例說分類討論方法在初中數學中的應用

陳軍勝

摘 要：在研究數學問題中常常需要通過分類討論解決問題，本文從滲透在教材中的分類思想出發，結合例題闡述了分類討論的思想方法中分類的原則、分類討論的步驟和分類討論的應用，體現分類討論思想在初中數學解題中的作用和地位。

關鍵詞：分類討論思想；原則；步驟；初中數學中的分類討論；分析；評注

在我們的數學學習中，常遇到同一問題出現不同情形的情況，處理此類問題，需要我們對問題按類別分出幾種不同的情況，然后逐一加以解決.這種解決問題的方法體現的就是我們數學中的分類討論思想.本文擬對初中數學分類討論方法通過例題作一研究和分析，以饗讀者。

一、分類討論的原則

解決分類討論問題，必須弄清楚分類的方法和原則，要考慮研究對象的特征，依據問題出現的不同情形，劃分為不同類型加以分析和研究.一般來說，分類時必須遵循以下原則：一是分類中的每個分支是相互獨立的，不能有重復情況出現；二是分類時標準要統一，不能有遺漏情況出現；三是分類討論應逐級進行。

二、分類討論的步驟

第一、確定研究對象的整體范圍；第二、確定分類標準，合理地進行分類；第三、逐級對所分類別進行討論，獲取階段性結果；第四、綜合各級結果，得出最終結論。

三、初中數學中的分類討論

初中數學分類討論的知識點有三大類：一是代數類。如絕對值、方程及根的定義，函數的定義以及點（坐標不確定）所在象限等.二是幾何類.如各種圖形的位置關系，未明確對應關系的全等或相似的可能對應情況等.三是綜合類：代數與幾何類分類情況的綜合運用。 下面通過一些例題來說明初中數學中常見的幾種分類討論思想。

（一）根據絕對值的幾何意義進行分類討論

例1.如果|x|=2015，|y|=4，且x

分析：此題的問題是求x、y的值，但由于2015和-2015的絕對值都等于2015，4和-4的絕對值都等于4，所以要注意分類討論，由限制條件x

解：因為|x|=2015，所以x=2015或x=-2015；

因為|y|=4，所以y=4或y=-4；

由于x

（二）根據等腰三角形中的隱含條件進行分類討論

1.在等腰三角形中求邊：等腰三角形中，對給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進行分類討論

例2.已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長等于16或17.

評注：此題是從等腰三角形中腰的不確定性進行分類的

2.在等腰三角形中求角：等腰三角形的一個角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論

例3.已知等腰三角形的一個內角為75°則其頂角為 30°或75

評注：此題是從等腰三角形中頂角的不確定性進行分類的

3.由于等腰三角形的腰與底不確定而進行的分類

例4.在直角坐標系中，O為坐標原點，已知A（1，1）在坐標軸上確定點P，使得△AOP為等腰三角形，則符合條件的P點共有8個。

分析：由于等腰三角形的腰與底不確定，往往存在三種情況，這里體現了分類討論的思想，△AOP的三邊兩兩分別相等，①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA，這個過程需要在備用圖中試畫“兩圓一線”。只有畫出來才能求出來，所以這一步在整個問題中是相當關鍵的，注意不要重復和遺漏。

（三）根據相似三角形中的隱含條件進行分類討論

1.針對對應邊不確定而進行的分類

例5.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值為

解析：當直角邊為6，8時，且另一個與它相似的直角三角形3，4也為直角邊時，x的值為5，當8，4為對應邊且為直角三角形的斜邊時，x的值為，故x的值可以為5或.兩種情況。

2.針對應角不確定而進行的分類

例6. 如圖3，∠A=50°，∠B=60°，一直線l與△ABC的邊AC、AB邊相交于點D、E兩點，當∠ADE為多少度時，△ABC與△ADE相似。

分析：顯然∠C=70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC與△ADE相似.

解：（1）當∠ADE=∠C=70°時，△ABC∽△AED.

（2）當∠ADE=∠B=60°時，△ABC∽△ADE.

所以當∠ADE等于70°或60°時△ABC與△ADE相似.

3.針對圖形的位置不確定而進行的分類

例7、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為t秒（0≤t<6），連接DE，當△BDE與△ABC相似時，t的值為2或3.5或4.5 。

分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的長，由D為BC的中點，可求得BD的長，然后分別從若∠DBE=90°與若∠EDB=90°時，去分析求解即可求得答案.

（四）根據圓中的隱含條件進行分類討論

1.圓周角的頂點位置不確定需分類

例8、在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=5cm，點C是⊙O上任意一點（不與A、B重合）。則∠ACB=30°或150°。

解析：一般地，弦的兩個端點分圓所成的兩條弧一條為優弧，一條為劣弧。當點C在優弧AB上時，∠ACB=30°；當點C在劣弧AB上時，∠ACB=150°.

2.兩平行弦相對于圓心的位置不確定需分類

例9、已知⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，弦CD=6cm，且AB∥CD，則AB和CD之間的距離為1cm或7cm .

解析：分弦AB、CD在圓心O的同側和異側兩種情況計算.

解析：分兩圓心在公共弦的同側和異側兩種情況計算.

值得一提的是，分類討論思想涉及初中數學的全部知識點，關鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的對象和標準，按可能出現的所有情況做到準確分類，再分別加以求解，最后將各類結論綜合歸納，得出正確答案。