數學好玩、玩好數學
——追求會想、會用、會學的教學

◇張思明

“數學就是一些居心叵測的成年人為青年學生挖的陷阱”“數學就是那些僅僅出現在課本和試卷上的，讓某些老師看著學生崴腳而感到竊喜的東西”……在學生心目中，老師不過就是一些挖坑布雷的高手。當我們在為學生被我們的一肚子題折騰得暈頭轉向而沾沾自喜時，我們離數學的真諦、離數學教育的真諦就越來越遠了。

正如劉堅教授所言，我們要帶給學生的，應是學生成長所需要的那種文化素養，是知道源和流的數學。

一、真實課堂中的數學應用

我在六年級課堂上做了一節數學思維的實驗課，借由“怎么會想”“怎么會用”兩個層面的題目，讓學生向“怎么會學”升華。

（一）怎么會想——培養學生的數學思維。

一張撲克牌剪掉1個角（剪痕是直線），還剩幾個角？最基本的答案是還剩5個角，這也是大部分學生能想到的。只有的學生能很有把握地進行反駁，他們用畫圖的方式解釋可能會剩3個、4個、5個角，但如何把它們串起來，對于學生而言是個難題。

這中間存在著一個思維的邏輯鏈條：先把5個角這種最基本的情況作出來（如圖1）；兩個點在兩條邊上運動，按住一個點P，讓另一點Q上下運動，當運動到點B時，自然得出還剩4個角的情況；再把點Q（B）按住，讓另一點P左右移動，當運動到點D時，得到還剩3個角的情況。學生掌握了這種思維方法，就可以進入下一個問題環節。

圖1

一個正方體用平面砍掉“1個角”——實際上是砍掉1個三棱錐，還剩幾個面、幾個角？先呈現一個任意的結果，再固定兩個點，讓另一個點運動……利用剛才的思維方法去想，學生很快就推出了其他結果。

將一個西瓜橫豎各平行地切兩刀，吃完后剩下幾塊皮？學生不再對書上所給的“10塊”這一標準答案深信不疑，紛紛表示隨便給出一個結果，就可能會有更多的東西需要思考。那么，如何思考？10塊的確是一個結果，但刀口是可以挪動的。得到啟示后，班上的學生開始躁動了。一些學生急著得到結果，卻很少嘗試思考為什么剩下的西瓜皮會變少。學生容易針對極端情況，得出剩下6塊西瓜皮這種情況，這時，教師可以引導學生有意識地探索剩下7塊、8塊、9塊甚至5塊西瓜皮的情況。

對于這樣的題目，我們強調更多的是思維，是找到這些結果的過程。學生要“會想”，而“會想”又存在著很多“技巧”，這個“技巧”或者是先猜測一個最基礎的結果，再固定一些可以變化的條件，讓另一些條件變化，在變化的過程中就會出現各種各樣的結果；或者是想極端情況，先想出最多的結果，再想出最少的結果，然后找出中間值的情況。

（二）怎么會用——培養學生的問題意識。

數學學習的重點不是僅僅針對問題得到一個具體的答案，而是希望培養學生提出更多問題的問題意識。教學不是上課、下課的過程，而是不斷發現和提出新問題的過程。有了數學思維，我們又可以提出很多問題。例如，圖2中包含多少個正方形？

圖2

數的過程很重要，需要不重、不漏，先數16個小“口”，再數2×2的田字格，然后數3×3的，最后數最大的這個，這樣一種一種數下去的過程，正好培養了學生圖形分類的思考能力。

據此，學生會自己提出問題嗎？比如，推廣到三維的情況（如圖3），圖中有多少個正方體？再如，推廣到平行四邊形、三角形的情況（如圖4、5），圖中分別有多少個平行四邊形、三角形？對于圖4、5，更一般的結論是什么？改變維數又有什么問題和猜想？

圖3

圖4

圖5

……

到最后，已經不是學生能不能解決這個問題，而是學生能不能提出這樣的問題，問題永遠比結果重要，要激發學生去思考。我們總習慣于要把書本上的知識點完完整整地灌輸給學生，其實更重要的是“問題場”的概念，學生走進你的教室，就是生活在一個“問題場”里，永遠不是進行到“老師問‘同學們還有問題嗎’，學生答‘沒有啦’”就結束了，而是學生走出教室后還會有更多的問題。

如此我們便能發現很多有意思的事情，比如，用紙折出正多邊形這一實踐中，正三角形、正五邊形、正六邊形學生都能順利折出，折到正八邊形的時候，他們是這樣做的：先折出3×3的方塊，再把4個角折起來（如圖6），這樣折感覺既很“正”，又為八邊形，學生認為這樣折出來的就是正八邊形。這時，不急于評判的教師會發現，一部分學生觀察到這個“正八邊形”的邊長并非完全一樣，并且嘗試做出了修改，修改的策略是五花八門的……這恰好就是學生發現問題、解決問題的過程。

圖6

（三）怎么會學——培養學生的學習能力。

1.讓學生知道數學的價值。

學習講究的是思維，就拿背公式來說，部分學生雖然能夠把公式背得滾瓜爛熟，但一問起稍微“超綱”（教師沒有教過）的，學生就不會了，這說明學生并沒有真正理解這些公式是怎么得到的。很多教師感覺自己教得很賣力，但發現學生并非知識學得越多，問題就解決得越好。比如，要求螺旋形蚊香的真正長度，高中生想到了等速螺線，初中生把蚊香近似看成了一個圓，而小學生則解下鞋帶鋪在了蚊香上。會背公式不算本事，把知識學活了，這才是學習應追求的東西。學生要知道數學的價值，知道數學有用、可用、能用，并且想用、會用、善用數學。

2.讓學生學會獨立思考。

圖7

北京大學校園內東南角的燕園大廈下有一個“雙莫比烏斯帶”形狀的雕塑（如圖7），初一學生看到了什么呢？炸糖耳朵、炸焦圈……學生把它和吃的聯系了起來，我沒有進行批判，而是讓他們每天都去看，直到看明白為止。到了高三，一個學生跑來說他看明白了，他說這個雕塑說明了“真理和謬誤只差一步”，他把一條一面是紅、另一面是藍的紙帶照著捏了一下并粘了起來，想象在藍面上走，走到黏合處，一腳跨過去就走到了紅面上，從而形成了他對這個雕塑的理解。教師要站得更高，我們的教育不在于是否算得更快，不在于多一個、少一個的知識，而在于這樣的滲透，在學生心里埋下一顆種子，讓他們知道其實最有價值的東西，就在自己每天的成長和發展中。

教師不要一味地只當“強者”，把自己包裝成什么都知道的形象，總是呈現高明的一面，而是要學會“裝傻”，以培養學生的自信心和獨立思考的能力，甚至在任何學科中，都應該有意識地讓學生站起來批判我們。正如王尚志老師所說：最偉大的老師是讓孩子站在你的肩膀上，孩子還以為自己就是長得那么高。

二、基礎教育中的數學應用與創新

近些年來，數學從臺后走到臺前，成為了創造價值的工具。美國國家數學教育顧問委員會在報告“成功的基礎”中有言：經研究證明，在美國，平均地看，數學好的人收入就高。

現代社會中，隨處可見數學模式。就以大數據為例。根據震動中心所提供的數據，日本電視臺可以及時、準確地發布地震相關信息；根據各大藥店所售藥品的相關數據，美國疾控中心可以迅速監測到傳染病的發生；分析手機里的運動軌跡、覆蓋面積等數據，保險公司可以清楚地了解每個人的身體狀況……

（一）從應用到建模的教學層次及建議。

從《數學建模教學與評估指南》一書可以看到，美國的學校很早就讓學生開始學習數學的應用與建模。就拿午餐的問題來說，學前班到二年級，可以收集數據，討論一個組要吃掉多少胡蘿卜，哪些食物與胡蘿卜搭配最好，多大的餐盒可以裝下這些胡蘿卜……三至五年級，可以進一步討論胡蘿卜和其他蔬菜營養成分的比較，如何在各種食物中挑選組成最佳的午餐，怎樣安排各餐的品種和價位……六至八年級，基于選擇的數量范圍（成分、價格、是否送餐、口味等）決定購買哪種披薩餅，給披薩餅的售價找一個函數（自變量可以是直徑或配送時間等）……這些項目學習，都是非常有應用價值的。

在我們的建模實踐中，提出了從數學應用意識滲透到完整的數學建?；顒拥?個逐步推進的層次：

（1）創設為幫助學生理解概念、函數、定理、公式等而有意設計的實際情境。

（2）直接套用數學概念、函數、定理、公式等，給出有實際意義的結果（如函數值），或者解釋、說明得到結果的實際意義。

（3）通過簡單的變換，間接套用數學概念、函數、定理、公式等，給出有實際意義的結果。

（4）教師或教材給出實際問題，并帶領（教材是引領）學生完成數學化及簡單、具體的數學應用。

（5）教師或教材給出實際問題，學生自主完成數學化及簡單、具體的數學應用。

（6）教師或教材給出問題情境，學生自主提出實際問題，師生一起完成“建立模型”和“模型求解”的主要過程。

（7）全過程（選題、開題、做題、結題）、學生部分自主（在發現和提出問題、模型的選擇和建立、求解模型、給出模型結果的解釋等環節中，教師部分參與，給予指導和支持）的數學建?；顒?。

（8）全過程、全自主（學生自主發現和提出問題、自主完成數學化的建模過程、自主求解模型、自主給出模型結果的解釋，在整個過程中可以自主尋求教師的幫助）的數學建?；顒?。

要使小學和初中銜接，就得做到前兩個層次，讓小學生體會到數學是從生活中來并運用到生活中去的。

（二）關于數學應用的一些教學案例。

有一天，路邊的一則廣告引發了我的好奇心：“本部承接超大型工程圖紙復印業務，規格可達A1、B1大小……”我們常用的復印紙型號有A4、A5、B4、B5等，那么，A1、B1復印紙有多大？能否根據手邊常用的復印紙大小，推算出A1、B1復印紙的大??？它們的尺寸之間有什么數量關系？通過分析遞推關系我們發現：只要知道A系列紙的一條邊，就能推出其所有的邊長，B系列紙也同樣如此，甚至只要知道任意一條邊，就能推出A、B系列所有復印紙的邊長。

基于這種思維，我們還能提出一系列有價值的問題。對開的《北京晚報》，一開的《人民日報》，八開的試卷，三十二開的筆記本，開數之間又有什么關系呢？把這些問題提出來、解答出來，這才是學習。如果學生掌握了這種思維方法，他們的學習就不再只是知識點的簡單羅列了。

如何用自行車測量出自己家與學校的距離？這個測量需要知道車輪的周長，圓的周長＝直徑×圓周率，在我們的教育下，學生對這個公式的記憶根深蒂固。但也正因如此，他們一味地只想著去量車輪的直徑，量不出來，怎么辦？一個平時很淘氣的小男孩兒用粉筆在自行車外胎上畫了一圈，再把自行車往前一推，有了印跡，周長就出來了，這才是真正解決問題的方法。再如測距離，學生每次測量的結果都不會一樣，但每次的測量值都是對真實結果的一個逼近，而這種學習不在課本里。

如何為所在小區設計一個最佳的送奶路線、一個合理的保安巡邏路線？閱讀和理解并非只存在于語文和英語這類科目中，送奶路線和巡邏路線的區別是什么？送奶要求用腳跑遍每一個樓洞，巡邏要求用眼睛看?！白罴选本褪峭瓿扇蝿涨易叩米钌?。這種閱讀和理解，學生只有真正去想、去做了，才能明白。

……

這樣的過程、這樣的應用聯系了學生和教材的實際，好入手、有趣味、可深入。數學課堂中蘊含的不僅是數學，更是教育。從另一個角度來說，多一把尺子，就多一批好學生。有很多學生在奧數中碰得頭破血流，也因此越來越討厭數學，而在我們這樣的過程、這樣的應用中，發揮的是學生的個性和特長，能夠給每個學生成功的體驗,給每個學生發展的機會，學生會堅定不移地跟著老師執著地學習，這才是我們想要的。