淺談數學的語法結構及其人文特征

廖基定+王會蘭+劉冬元

摘要：數學是一門科學，也是一種語言。數學的語法結構表現為通過邏輯連詞、量詞、否定、自由和約束等語法生成的基本概念（如集合、函數、關系及二元運算等）；數學的人文特征表現為三種形態：學術形態、生活形態及教育形態。學術形態上“冰冷而美麗”；生活形態上“樸素而動人”；教育形態上需要引發“火熱的思考”。幫助學生數學地理解、數學地表達是數學教育的重要目標。在教學中引入生活形態的數學語言可以激發學生的“火熱思考”。

關鍵詞：數學語言；語法結構；人文特征

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）19-0098-04

引言

美國數學家M.克萊因說：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切?！边@段話一方面闡述了數學作為一種文化幾乎滲透到了世界的每個角落，另一方面也說明了數學是一種表達世界的模式，故有科學王國的“女王”之稱。數學家卡爾森（A.Coulsbn）也曾這樣寫道：“數學是一種語言，具有一種語言的所有魅力和用處，但是它比更傳統的語言還多了一條優點，即它是一種可以對我們的世界給出任何科學描述的語言?！币虼?，幫助學生數學地理解、數學地表達是數學教育的重要目標。美國數學教師全國委員會也將“學會數學地交流”列為學校數學教育的五個基本目標之一。

對于“數學語言”及“數學教學語言”，國內外已有一些學者對它們進行了一些很有意義的研究，但大多集中在對“數學語言”及“數學教學活動中的語言”的“主要特征”的描述之上，很少有人對作為語言的數學之語法結構進行系統地剖析（這也是非常困難的）。下面我們從數學的語言屬性粗淺地談談數學的語法結構及其主要的人文特征，以期更好地理解與欣賞數學文化內涵，從而更有成效地進行數學教育。

一、數學語言及語法

具體地說，數學語言是表達數量、空間形式的性質和相互關系的符號體系，或者說是由數學符號、數學術語和經過改造的自然語言組成的符號語言。數學語言與普通語言有很多相似的地方，比如“詞類”“語法”等要素?！镀樟炙诡D數學指南》中，作者提出數學語言是由基本概念、初等邏輯外加形式化的程度來刻畫的。我們循著這條思路談談數學語言的大致結構。

（一）基本概念

1.集合。集合是一些對象的集體，它有一個最基本的動詞“屬于”。數學語句幾乎都可以用集合的用語來書寫。比如，“A是什么”可用“A∈某個集合”來表達。數學上的一個大進展是用笛卡爾坐標來實現幾何與代數的互譯。比如：“圓心在原點（0，0），半徑為1的圓周”（幾何圖形的描述），可以用平面點集{（x，y）|x■+y■=1}（代數形式）來表示。顯然，幾何表示直觀、自然；代數表示簡潔、抽象。集合的三種表達方式正體現了數學語言的主要模式：文字、符號、圖形。

2.函數。數學上最基本的活動之一是取出一個對象再把它變換成另一個同類或不同類的數學對象5。我們把這個過程（理解為過程）稱之為“函數”。說f：A→B為一個函數，若記f（x）=y，則表示f把A中的元素x變成B中的對象y。要確定一個函數，必須同時確定定義域A與值域B，一個由集合A到集合B的函數就是一個規則。函數很大程度上體現了數學是表達現實世界量與量之間關系的學科屬性。如果我們把f看成過程，式子f（x）=y與y=f（x）在普通意義的語法上好像有點小區別：前者刻畫的是“將x按規則f變成了y”，強調的是動作；而后者表達的是“y的值與x在規則f之下變來的值相等或一樣”，強調的是狀態。這樣，我們就不難理解大多數中學生，往往把函數理解為“函數值”。然而在數學上，這兩個式子并沒有區別，因為它們刻畫的都是一種特殊的“等價關系”。

既然把函數看成一個過程或一種規則，若想解除函數f：A→B作用，則只要A中的x，x'不同時，f（x）與f（x'）總不同（單射）；要想找到一個函數，其作用能被f解除，則只要B中的每一個元素y都有A中的一個x滿足y=f（x）（滿射）[5]；故f存在可逆變換時，要求它既是單射又是滿射，f的逆變換仍然是一個函數。

3.關系。關系是按照某種次序組成的數學對象5，比如等價關系，從屬關系，大小關系等。數學中“關系”是數學形式化的又一體現。把本質上相同的不同對象看成相同的，就避免了過多的同類。比如數學中的“等價關系”它具有自反性，對稱性與傳遞性。以此可判斷幾何中兩圖形的“相似”、模運算中的“同余”都是等價關系。與函數概念一樣，一個關系總是與對象的一個集合關聯在一起的。如分別在集合A={2n|n=1，2，3，…}與B={3n|n=1，2，3，…}上進行模運算mod3，得到的結果是不同的。

事實上，數學的定義都可看成特殊的等價類。比如令A={鄰邊相互垂直的平行四邊形}，則“矩形”可看成定義在A上的等價類，當然，它也可看成是B={對角線相等的平行四邊形}的等價類。因此可用數學語言表達為：矩形～A～B。在這里，等價關系是按照概念次序“是矩形”構成的。從語法上說，“關系”的詞性就像自然語言里的形容詞。

4.二元運算。集合A上的一個二元運算就是集合A上的一個函數，只是定義域是元素對所構成的集合{（x，y）|（x，y）∈A}，比如“x+y”就可記作“+（x，y）”。當然，在對含有一個二元運算的句子進行操作時，有四種性質或要素需要考慮：可交換、可結合、定義域、恒等元或逆元，二元運算的這些性質是生成抽象代數基本結構的基礎。

（二）初等邏輯

1.邏輯連詞。最常用的邏輯連詞是“∧（且）”“∨（或）”“？圯（蘊含）”。記P、Q為兩個命題，比如把“他去”記作P，“你去”記作Q?！癙∧Q”表達的是“當且僅當P、Q二者均為真時，它才為真”，即兩人都去?！癙∨Q”表達的是“只要P為真或Q為真，它就真”。這里也包含了二者同時為真，與日常生活的口語有點不同?？谡Z中的“他去或者你去”往往指的是兩人中的一人去，而從數學的角度看，也可以是兩人都去。

對于“P？圯Q”，數學上表達的是“只要P成立，那么Q一定成立”，也就是說，P不成立時Q也可以成立。我們把P稱為Q的充分條件。但在日常生活中，“如果他去，你就去”往往隱含了另一層意思“如果他不去，你也不能去”。這句話容易使一些數學邏輯學得好的人鉆空子，打打擦邊球的話可以“他不去，你也去”。因此若要強調“如果他不去，你也不能去”，文字上可以表達為“只有他去，你才能去”；數學符號上可用“Q？圯P”來表示（P是Q的必要條件）。于是數學符號“P？圳Q”可以表達“只要他去，你就去；只有他去，你才能去”，最終兩人同時去或者同時不去。兩個互為充要條件的命題的等價性由此可見一斑。

2.量詞。諸如“所有的”“有一些”“任意一個”“每一個”以及“沒有一個”這樣的一些詞語都稱為量詞，在日常生活中，這些詞很容易產生歧義。下面兩句話：

“沒什么比健康快樂更重要！”——健康快樂比所有的東西都重要！

“沒什么可說的！”——不存在東西可說！

同樣的“沒什么”三個字含義大不一樣。一個與“所有”相關，一個與“存在”有關。在數學上，只用兩個量詞“？坌（對于所有的，對任意的一個，對每一個，forall）”和“？堝（存在，thereexist，forsome）”就表達了上述所有可能產生歧義的量詞。再加上連詞“使得（suchthat）”，就能把很復雜的日常語言或數學語句寫成高度符號化的形式。

“每個人都有一種愛好，就是旅游；”——證明（不一定對）

“每一個人都有一種愛好，我喜歡旅游?！薄Q

如果記p為人，L為旅游，上面兩句話可以分別用數學符號表示為：

？坌p，？堝L∈{愛好}，s.t.p喜歡L；

？坌p，？堝a∈{愛好}，p喜歡a，我喜歡L。

當然，現實中如果這樣表達的話，不免會有賣弄數學知識之嫌。

反過來，有了這兩個符號（？坌，？堝）的規定，我們也能把抽象的符號語言轉化為文字語言。比如，若令P為素數集，以下兩句話均表達了素數的相關性質，但側重點不同。

（i）？坌n，？堝m，（m>n）∧（m∈P）；——表明了素數的個數是無窮的。

（ii）？坌a，b，（ab=m）？圯（a=1）∨（b=1）；——表明了素數是個只能分解為1和它本身兩個因數的數。

當然，這里的a，b，n和m都是自然數?？梢?，量詞“？坌，？堝”都是取量于集合之上的。

3.否定。對命題P，？劭P是對P的否定。表達的是“若P為真，則？劭P不真”。數學上的否定相比于普通意義上的否定要嚴格。比如：對于命題“這個班都是女生”，若令r：人，C：這個班級，G：女孩，則可用數學符號將這句話表達為“？坌r∈C，r∈G”。而普通意義上一般有兩種否定模式，即：若把整個班級這個集合看成個體，它的否定形式為“這個班都是男生”；若把班級（集合）中的人（元素）看成個體，其否定形式為“這個班至少有一個男生”。數學上的否定是把集合中的元素看成個體，即“？劭（？坌r∈C，r∈G）”應為“？堝x∈C，x？埸G”。在這里，我們看到了數學意義的嚴格性而避免了自然語言的歧義性。

4.自由和約束變項。代表一個可以變化的數學對象的字母稱為變項?？梢宰杂杀硎镜奶囟ǖ捻椃Q為自由變項；并不代表某一特定對象的變項（往往出現在量詞之后）稱為約束變項或啞變項[5]。比如：前面素數定義（ii）中的m代表的是未曾指明的一個定數，即“任意”（自由）的素數，故稱之為為自由變項。而等式∑■■f（m）=f（1）+f（2）+f（3）中左邊的m并不代表具體的數，但為從1到3的“這些”自然數，是約束變項。由于變項的引用，我們才發展了一種如方程式方法這樣非常有效的解決數學問題的方法。

（三）形式化的程度

從上面看出，由幾個集合論的概念與邏輯連詞就能把通常的數學命題表示出來。一方面，數學語言的口語可能更人性化，但卻可能導致不可接受的不精確；另一方面，完全形式化的符號語言雖然簡潔而準確，但使人讀起來很耗費精神。最理想的辦法是用一種對讀者友好的盡可能容易接受的語言表達寫作，并且確信讀者在認為有必要的時候，能夠使寫的東西比較形式化。也就是說，數學形式化的程度要適應閱讀對象的數學經驗與訓練水平。比如：“這個班都是女生”，如果不是在特定的數學環境之中，一般不會用“？坌r∈C，r∈G”來表示，雖然我們欣賞到了其中的簡潔美、抽象美。然而，盡管文字語言表達可能更為直觀，當需要運用計算機程序來證明某個命題時，往往會追求更高程度的形式化，如“每個非空正整數集合都有一個最小元素”用數學符號語言可表示為：

？坌A？奐N，（？堝n∈N，n∈A）？圯？堝x∈A，？坌y∈A，s.t.（y>x）∨（y=x）.

二、數學語言的人文特征

上述數學語法的粗略介紹讓我們對數學語言的特性有了總體上的把握。當然，作為一種語言，數學有著其獨特的人文特征?？凳嘶厶岢龅摹皵祵W的本質是依賴語境的概念”表達了數學的語言形態與語境是密切相關的。這里的“語境”我們理解為：理論與技巧的關系、抽象與直觀的關系，基礎的寬厚程度，數學普及與提高的要求以及對隱藏在形形色色的公式和定理后面的精神世界如何揭示等。因此，不同“語境”之下的數學概念（數學對象）的表達會有一定的差別。我們沿用張奠宙先生將數學知識分為學術形態和教育形態的方法，將數學語言（或數學知識）分為三種形態：學術形態、生活形態與教育形態（我們在這并不追求分法的嚴格性，因為三種形態并不是孤立地，往往有交叉成分）。這里所說的數學生活形態，即用生活語言來表達數學概念或用數學概念來表達生活原理的模式下面簡要談談數學語言在這三種形態之下的主要特征。

（一）學術形態——簡潔、精煉，高度抽象與形式化，具有規范性與通用性

與一般語言相比較，數學語言傾向于模式化、符號化，在概括數學對象及數學結構的屬性過程中，舍去了具體事物的幾何、物理等方面的特性，只留下它的空間形式和數量關系。因此，數學語言更為簡潔、精煉，也更為抽象與形式化。也正因為如此，使得數學成為科學世界規范而通用的語言成為可能。然而，數學語言的簡潔性、抽象性所帶來的美感難免與高度形式化所帶來的冷峻相伴相生，正如H·弗賴登塔爾所描述：“沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗?！庇谑谴蠖鄶登樾沃挛覀兏惺艿降氖菙祵W學術形態“冰冷的美麗”。

（二）生活形態——直觀形象，簡潔深刻，容易讓人接受，但兼具模糊和不確定性

皮姆提倡的社會建構主義學習心理學認為，學習主要地應被看成一種社會行為，而這不僅是指個體與群體之間的積極互動，而且也是指個體對整體性文化的繼承，即人的認知過程是一個整體，對科學的、人文的、生活的種種認識交織在一起。將抽象的數學概念用個人已經歷的以及精神生活之中的人文“意境”來“比喻”，能把復雜的問題形象化；通過生活中的“原形”找到思維的契合點，實現數學思維的建構。這些樸素而直觀的形式更能激發情感上的共鳴，也更容易使人接受。反過來，當一個人對數學的概念有了比較深刻的理解之后，又可以用數學的語言來描述生活現象，包括人的喜怒哀樂。因此，我們能通過生活形態的數學語言感受到數學“動人的樸素美”。浙江大學杰出教學貢獻獎“心平獎”獲得者數學教師蘇德礦教授應邀在校友婚禮上的風趣發言：“他是你的嚴格遞增函數，你的生活一天比一天幸福，一天比一天快樂，一天比一天美好，希望你們的愛情像一條射線，只有起點沒有終點?！绷鱾饔诜婚g的“對你的思念是連續的”，過細工作是“微分”，取得成績是“積分”。這些言語貌似樸素，卻寓意深刻，增函數、射線、微分、積分的性質均栩栩如生。當然，“當思想能被直觀地描述時，馬虎的語言是能被接受的，但是，一件事越抽象，離直觀越遠，就越需要仔細的語言來描述”。就像上面的“微分”“積分”與數學意義上的概念還是有所區別。因此，生活形態的數學語言有時也難免模糊而不確定。

（三）教育形態——具有明晰性、嚴謹性及可接受性

數學教育是使數學作為文化，使數學促進人自身發展的基本建設。讓學生理解數學知識、學會數學地表達客觀世界是數學教育的重要目標。所謂數學語言的明晰性，就是說，在一個具備相容性的數學系統內，符號的使用不應引起歧義，數學思維應該流暢、迅捷而便于創造。所謂嚴謹性，就是內容的前后銜接，定理、公式進行嚴格的證明才能確立等。然而，過分強調邏輯或形式化會導致學習者尤其是低年級的學生難以接受。因此，數學語言的教育形態除了要盡量保留數學的學術形態的主要特征之外，還要考慮受教育者的接受能力。

三、“冰冷的美麗”+“動人的樸素”→“火熱的思考”

張奠宙先生提出數學教學的目標之一，是要把數學知識的學術形態轉化為教育形態，數學教師的任務在于返璞歸真，把數學的形式化邏輯鏈條恢復為當初數學家發明創新時的火熱思考，主張將數學與人文意境想融合，構建學生容易理解的教育形態，幫助學生理解教學內容，從而化“冰冷的美麗”為“火熱的思考”。其宗旨就是提倡借助社會文明闡述數學的文化含義，或者說借助于數學的人文意境即生活形態來理解數學的學術形態。這無疑是實現數學的教育形態化之有效途徑。如何激發學生思考的熱情是我們數學教育工作者所面臨的共同問題。數學家歐拉倡導的“發現法”教學，主張“講課時尋點開心，讓學生感到驚異”，通過教學生猜想、教學生發現、教學生思想，這也是將“冰冷的美麗”化為“火熱思考”的一種重要途徑，與張奠宙先生的與“人文意境相融合”有異曲同工之妙，皆強調的是讓學生有感情地投入。

“語言是一種彈性工具，在用日常語言表述數學事實時，必須改造它，使它適應教學的需要9?！蹦敲?，我們為什么不通過數學語言的各種形態之間的巧妙結合與相互轉換，讓學生“尋點開心”并“感到驚異呢”？蘇德礦教授以遙遙領先的票數被評為浙大最受歡迎的教師，與他善于將生活語言用于數學教學或者將數學概念用到生活之中是密不可分的?？梢哉f，“礦爺”實現了“冰冷的美麗”與“動人的樸素”之巧妙結合，在一定程度上激發了學生“火熱的思考”。盡管數學語言的生活形態具有模糊性及不精確性，也不是每位教師都能把握好它們的“結合度”，但這一理念是值得推廣的，因為在很多情形之下，并不需要過分強調邏輯與形式化，我們關注的是數學的思想、方法和精神。

因此，如何根據受教育者的年級、專業、基礎，優先考慮數學的思想、方法和精神，在此基礎上將數學語言的生活形態與學術形態有機結合再轉換為教育形態是所有數學教育者應該努力的方向，也是我們面臨的一大難題。也許我們可以借鑒蘇德礦教授的六字育人心經：“懂、透、精、趣、情、德?！?/p>

參考文獻：

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On the Grammatical Structures and Cultural Characteristics of the Mathematics

—Talk a Little about the 'Icy Beauty' and 'Touching Simplicity' of Mathematics

LIAO Ji-ding1，WANG Hui-lan2，LIU Dong-yuan2

（1.Dean's Office，University of South China，Hengyang，Hunan 421001，China；

2. School of Mathematics and Physics，University of South China，Hengyang，Hunan 421001，China）

Abstact：Mathematics is a language as well as science. The grammatical structure of mathematics is reflected by logic conjunctions，quantifiers，negations and some free or constraint variables，which are combined with other basic concepts （such as set，function，relations and binary operation）. The form of cultural characteristics of mathematics is divided into 'academic form'，'lifestyle form' and 'educational form'. 'Academic form' seems to be 'cold and beautiful'，while 'lifestyle form' seems to be 'simple and touching' and educational form need stimulate 'hot thinking'. To help students understanding and expressing the mathematics is an important goal of mathematics education. Introducing the lifestyle language to mathematics teaching may stimulate the students to think intensively.

Key words：mathematics language；grammatical structure；cultural characteristics