不同工作模式下基于諧波電流有效值分級標準的CRT參數設計

郭毅娜 ， 田銘興 ，原東昇

（1.蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學 甘肅省軌道交通電氣自動化工程實驗室，甘肅 蘭州 730070；3.西安交通大學 電力設備電氣絕緣國家重點實驗室，陜西 西安 710049）

0 引言

變壓器式可控電抗器CRT（Controllable Reactor of Transformer type）是一種新型的無功補償設備，能有效解決長距離超高壓輸電線路的無功平衡和電壓穩定問題［1-5］。CRT本質上相當于一種多繞組的變壓器，以往文獻多以諧波電流含有率作為繞組的分級原則，并通過增加控制繞組的級數來提高容量［6-9］。但是，對于大容量、高電壓等級的CRT而言，控制繞組數過多會造成繞組耦合復雜、繞組容量利用率降低、磁集成設計困難［10-11］。

國標GB／T 14549—93《電能質量 公用電網諧波》對諧波電流允許的最大值是以有效值的形式給出的。據此可知，以k次諧波電流含有率作為CRT控制繞組分級標準時，會出現諧波含有率很高但實際注入電網諧波電流有效值（滿足電網諧波電流要求）很小的情況［12-14］。故基于諧波電流含有率的繞組分級標準是不經濟的，應該以諧波電流有效值作為繞組分級標準。同時，CRT各級控制繞組工作次序的不同衍生出多種工作模式，且工作模式與控制繞組級數、各級電流和諧波電流之間存在著一定的制約關系［15-16］。因此，僅基于一種工作模式對CRT進行參數設計是不完善的。

綜上所述，為了在滿足電網諧波電流要求的條件下盡可能地減少控制繞組的級數，以注入電網的諧波電流有效值作為諧波要求及控制繞組分級標準，并且在不同工作模式下對CRT控制繞組級數、各級電流分配及諧波電流等參數進行設計有著積極的意義。

1 諧波電流有效值分級標準

圖1為CRT工作原理圖。圖中，W0為工作繞組，其直接并聯在高壓電網母線上；Wl為各級控制繞組（l=1，2，…，N；后同）；VThl為串聯在控制繞組中的反并聯晶閘管閥組；i0為工作繞組電流；il為各控制繞組電流；u為電網電壓；ul為各控制繞組電壓。通過合理控制控制繞組的工作次序，即可實現空載功率到額定功率的連續調節。

圖1 CRT工作原理圖Fig.1 Operation principle diagram of CRT

若忽略繞組電阻的影響，且不考慮控制繞組間的互漏抗、工作繞組的自漏抗以及鐵芯的飽和特性，可得折算至工作繞組的CRT等效電路如圖2所示，各支路依次對應各級控制繞組。圖中，xl為各控制繞組的等效電抗。

圖2 折算至工作繞組的CRT等效電路Fig.2 Equivalent circuit converted to work winding of CRT

若選初始點為電源電壓的正最大值時刻，則當晶閘管的導通角為 αl（0≤αl≤π／2）時，支路l中的電流為：

其中，Il=U／xl為支路l晶閘管觸發角為0時電流有效值，即該支路額定電流。

對式（1）進行傅里葉分解，可得：

其中，Il1和Ilk分別為支路l的基波電流有效值及k（k=3，5，7，…）次諧波電流有效值。

原則上，CRT有多種工作模式，單支路工作模式指在任意時刻只有1條支路處于調節狀態，其他支路處于全導通或截止的工作模式。與其他工作模式相比，單支路工作模式簡單經濟，因此本文的研究基于單支路工作模式，同時認為只有處于調節狀態的支路中存在諧波。

由圖2可知，在單支路工作模式下，CRT注入電網的諧波電流應等于處于調節狀態的這條支路中的諧波電流。因此，要判斷CRT注入電網的諧波電流是否滿足要求，只需關注CRT處于調節狀態的支路中的諧波電流大小。

對支路l而言，其處于調節狀態時支路中的諧波電流為Ilfk（αl）。設電網要求CRT引入的最大k次諧波電流為Ikmax，若要滿足諧波要求，則有：

式（3）即為基于諧波電流有效值的分級標準。由該式可知，只要CRT單支路工作模式下處于調節狀態的支路注入電網的諧波電流有效值不大于給定值，就認為它是滿足諧波要求的。

2 工作模式分析

CRT的工作模式是指各級控制繞組中反并聯晶閘管的工作形式和次序。本文就CRT的3種經典單支路工作模式進行分析和參數設計。

2.1 順次單支路工作模式

從零功率到額定功率調節過程中，圖2中支路1中的VTh1最先開始調節并達到全導通，而其余支路為全截止；接著VTh2開始調節并達到全導通，除支路1、2外的支路全截止；依次順序，直到VThl處于調節狀態時，支路 1、2、…、l-1 全導通，支路 l+1、l+2、…、N全截止。負載減小時按上述過程的逆過程工作。這即是順次單支路工作模式。

在該模式下，處于調節狀態的支路l的k次諧波電流有效值滿足如下關系：

考慮到諧波電流需滿足設計要求，則有：

在忽略繞組電阻和磁飽和的影響條件下，各支路額定電流瞬時值同相位，因此，CRT的額定電流有效值等于各支路額定電流之和，即：

對式（4）不等式兩邊同除以后可得：

同時，令容量遞增系數為：

其中，m=1，2，…，N 且 m≤l。

對式（6）不等式兩側分子分母同除以再將式（7）代入可以得出：

從式（8）可以看出，只要當l=N（即支路N處于調節狀態）時的諧波滿足要求，則其余情況下的諧波均滿足要求。即有：

當CRT的額定電流確定后，根據式（9）求得滿足最大諧波電流時的容量遞增系數β為：

進而求得支路數N以及任意支路l的電流為：

2.2 固定單支路工作模式

在CRT的整個調節范圍內，始終都讓容量最小的支路處于調節狀態，而其余支路要么全導通，要么全截止，稱這種工作模式為固定單支路工作模式。

該模式下，為實現功率的平滑調節，支路額定電流必須按照特定規律進行設計，即：

其中，N＞1。

按此規律，支路1的晶閘管全導通后其額定電流瞬時轉移到支路2，支路2承擔了支路1的全部電流，支路1的電流回歸為0后繼續開始調節。其余工作狀態均與此類似。

該模式下，僅有容量最小的支路處于調節狀態（設定支路1為調節支路），在諧波電流分析時只需關注這一支路，此時注入電網的諧波為 I1fk（α1），當I1fk（α1）≤Ikmax時，滿足諧波要求。

由并聯分流原理和固定單支路工作模式下的支路電流分配原則可知，總并聯支路數N以及任意支路l的電流為：

2.3 轉移單支路工作模式

轉移單支路工作模式的工作原理是：隨著負載從0開始增大，支路1中的晶閘管開始調節至全導通后，支路1中的電流I1轉移到支路2，支路2承擔支路1的電流并從I1的基礎上開始調節至全導通，而支路1的電流回歸為0，如此直到支路N全導通后，再從頭開始調節支路1。負載減小時按上述過程的逆過程工作。

該模式下，為滿足容量的平滑調節，轉移過程需滿足如下條件［16］：

式（16）表明，當支路l的電流轉移到支路l+1時，要控制支路l+1的導通角αl+1，使得在轉移瞬間滿足如下條件：支路l+1的基波電流和k次諧波電流分別等于支路l的額定電流Il和給定最大k次諧波電流 Ikmax，轉移瞬間導通角為α′l+1。該工作模式下，在已知支路1電流的前提下，其他支路電流可通過遞推算法依次求得，因此支路1電流是計算其他支路電流的基礎。

由以上分析可知：不同的工作模式下，支路1電流I1是計算CRT支路數N和支路電流的基礎；而支路1的電流I1大小受到諧波電流的制約。

3 參數設計

CRT進行參數設計的目的之一是在滿足諧波電流要求的前提下盡可能地減小支路數，并求得對應各支路的電流分配。因此，確定符合條件的支路1的電流I1是設計計算CRT支路數N和支路電流等參數的基礎。

3.1 支路1電流的確定

給定k次諧波電流最大值Ikmax，CRT工作在單支路工作模式下時，其注入電網的諧波電流滿足式（4）要求。

為使支路l在調節過程的任意角度下都能滿足諧波要求，則其電流有效值取值范圍滿足：

其中，fk（αl）max為支路 l在調節的過程中 fk（αl）的最大值。

當l=1時，可得支路1的取值范圍，即：

同時，將支路1的電流I1最大值作為計算支路數N等參數的初值，即：

3.2 不同工作模式參數設計

確定支路1的電流I1初值后，結合不同工作模式的特點，可求得對應支路數N和支路電流。但是無論哪種工作模式下，參數的計算結果均應滿足以下條件：CRT支路數N為整數，若N的計算結果為小數，需要對N向上取整；各個處于調節狀態的支路注入電網的諧波電流都應滿足式（17）的諧波要求；各支路電流之和應滿足式（5）要求，即各支路額定電流之和等于CRT額定電流。若不滿足以上任一條件，說明所確定的支路1電流初值取值不合理，對支路1電流初值進行調整，并重新計算各參數。

3.2.1 順次單支路工作模式參數設計

首先根據式（10）求得滿足最大諧波電流時的容量遞增系數β后，將該值與根據式（18）確定的支路1電流I1初值代入式（11）求得支路數N。若支路數N計算結果為小數，說明支路1電流初值取值不合理，對計算結果進行取整，將取整后的支路數N代入式（11）中重新計算支路1電流I1，該值為修正后的支路1電流值。將取整后的支路數N與修正后的支路1電流代入式（12）中，求得其余支路電流，并驗證支路電流計算結果是否滿足式（17）和式（5）。

3.2.2 固定單支路工作模式參數設計

與順次單支路工作模式的設計方法類似，首先根據式（18）確定的支路1電流I1初值，將其代入式（14）求得支路數N，若支路數N計算結果為小數，對計算結果進行取整，將取整后的支路數N代入式（14）中重新計算支路1電流I1，該值為修正后的支路1電流值。將取整后的支路數N與修正后的支路1電流代入式（15）中，求得其余支路電流，并驗證支路電流計算結果是否滿足式（17）和式（5）。

3.2.3 轉移單支路工作模式參數設計

轉移單支路工作模式下，支路數N沒有確定的表達式，需根據CRT額定電流結合諧波電流進行分析確定。

令：

首先根據式（18）計算支路1電流I1初值，在已知最大k次諧波電流Ikmax前提下，根據式（19）先求得支路1電流轉移至支路2瞬間的晶閘管導通角α′2，代入式（16）得到支路2電流。同理，根據支路l電流Il及最大 k 次諧波電流 Ikmax，結合式（19）和式（16）可計算求得支路l電流轉移至支路l+1瞬間晶閘管導通角α′l+1以及對應的支路電流Il+1。

判斷所確定的晶閘管調節范圍與支路電流是否合理的依據是：晶閘管導通角αl+1在從α′l+1至0°調節過程中，支路l+1出現的諧波電流不能超過最大k次諧波電流 Ikmax，即保證 Il+1fk（αl+1）≤Ikmax。

當諧波電流滿足條件時，應判斷所確定的支路電流之和是否滿足式（5）要求，即若所確定的支路電流之和超過CRT額定電流，即需要對支路1電流I1進行調整，并按照上述過程重新計算各支路電流至滿足式（17）和式（5）要求，并得到滿足諧波電流要求的支路數N=l+1。

若所確定的支路電流之和小于CRT額定電流，即，將該晶閘管范圍對應支路電流作為初值計算下一條支路電流，并按上述過程再次判斷各支路電流是否滿足式（17）和式（5）。

3.3 不同工作模式支路數大小比較

為了敘述方便，把順次單支路、固定單支路數和轉移單支路工作模式的支路數分別記為Nsh、Ngu和Nzh。

當k=5時，對式（2）的第2個式子求極值可得f5（αl）在 0≤αl≤π／2 范圍內的極值點為：

通過分析計算可知：與是 f5（αl）在 0≤αl≤π／2 范圍內的 2 個極大值點。

由式（10）和式（11）可以知道，順次單支路工作模式下，支路數的大小與最大k次諧波電流Ikmax有關。

比較式（11）和式（14）可以知道：當時，Nsh≤Ngu；當 β＜2（I5max＜0.025Irat）時，Nsh＞Ngu。

對式（2）的第1個等式進行求導分析可知f1（αl）在0≤αl≤π／2范圍內單調遞減且滿足：

由式（20）、式（16）可得：

從而得：

由式（22）、式（23）可得各支路電流5次諧波系數滿足：

轉移單支路工作模式下支路l向支路l+1轉移瞬間諧波電流等于Ikmax，且從α′l+1調節至完全導通的整個過程中諧波電流始終不能超過Ikmax。

當時，支路 l+1 在調節至導通過程中實際注入電網的諧波電流超過Ikmax，因此，轉移瞬間晶閘管導通角范圍為時，CRT實際注入電網諧波電流可滿足要求。

在范圍內，f5（αl）單調遞增，因此，由式（24）可知：α′2≥ … ≥ α′l+1≥ … ≥α′N。

而由前文分析可知，f1（αl）在 0≤αl≤π／2 范圍內單調遞減，因此得：

將式（16）的第1個式子進行化簡得：

由式（25）、式（26）可得：

因此得：

其中，

將式（27）進行化簡可得，將該不等式兩邊取對數后得：

式（28）為轉移單支路工作模式下支路數Nzh的范圍。

當 k=5 時，的取值范圍為：

即 1.67≤1 ／f1（α′2）≤3.33。

由式（28）、式（29）可知，轉移單支路工作模式下支路數與轉移瞬間的晶閘管導通角有關。

比較式（14）與式（28）可知：當 1 ／f1（α′2） ≥ 2時，由于 M≥1，則 Nzh≤Ngu；當 1 ／f1（α′2）＜2 時，Nzh＞Ngu。

需要說明的是，以上分析只是對于3種工作模式下支路數數值大小的比較，但由于支路數只能是整數，需將計算出的結果向上取整，因此，可能存在不同工作模式下支路數數值大小不同而實際中支路數相同的情況。同時，根據取整后的支路數重新計算的支路1電流小于或等于其初值，由式（3）可判斷不同工作模式下各支路實際注入電網的諧波電流不會超過給定最大k次諧波電流值，因此諧波總是滿足要求。

此外，固定單支路工作模式因為只有固定的1條支路需要調節，所以其控制較其他2種工作模式最簡單。

4 算例

設一CRT工作于工頻狀態，額定電流Irat=208A，同時電網規定其引入的最大5次諧波電流I5max=3.8 A。

4.1 順次單支路工作模式參數設計

順次單支路工作模式下各支路是順序導通的，由式（17）可得任意支路l電流有效值取值范圍為0≤Il≤76.00 A。由式（18）可知支路1電流初值為I1＝76.00A。 由式（10）可知級間容量遞增系數 β=1.57。將I1、β的值代入式（11）可得滿足最大諧波的最小支路數為：

由于N的計算結果為小數，需對N向上取整，則N=4。將取整后的支路數代入式（11）重新計算I1，可得修正后的I1=53.74 A。

根據式（12）可得其余支路的電流有效值為：I2=30.64 A，I3=48.09 A，I4=75.53 A。

4.2 固定單支路工作模式下參數設計

固定單支路工作模式下只有支路1處于調節狀態。由式（18）可得支路1電流有效值的取值范圍為0≤I1≤76.00 A。由式（18）可得支路1電流初值為I1=76.00 A。將I1值代入式（14）可得滿足最大諧波的最小支路數為：

由于N的計算結果為小數，需對N向上取整，則N=3。將N代入式（14）重新計算I1，可得修正后的I1=52.00 A。

根據式（15）可得其余支路的電流有效值為：I2=52.00 A，I3=104.00 A。

4.3 轉移單支路工作模式下參數設計

由式（17）可得任意支路l的電流有效值取值范圍為0≤Il≤76.00 A。由式（18）可得支路1電流初值I1=76.00 A。

轉移單支路工作模式下，容量最小的支路1最先開始處于調節狀態，支路1在調節過程中可能出現的5次諧波電流最大值I5max=3.80 A。

根據式（19）可得：

通過計算可知支路1中電流向支路2轉移時符合條件的晶閘管觸發角為α′2=0.46 rad。根據式（16）可得α′2對應的支路2的電流值為：

在晶閘管導通角從0.46 rad至0的調節過程中，支路2出現的最大諧波電流為3.80 A，諧波電流滿足要求。

對I2而言，由于I1+I2＞Irat=208.00 A，此時需對支路1的電流值進行微調，并按上述過程重新計算直至滿足式（5）要求。 經計算，當I1=65.53 A、I2=142.47A時滿足式（17）和式（5）要求，此時，1 ／f1（α′2）=2.17，支路數N=2。

4.4 比較分析

基于諧波電流有效值分級標準對CRT在3種單支路工作模式下的參數設計取值結果進行對比，如表1所示。

由表1可知，3種工作模式下，各支路在調節過程中實際注入電網的諧波電流均滿足式（17）要求，即諧波電流不超過給定最大值，各支路電流之和滿足式（5）要求。

支路1的電流分配相差不大時，固定單支路工作模式的諧波電流最小。同時，在注入電網諧波電流均滿足要求的情況下，順次單支路工作模式β=1.57＜2，支路數最多。 轉移單支路工作模式下 1 ／f1（α′2）=2.17＞2，支路數最少，算例結果符合理論分析結論。

表1 不同工作模式下CRT參數取值結果對比Table 1 Comparison of parameters in different operation modes

5 結論

a.CRT支路數與支路1電流、最大k次諧波電流和工作模式緊密相關。

b.基于諧波電流有效值的分級標準進行參數設計時，不同工作模式下的CRT支路數不同。

c.在CRT額定容量、支路1電流確定的前提下，固定單支路工作模式下支路數確定，順次單支路工作模式下支路數與最大k次諧波電流有關，轉移單支路工作模式下支路數與轉移瞬間的晶閘管導通角有關。

d.不同工作模式下CRT實際注入電網的k次諧波電流均不超過電網給定的最大值，諧波電流滿足要求。支路1電流分配相差不大的情況下，固定單支路工作模式下的諧波電流最小。

e.就本文算例而言，轉移單支路工作模式的控制支路數最少，而固定單支路工作模式諧波電流最小?？紤]到固定單支路工作模式控制最簡單，所以，綜合而言，固定單支路工作模式最優。

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