高等數學教學中不定積分計算方法的總結與探討

張孟++吳常虹

摘要：本文結合例題總結不定積分計算換元積分法的幾種常見的技巧，幫助學生理清解題思路，提高解題能力。

不定積分的計算是高等數學的學習的重點和難點，不定積分的計算方法多，題型靈活；在教學過程中發現許多的同學很難熟練靈活地運用所學方法進行解題，一方面是由于練習不夠，另一方面是由于同學學習過程中對每種方法的解題原理、適用范圍以及處理辦法和技巧并不了解，因此本人結合多年教學經驗系統地介紹不定積分計算換元積分法的常見方法與技巧。

一、第一類換元積分法（湊微分法）

定理 若 ， 可導，則

適用題型：第一類換元積分法主要是用來解決復合函數的積分問題；

處理方法與技巧：

把被積函數寫成兩個函數的乘積 ；

（1）選擇相對復雜函數（比如 ），對其求導（或對其主要部分求導）；

（2）若求導后得到的是簡單函數（ ）的倍數，此時表示湊微分成功。

①常數倍

②函數倍 在這種情形下可以考慮將被積函數的分子分母同時乘以某個函數倍因子。

[例]求不定積分

分析：

=

的主要部分求導后剛好等于 ，湊微分成功

解：原式= = =

[例]計算不定積分

[分析]由于 ，所以考慮將分子分母同時乘以函數

解：原式

二、第二類換元積分法

定理 設 單調、可導，并且 ，又設 具有原函數，則

在第二類換元積分法中，關鍵在于如何找到合適的變換 ，常見的情形有

（1）被積函數含有二次根號式 ， ， ， 利用三角代換

令

令

令

令

注意：在利用三角代換解題時，進行變量回代，要用構造三角形法。

[例]求

[分析]被積函數中含有二次根式 ，因此采用三角代換

解： ，則

原式

（2）如果被積函數含有 ， ，

令整個根式

如果同時含有 ， ，設 ，令

[例]計算

[分析]被積函數含有一次根式 ，因此采用整體代換去除一次根式

解：令 ，

原式

[例]計算

[分析]同時含有 ， ，令

解：令 ，

原式

（3）當分母的冪次比分子的冪次至少高一次時用倒代換

[例]計算 （ ）

[分析]被積函數中分母的冪次比分子的冪次高三次，因此采用倒代換

解：令 ，

原式=

=

參考文獻：

[1]李永樂.2014年數學復習全書.北京：中國政法大學出版社，2013

[2]陳文燈 黃先開.考研數學復習指南。北京：世界圖書出版公司北京公司，2008

通訊作者：吳常虹