問題可解的條件[4].基于中心流形理論討論了非線性時滯系統輸出調節問題可解的條件[5].但到目前為止, 對于多時滯切換隨機系統輸出調節問題的研究成果尚未見報道.又因無源性理論定義的存儲函數與系統能量緊密相關, 所以常將存儲函數作為系統的Lyapunov函數用以分析系統穩定性.受此啟發,筆者將以無源性為工具, 基于平均駐留時間方法,結合自由權矩陣和詹森積分不等式,給出調節器和切換信號設計方案,保證多時滯切換隨機系統的輸出調節問題可解.最后,用數值例子說明結果的有效性.

1 問題描述與預備知識

考慮如下形式的一類多時滯切換隨機系統:

(1)

其中，x(t)∈n為狀態,h0=0,hj≥0(j=1,2)是常時滯為定義在m維完備概率空間上的布朗運動且滿足E{dw(t)}=0和E{dw(t)2}=dt,z(t)是控制輸出,切換規則σ(t):是分段常值函數,ui(t)∈m為第i個子系統的控制輸入,φ(θ)是[-h,0]上的一個向量值初始函數,fi∈n×m是以非線性函數形式存在的隨機擾動,Aji,Bi,Ci,Fji為適當維數的常矩陣,v(t)∈L2[0,+∞)是外部輸入變量,滿足外部系統

dv(t)=Sv(t)dt.

(2)

為了考慮系統(1)的輸出調節問題,做如下假設:

假設1[6]存在實常陣G0i,G1i,G2i使

結合假設2, 系統(1), 系統(2)在全息反饋控制器

(3)

下的閉環系統為

(4)

結合假設3,系統(1), 系統(2)在誤差反饋控制器

(5)

下的閉環系統為

(6)

為解決本文涉及的問題,給出一些相關定義和引理．

定義1[4]令Nσ(t,T)表示切換信號σ(t)在[t,T]上切換次數,T>t>0.如果存在N0≥0和Ta>0,使得Nσ(t,T)≤N0+(T-t)/Ta成立,則Ta稱為平均駐留時間.通常取N0=0.

引理1[6](詹森積分不等式)對于任意的常數矩陣Z=ZT>0，標量h>0和向量函數x(·):[-h,0]→n使得成立.

2 全息反饋輸出調節問題

給出系統(1)在全息反饋控制器(3)下的閉環系統(4)的隨機無源輸出調節問題可解的充分條件.

定理1 若假設1和假設2成立,并且對于給定的常數0=h0≤h1≤h2,α>0和μ≥1,存在矩陣Pi>0,Qji>0,Zji>0，適當維數矩陣K0i,K1i,K2i, 對稱可逆矩陣Ti以及標量γ>0,εi>0使得

(7)

Pi≤εiI,

(8)

(9)

則存在全息反饋控制器(3)和滿足平均駐留時間條件

(10)

的任意切換信號,使得系統(1)的輸出調節問題可解,其中，

證 構造如下Lyapunov泛函

在t∈[tk,tk+1)上,對該式兩端同時積分之后取期望得到

(13)

(14)

3 誤差反饋輸出調節問題

給出系統(1)在誤差反饋控制器(5)下的閉環系統(6)的隨機無源輸出調節問題可解的充分條件.

(15)

(16)

(17)

證 選取Lyapunov泛函

4 數值例子

例1 考慮含有2個子系統的切換系統, 其中，

取滿足假設2的矩陣

圖1 切換策略

圖2 閉環系統的狀態響應和輸出誤差

例2 考慮含有2個子系統的切換系統，其中，

取滿足假設3的下列矩陣

圖3 切換策略

圖4 閉環系統的狀態響應和輸出誤差

5 結 論

基于平均駐留時間方法,以無源性為工具研究一類多時滯切換隨機系統的輸出調節問題.結合自由權矩陣方法和詹森積分不等式,設計切換規則和全息、誤差兩種反饋控制器,以線性矩陣不等式的形式給出了輸出調節問題可解的充分條件.

[1] LIU Y,ZHAO J.Output regulation of a class of switched linear systems with disturbances[C].American Control Conference, Arlington VA,2001:882-883.

[2] 宋政一,聶紅,趙軍.線性離散切換系統的輸出調節問題[J].控制與決策,2006,21(11):1249-1253.

[3] GAZI V.Output regulation of a class of linear systems with switched ecosystems[J].International Journal of Control,2007,80(10):1665-1675.

[4] 董瀟瀟.切換系統的輸出跟蹤與調節問題的研究[D].沈陽：東北大學,2012.

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[6] LIAN J,SHI P,FENG Z.Passivity and passification for a class of uncertain switched stochastic time-delay systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics,2013,43(1):3-13.

Passive output regulation problem for a class of switched stochastic systems with multi-delays

LILili,YUANChunbo,SHINingning,ZHOUYuefeng

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

This paper discusses the output regulation problem for a class of switched stochastic systems with multi-delays based on passive performance.Constructing a piecewise Lyapunov functional and using the average dwell time method, a full information feedback controller and an errorfeedback controllerare designed with multi-delays respectively.By combining the free-weighting matrix method and Jensen’s integral inequality, sufficient conditions for the solvability of the passive output regulation problem for switched stochastic systems with multi-delays are given in the form of linear matrix inequalities.Besides, two simulation examples are introduced to illustrate the validity of the results gained.

switched stochastic systems;multi-delays;output regulation;passivity;average dwell time

2016-09-20 基金項目：國家自然科學基金資助項目(61304056；11671184)；大連市高層次人才創新支持計劃項目(2016RQ049) 作者簡介：李莉莉(1982-)，女，遼寧大連人，遼寧師范大學副教授，博士．

1000-1735(2017)01-0006-08

10.11679/lsxblk2017010006

TP273

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