最值問題解題方法的探討

許云飛

摘 要：數學中的最值問題覆蓋面是非常廣泛的，解法也是靈活多樣的，而且最值問題是人們在日常生產和生活中最常見的一種數學問題，比如“最好”、“最優”和“最少”，然而這些問題最終都會轉化為最值問題來進行求解。因此，研究最值問題的解題方法是具有實用性的。本文在闡述了最值問題的概念基礎上，通過實例對最值問題的解題方法進行了探討，以幫助人們更好的解答最值問題。

關鍵詞：最值問題；解題方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-092-02

一、最值問題的概述

最值問題是數學和物理中常見的類型題目?！白畲笞钚　?、“最長最短”等問題都是最值問題，它主要是用來解決有“最”字描述的問題。

二、最值問題的解題方法

最值問題是一個綜合能力的考察，所以要求我們一定要有分析的能力，并且牢固掌握最值問題的解題方法，這樣才能有效靈活地運用最值問題。函數在我們做題的過程中出現較為頻繁，所以接下來我們通過實例主要來討論下函數最值問題的解題方法，以幫助我們更好地理解和解決問題。

1、定義法求解最值問題

通常情況下，函數的最值分為函數最大值和函數最小值。而函數最值的幾何意義指的是在坐標系下函數圖像的最高（低）點的縱坐標就是函數的最大（?。┲?。即有函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數a滿足以下兩種條件：一是對于任意實數x I，都有f（x）≥a；二是存在x0 I，使f（x0）=a，那么實數a就是函數y=f（x）的最小值。相反，如果實數a滿足對于任意實數x I，都有f（x）

2、配方法求解最值問題

如果函數通過變量代換能夠變成關于T（x）的二次函數形式，我們就可以先把這類函數配成f（x）=a[T（x）-m]2+n，然后按照函數T（x）的取值來判斷函數f（x）的取值范圍。配方法可以直觀地表達出當前式子的最值信息，所以在解題中使用較多。

例1：設a，b為實數，代數式5a2+4b2-8ab+2a+4能不能取得最小值？代數式

5a2+4b2-8ab+2a+4=4（a2-2ab+b2）+a2+2a+4=4（a-b）2+（a+1）2+3，由配方法的結果我們可以得到在點a=-1，b=-1處，代數式有最小值3，因此原代數式可以取到最小值。

3、均值不等式法求解最值問題

均值不等式在不等式理論中占有重要的作用，在日常生產和生活中也普遍被運用，所以我們要掌握均值不等式的方法來對問題進行求解。當最值問題滿足“一正二定三相等”這三個條件時，我們就可以考慮使用均值不等式來求最值問題。其中兩個個重要的均值不等式有：

① a2+b2≥2ab ab≤ （a，b R），當且僅當a=b時，“=”成立。

② a+b≥2 ab≤ （a，b R+），當且僅當a=b時，“=”成立。

例2：當0

函數y=a2 = = ，因為 ≤ = ，當且僅當 = ，即a= 時，等號成立。所以函數y=a2 的最大值是 。

4、換元法求解最值問題

換元法就是將代數中的某些項用代數式中沒有的變量來代替去解決問題的方法。利用換元法可以將復雜的函數代數式轉化為易于分解的代數式，具有有效簡單的特點。

例3：求函數y= -x的最值。

設 =t，由函數的定義域可以知道t≥0，帶入原函數y= -x=-t2+t-2，配方可以得到y=-（t- ）2- ，當t= 即x= 時，函數y= -x的最大值是 。

例4：求y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5的最值。

由y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5可以得到y=（x2-5x+4）（x2-5x+6）+5，設x2-5x+5=t，那么原函數y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5變為y=（t-1）（t+1）+5=t2+4≥4，所以當t=0即x= 時，y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5有最小值，最小值是4。

5、三角函數法求解最值問題

三角函數法是求最值問題中重要的內容。它的內容的是多種多樣的，有時候與其他知識點相結合進行考查，比如曲線、不等式等。所以要熟練掌握三角函數的恒等變形、基本的正弦定理和余弦定理等相關知識點，就可以將最值問題轉化為熟悉的問題來解答。

例5：求函數y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

由原函數y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x可以得到y=（1-2sin2x）2+6，由于函數z=（u-1）2+6在[-1，1]中的最大值是10，最小值是6得出，當sin2x=-1時，函數y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最大值是10；當sin2x=1時，函數y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最小值是6。

6、數形結合法求解最值問題

（1）利用數形結合法解關于函數及其圖像的最值

例6：求函數y=x2-6x-7在（2，7]上的最值。

我們可以看到所求的函數是二次函數，而且函數不是單調的，所以不能直接將兩個定義域的端點帶入進行直接求解，這個時候借助圖像并且結合函數的定義，我們就可以直觀地解答出最值問題。

如圖1所示，函數在坐標系上，通過圖像可以直觀地知道，定義域范圍內的函數是圖像的部分，我們就可以從對稱軸處獲得函數的最小值，即x=3時，函數的最小值是-16；當x=7時，函數的最大值是0。

（2）利用數形結合法解二次方程和方程曲線的最值

例7：如果有兩個實數x，y，而且有（x-2）2+y2=3，那么 的最大值是多少？

通過分析我們知道這道題是讓求數值的比例問題，把（x-2）2+y2=3當成一個圓，如圖2所示， = 表示圓上的點（x，y）與坐標中心（0，0）兩點連線的斜率值。由圖形得出，A在移動的過程中，直線的斜率也在變化著，變化的過程中直線的斜率是先增后減的，連接AM，那么AM OA，OA=OM2-AM2=22- =1，這個時候就可以得到 的最大值就是tan AOM=3。

求函數最值的方法很多，但是當函數具有幾何意義時，求解最值問題最好是采用數形結合的方法，這樣更直觀靈活，也相應地把函數的最值問題轉化成為幾何中的直線斜率、兩點間直線距離等問題。而用數形結合法也有相應的步驟：首先是要把代數式轉化為圖形；其次是觀察轉化后的圖形，分析圖形，用幾何問題來進行解答；最后是再次回到代數問題，尋找出正確答案。

三、實際生活中的最值問題

最值問題在日常生活中的應用也是較廣泛的，比如貸款買房買車問題、出去旅行什么樣的出行方式才最劃算等。由此可以看出，最值問題也是具有現實意義的。

四、總結

數學是一門生活性的學科，它來源于生活又服務于生活。我們在學習或者是生活中碰到的一些難題都可以與數學中的知識相結合來進行解答。其中，最值問題是與我們緊密聯系也是最常見的一類問題。它貫穿了我們學習數學知識的始終，所以掌握最值問題中的解題方法，才能真正幫助我們解答難題，讓所學的知識服務于我們的生活。

參考文獻

[1] 丁伙健，關于最值問題[J]，數學大世界：高中2011 （7） ：10-12

[2] 陳 躍，淺談換元法在求最值問題中的應用[J]，數學學習與研究2015 （19） ：119-119

[3] 蘇永華，關于解析幾何中的最值問題分析[J]，課程教育研究：學法教法研究2017 （29） ：55-55