旋轉超聲加工系統的頻率分叉研究

隆志力，張建國，王超，鄒建軍

（1.哈爾濱工業大學深圳研究生院，廣東深圳518055；2.東莞理工學院機械工程學院，廣東東莞523808）

超聲波控制系統是旋轉超聲加工的核心部件，其超聲能量輸出直接影響硬脆性材料去除的效率、刀具壽命與加工質量。因此，對超聲波能量的控制方式極為關鍵。感應耦合非接觸電能傳輸技術[1-3]（inductively coupled power transfer，ICPT）是利用電力電子技術和電磁感應原理，通過原、副邊磁芯存在的空氣間隙，把電能從變壓器原邊傳輸到副邊，從而完成電能的非接觸傳輸工作。國內外相繼開展了關于非接觸式電能傳輸的理論研究及實驗應用，取得了多項技術突破，并在不同領域得到應用[4-6]。松耦合變壓器也隨之被引入超聲加工領域[7-9]，使超聲加工中的電能傳輸從傳統的碳刷接觸式傳輸進化到非接觸式電能傳輸，使碳刷在高速旋轉時的摩擦發熱嚴重、壽命短、成本高及無法自動換刀等問題得到了完美解決。

當旋轉超聲波加工系統使用非接觸式電傳輸模塊后，整個系統就會變為高階數學模型系統，導致系統的頻率特性與超聲能量控制變得更加復雜。針對此問題，本文構建了旋轉超聲加工的頻率與阻抗模型，采用Matlab平臺仿真分析了超聲系統的頻率與阻抗特性，并通過實驗驗證了仿真結果。

1 超聲加工驅動系統

超聲波驅動器可認為是旋轉超聲加工的核心模塊，其主要功能是將220 V/50 Hz的市電轉換成與換能器工作諧振頻率一致的正弦波電信號，并以一定功率的電能量驅動壓電換能器，進而產生一定的振幅能量。圖1是超聲加工驅動系統的主要架構。圖1a是根據Mason推導得到的經典等效電路，其中，C0稱為靜態電容，由壓電陶瓷厚度、電極面積和材料介電常數等決定；R1為動態電阻；C1為動態電容；L1為動態電感，此動態參數與換能器加工負載相關。圖1a所示左側部分為系統的匹配參數，T2為系統非接觸傳輸部分的松耦變壓器，其轉換系數為M。圖1b是超聲波驅動系統的簡化電路圖?？梢?，驅動系統中包含電阻、電容和電感，工作過程中換能器的等效參數具有動態變化特性，變壓器也引入感性成分且存在漏感，因此整個驅動系統具有復雜的電容和電感特性。為了實現系統最大的傳輸功率和最高的傳輸效率，需對整個系統的頻率與阻抗特性及其影響規律進行深入研究。

圖1 超聲加工系統等效電路圖

2 頻率阻抗模型

根據圖1所示驅動系統的電路圖和戴維南定理，可得副邊等效阻抗計算公式為：

經變壓器將副邊阻抗折算到原邊，可得：

折算后的阻抗可寫成實部與虛部的和的形式：

整理可得到副邊阻抗折算到原邊的實數部分：

以及副邊阻抗折算到原邊的虛數部分：

可得副邊諧振頻率為：

整理可得到補償匹配電容為：

副邊阻抗折算到原邊得到的原邊總阻抗為：

其中，Zr可表示為：

進一步可得阻抗角為：

對上式進行處理，可得副邊品質因數、變壓器耦合系數與系統頻率f、ω的關系為：

由此可看出，初級阻抗角受到諧振頻率、耦合系數和次級品質因數的共同影響。

3 仿真計算

根據推導的阻抗與相位模型，在Matlab Simulink平臺上構建超聲驅動系統的仿真模型。如圖2所示，L1、C1、R1、C0為換能器參數；Cp、Cs為原副邊的耦合電容；T1為松耦合變壓器的參數，其中Lp、Ls為其原邊和副邊漏感。

圖2 仿真模型

在仿真模型中，對超聲波驅動系統進行頻率掃描仿真，起始頻率為23 kHz，終止頻率為33 kHz，頻率間距為10 Hz，仿真結果見圖3。圖3a是當Qs取值為1時的相位曲線，可見隨著耦合系數從0.7增加到0.9時，整個超聲波驅動系統從有1個過零點增加到3個，分別為初級電路固有諧振頻率、低分叉諧振頻率和高分叉諧振頻率，即此時電路發生了頻率分叉現象；且從圖3a可看出，臨界耦合系數為0.7。圖3b是當Qs取值為2時的相位曲線，可見耦合系數為0.44時，過相位零點從1個增加到3個，所以臨界耦合系數為0.44。在換能器工作時，3個頻率點都有可能被選為系統的工作頻率，進而導致系統工作不穩定，也會使系統在頻率跟蹤時發生混亂，找不到實際的頻率點，因此頻率分叉現象會破壞系統穩定工作。

圖3 不同品質因數下阻抗角與頻率之間的關系

由上述兩組曲線可知，當品質因數固定時，松耦合變壓器的耦合系數一旦超過臨界值，系統就會發生頻率分叉現象，且隨著負載品質因數的增大，頻率分叉發生的耦合系數變小?；谏鲜龇治隹芍?，在設計系統時應盡可能使品質因數小、耦合系數小，才有可能避免頻率分叉現象的發生，這也是設計松耦合變壓器時需著重考慮的地方。

進一步分析頻率分叉現象，并求出頻率分叉的邊界條件及原、副邊品質因數，由公式Q=ωL/R計算可得：

將整體等效阻抗與副邊發生并聯諧振阻抗做歸一化處理，令：

工作頻率和副邊并聯諧振頻率的比u=ω/ωn作為歸一化因子，其中u可表示工作頻率偏離諧振頻率的大小，同時將Qp、Qs同時代入上式，整理可得：

從式（16）可看出，Zn是關于Qp、Qs和u的關系式，Zn的解受到工作頻率和初級、次級品質因數的影響，頻率分叉現象不發生，即當此數學模型零相位角頻率等于副邊諧振頻率有唯一解時，就需式（16）的Zn=0時有唯一解，對Zn=0進行處理可得：

可將u2當成一個未知自變量，令u2=x，替換后可得：

當式（18）有唯一解只需Δ=0即可：

通過計算可得：

式（20）即為發生頻率分叉的臨界值。因此，只有當Qp＜Qs+1/Qs時，系統才不發生頻率分叉現象，此時原邊品質因數需比副邊品質因數小。而當Qp＞Qs+1/Qs時，系統發生頻率分叉現象，原邊品質因數比副邊品質因數要大一些。

換到次級品質因數和耦合系數的關系時，可表示為：

進而可得到不發生頻率分叉現象時副邊品質因數與耦合系數之間的關系表達式、負載阻抗與耦合系數的關系表達式，分別為：

副邊品質因數隨著耦合系數的增大而減小，副邊阻抗也隨著耦合系數的增大而減小。從上述分析可得出結論：系統的負載越輕，耦合系數越小，越不易發生頻率分叉現象。

3 實驗

基于構建的阻抗模型與仿真分析，搭建了如圖4所示的實驗平臺。分別以超聲波驅動系統的3個頻率（27.35、28.10、28.50 kHz）驅動壓電換能器，通過示波器觀測換能器兩端電壓與電流信號，并用激光多普勒測量儀對換能器輸出振幅進行測量。

圖4 實驗平臺

圖5是測得的超聲波驅動系統的電壓、電流和振幅曲線。由圖5a可見，以3個不同頻率加載換能器兩端電壓分別為31.9、32、32.7 V，相差很小。由圖5b可見，低分叉頻率時振幅為6.43 mV、諧振頻率振幅為22.6 mV、高分叉頻率時振幅為18 mV。因此，以相同電壓驅動這3個不同頻率時，換能器輸出振幅相差很大。這是因為不同頻率時系統的總阻抗不同，當工作在非諧振頻率時系統能量過多地消耗在電感和電容上，而不是消耗在實際做功的動態電阻上，導致系統的電能轉化效率低。

圖5 示波器實測波形圖

4 結論

本文構建了超聲加工驅動系統的阻抗模型與仿真模型，包括換能器等效參數、松耦合變壓器參數及匹配電容、電感等參數。由于超聲加工驅動系統是一個多階數學模型，從仿真上也得到超聲加工系統存在頻率分叉現象，即在一定的頻率范圍內，超聲系統存在多個頻率點，而這些頻率點均可能在工作過程中被驅動。因此必須有效控制和避免超聲加工的頻率分叉現象。測試實驗采用激光多譜勒儀對已有超聲換能器系統的3個頻率的振幅進行測量，發現系統的3個頻率的振幅輸出均不同，當以諧振頻率工作時，系統的輸出振幅最大。

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