偏移量構造細分格式的最高求和規則

亓萬鋒, 王金玲

(遼寧師范大學 數學學院， 遼寧 大連 116029)

偏移量構造細分格式的最高求和規則

亓萬鋒, 王金玲

(遼寧師范大學 數學學院， 遼寧 大連 116029)

細分格式是一種重要的曲線曲面造型方法，因優點眾多而得到廣泛應用. 細分格式的一種重要性質是求和規則，它與細分的收斂性、光滑性、多項式生成性和細分的逼近階等眾多性質緊密相關. 添加偏移量是構造細分格式的一種重要方法，但以往的研究并沒有探討添加偏移量構造細分能夠達到的最高階求和規則.針對對稱的細分生成函數，當限定添加的偏移量的支集包含原生成函數支集時，添加偏移量方式構造的細分格式可達到最高階求和規則.當采用二階差商的線性組合作偏移量構造細分格式時，若原生成函數滿足二階求和規則，則添加二階差商的線性組合也可達到最高階求和規則.

細分格式；求和規則；偏移量；二階差商

細分方法是將給定的控制多邊形或網格，利用迭代格式加細，生成光滑曲線或曲面的造型方法. 迭代格式簡單，并適用于各種拓撲類型的網格，因而在CAGD等眾多領域中應用廣泛.

細分方法可以追溯到Chaikin的多邊形“砍角”算法[1]，生成的極限曲線是二次B樣條曲線.此后眾多學者提出了各種曲線曲面細分格式. 近年來，采用局部操作，建立構造細分格式的統一框架成為一個熱點[2-10].從細分生成函數的角度來看，典型的局部操作可分為乘以一個Laurent多項式和加上一個Laurent多項兩種形式. 乘以Laurent多項式對應了局部的平均操作[6-7]，加上一個Laurent多項式對應了在頂點處加上某些偏移量[8-10].添加偏移量多用來從逼近型細分構造插值型細分[8-10].檀結慶等人[11]利用添加偏移量的方式，從Hassan[12]三重插值型細分構造逼近型細分.這些結果豐富了細分的理論，提供了許多新的認識.

筆者系統研究采用偏移量構造細分格式能夠達到的最高階求和規則. 首先，指出m重細分采用偏移量方法能達到的最高階求和規則.對二重逼近型細分，具有最高階求和規則的是B樣條細分，插值型細分中具有最高階求和規則的是Dubuc-Deslauriers插值型細分. 其次，分析了對任意m重細分，在一定條件下，采用頂點的二階差商作偏移量，也能夠達到最高階求和規則.

1 預備知識

其中，序列a={ai}i∈∈l0(),稱為該細分格式的掩模，l0()代表上的所有有限支撐的序列，正整數m稱為重數. 對應于上述迭代格式的細分格式記為S，并將Laurent多項式({0} )稱為對應細分格式S或細分掩模的生成函數.

給定m重細分掩模a={ai}i∈∈l0()，記suppa={i∈,ai≠0}.若ai=a-i，則稱細分掩?；蛏珊瘮凳菍ΨQ的. 易知生成函數是對稱的當且僅當).若對稱的細分掩模滿足

則對應的細分稱為插值型細分，否則稱為逼近型細分.

(1)

Jia[13]指出，給定有限支撐的細分掩模{ai}i∈，則對任意多項式q(x)，下兩式等價:

眾多學者研究從逼近型細分構造插值型細分的問題，其中一大類方法是借助于頂點處的偏移量.偏移量是若干同層相鄰頂點的線性組合，且線性組合的系數和為0. 將偏移量加在同層頂點的仿射組合后，可以起局部調整的作用. 這種局部調整作用在從逼近型細分到插值型細分的轉變過程中起關鍵作用. 檀結慶等人[11]發現，許多已有的逼近細分也可看作是插值型細分加上偏移量構造出的. 例如三次B樣條細分格式

可看作是插值型格式

借助于此思想，檀結慶等人[11]將Hassan[12]的三重插值型細分格式

(2)

通過加入偏移量，得到了新的逼近型格式

(3)

2 主要結果

討論添加偏移量構造的細分格式能否達到的最高階求和規則.

證畢.

上面是在討論能否構造出具有最高階求和規則的細分. 實際上，也可從具有最高階求和規則的細分出發，通過降低求和規則階數，將因式1+z+…+zm-1進行某種對稱形式的擾動，令其滿足如插值等其他性質，從而獲得新的細分生成函數.

Maximal sum rule orders of subdivision schemes based on offset vectors

QIWanfeng,WANGJinling

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

Subdivision method is an important curve and surface modeling tool, and is widely used in many fields as it has numerous advantages. Sum rule is an important property of subdivision schemes. This property is closely related to the convergence property, smoothness order, polynomial generation property, and approximation order of a subdivision scheme. Adding offset vectors is an essential tool to construct new subdivision schemes. However, little attention has been paid to the maximal order of sum rules of subdivision schemes that are constructed via adding offset vectors.For symmetric generating functions, if the support of the added offset vectors includes that of the initial generating function, then the subdivisions scheme with maximal order of sum rule order can be obtained.The maximum sum rule orders of subdivision schemes which are constructed from given subdivisions plus some offset vectors are investigated. If the initial subdivision scheme satisfies sum rules of order two, then the initial subdivision scheme plus linear combinations of the second order difference quotients can also achieve the maximal sum rule orders.

subdivision scheme;sum rule order;offset vector;second order difference quotients

2016-09-10 基金項目：國家自然科學基金資助項目(61502217)；遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014428) 作者簡介：亓萬鋒(1984-)，男，山東臨沂人，遼寧師范大學講師，博士.

1000-1735(2017)01-0014-06

10.11679/lsxblk2017010014

TP391

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