試析一道高考試題的思考與探究

徐忠宏

摘要：高考試題是教學備考最好的指揮棒，它考察知識的切入點往往新而不俗，具有探索性，正確地把握了考查難度.對高考題的解答探究，有助于我們把握高考對該部分知識點難度和深度要求，有助于發現高考題目與平時訓練題目的聯系，增強分析判斷并解決題目的能力.如果我們能認真思考，深入探究每道高考試題，不僅可以發現許多規律。而且可以進一步提高我們分析問題、推理問題的能力和應用數學的意識.下面就近年的一道高考試題進行一些思考和探究。

關鍵詞：高考題；思考；探究

隨著高考的不斷推進，也越來越備受國家的高度重視，我們一線教師唯有從細小環節抓起，即使是一道常規題也勿放過，本文就是作者在應戰高考數學的日子里的點滴積累與同行分享。 例（2010山東 理）如圖橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點 ， 為頂點的三角形的周長為 ，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設 為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線 和 與橢圓的交點分別為 和 .

（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（2）設直線 和 的斜率分別為 ， ，證明： ；

（3）是否存在常數 ，使 恒成立？若成立，求出 的值；若不存在，請說明理由.

探究 在解決該題的過程中，不難發現第（2）（3）問實際是關于解析幾何中定值的探索性問題，由此，在下文中著重對第（2）（3）問進行探究：

在該問中我們注意點 ， 的特殊性——既是橢圓的焦點，又是雙曲線的頂點.而 為該雙曲線上異于頂點的任一點，通過上述分析，可以發現第（2）問實際上說明了該雙曲線上任意一個不同與頂點的點與該雙曲線的頂點的連線的斜率之積等于1.

思考 在原題的該問下，求出雙曲線標準方程為 ，如果雙曲線的方程發生變化，那么這兩條直線斜率之積還為1嗎？如果是定值，為什么？如果不是定值，該值由什么決定？

探究1 題中雙曲線的焦點在 軸，我們先來探究焦點在 軸的雙曲線.

設雙曲線的標準方程為 .設其兩個頂點為 ， ，雙曲線上任一點 （不同與頂點，即 ）.

則直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，

故 ①

由點 在雙曲線上.可得 .所以

.代入①式，得

，顯然，當且僅當 時， .此時雙曲線離心率為 ，即對任意離心率為 的雙曲線，這兩條直線斜率之積都等于1.反之，當 時， .

那么當雙曲線變化時，斜率之積怎樣變化呢？

設該雙曲線離心率為 ，則 .

由此我們可以得到更為一般的結論：

對于焦點在 軸上的雙曲線，其離心率為 ，則雙曲線上任意一點（異于頂點）與兩頂點的連線的斜率之積為定值 ，該定值與點 的位置無關.

探究2 對于焦點在 軸上的雙曲線，該結論是否也成立？如果成立，該值還是 嗎？

設雙曲線的標準方程為 .設其兩個頂點為 ， ，雙曲線上任一點 （不同與頂點，即 ）.

則直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，

故 ②

由點 在雙曲線上.可得 .所以

.代入②式，得

設該雙曲線離心率為 ，則 .所以，這樣的兩直線斜率之積仍為定值 .但與焦點在 軸上的雙曲線中得的定值不同.

結論

綜上，結合探究（1）與探究（2），可得如下結論：

雙曲線上任一（異于頂點）與兩頂點的連線的斜率之積為定值，該值與焦點所在的軸有關.設離心率為 .

（1）若焦點在 軸，該定值為 .

（2）若焦點在 軸，該定值為 .

通過我們數學教師教師日積月累，以期對高中數學教師以他山之石，可以攻玉，對我們常規教育發揮應有作用，幫助高中生渡過題海戰術的疲勞，沿著健康的學習道路繼續前行，提高中學生思維力度做一點貢獻。