平行板電容器中同一直線上電勢的定量

肖加棟

一、引言

本文以平行板電容器產生的勻強電場為例，對共線點電勢的定量進行了公式推導，并將推導出的公式應用于實例分析中。

二、平行板電容器中同一直線電勢定量求解的推導

平行板電容器中的電場為勻強電場，設這一勻強電場的電場強度為E，如圖1所示，在電場中有一條直線AB，和電場方向呈θ的夾角，C為直線AB上的一點，過點B和點C分別做垂直于電場方向的垂線BB和CC，那么BB和CC可以看作等勢面，那么點A和點C之間的電勢差UAC，點C和點B之間的電勢差UCB分別如式1和式2所示：

[UAC=UAC'=E×AC'] （1）

[UCB=UC'B'=E×C'B'] （2）

將式1和式2相除，得到式3：

[UACUCB=AC'C'B'=ACCB=λ] （3）

根據電勢差的定義，UAC=UA-UC，UCB=UC-UB，分別帶入式3，為（UA-UC）/（UC-UB）=λ，變形后可以得到式4：

[UC=UA+λUB1+λ] （4）

式4說明，在平行板電容器產生的勻強電場中，如果任意兩點的電勢是已知的，那么與這兩點在同一直線上的第三個點的電勢也可以定量的求出，第三點的電勢與這個點在直線上和已知兩點的位置有關，即式中的λ，也就是說，勻強電場中同一直線上的電勢定量與解析幾何中的定比分點有關。

三、平行板電容器中同一直線電勢定量求解的實例說明

經過上述推導過程得到了平行板電容器中同一直線電勢定量的公式，下面通過實例說明這一公式的具體應用。

圖2勻強電場中同一直線上電勢定量的實例

如圖2所示，在平行板電容器中存在一個勻強電場，電場中有三個點分別有如圖所示的3個點A，B和C，這三個點的電勢分別為12V，6V和-6V，用UA，UB和UC表示，現在嘗試用式4所示的原理求出這個勻強電場的方向。

此例求解的關鍵步驟在于等勢面的確定，利用電場線與等勢面垂直，同時由高電勢指向低電勢的原理就可以求出勻強電場的方向。首先將點A和點C連接來，過B點的等勢面必然會與AC相交于一點，設為B，那么UB=UB=6V，將B和A，C兩點的關系歸結為式5：

[AB'B'C=λ] （5）

應用式4，得到A，B和C點電勢的關系，如式6所示：

[UB'=UA+λUC1+λ] （6）

將UA，UB和UC的具體數值帶入后可以求出λ=1/2，也就是說點B位于線段AC的三分之一處，靠近A點。連接BB，這條直線相當于是等勢面，垂直于BB就是電場線，方向由高電勢一側指向低電勢一側。

從上述實例中可以看出，利用同一直線上電勢滿足定比分點這一規律可以很方便的定量出勻強電場中共線點的電勢。如果式4中的λ=1，此時可以得到式7所示的關系：

[UC=UA+UB2] （7）

式7可以看作定比分點公式中的一個特例，也看以作為一個重要的推論在解題過程中使用，進而使相關類型題求解的速度得到提高。