矩形截面懸臂梁自由端受力三種力學方法解的對比*

鄭恒偉　袁玉興　田祖安　丁劍平　杜鵬飛　世嵬

摘要：材料力學在研究構件的應力和變形時通常引入一些相應假設，而彈性力學研究相應問題時一般不必引用那些假設，因而得出的結果更為精確。本文主要對懸臂梁自由端受力的材料力學解采用彈性力學方法檢驗其精確性，并對具體算例通過有限元數值解進一步驗證。

關鍵詞：懸臂梁，材料力學解，彈性力學解，有限元數值解

1、矩形截面懸臂梁自由端受力材料力學解和彈性力學解

矩形截面懸臂梁在自由端受有集中荷載F，體力不計，尺寸如圖所示。其彎曲應力σx擠壓應力σy和切應力xy的材料力學表達式分別為[1]

（1）

下面采用彈性力學的方法檢驗上述解是否為本問題的精確解，即看上式是否滿足彈性力學應力解法中的平衡微分方程、相容方程和應力邊界條件[2]。將式（1）代入應力平衡微分方程

2、矩形截面懸臂梁自由端受力材料力學解和有限元數值解

本文采用具體算例比較矩形截面懸臂梁自由端受力最大彎曲應力值的材料力學解和Ansys有限元軟件數值解。如圖1所示，這里取梁長l=100mm，截面為正方形且h=10mm，F=100N，下面給出Ansys計算出的梁彎曲正應力云圖，如圖2所示。

3、結論

本文主要對矩形截面懸臂梁自由端受集中載荷作用時應力的材料力學解、彈性力學解和有限元數值解進行驗證和對比，得到材料力學的解亦滿足彈力力學應力解法正確解的條件，亦與有限元數值計算結果相等，這說明此構件應力的材料力學解是其精確解。

參考文獻：

[1] 茍文選， 材料力學教與學. 北京：高等教育出版社， 2013， p152-153.

[2] 徐芝綸， 彈性力學簡明教程. 北京：高等教育出版社， 2013.endprint