究竟如何塑造優質“數學文化課”

◇李鐵安

《如何理解“數學文化課”的內涵與價值》［1］一文嘗試性地闡釋了：究竟什么是數學文化？數學究竟具有怎樣的文化價值？究竟什么是數學文化課？在此基礎上，本文進一步探析：優質的數學文化課究竟具有哪些基本特征？究竟如何塑造優質數學文化課？

一 優質“數學文化課”的基本特征

課堂教學是師生以人類優秀文化為中介的“教”與“學”相統一的教育實踐活動，是學生的主觀能動性與教師的主導作用以及教學內容的育人功能三個要素相互作用而形成的統一體。這是課堂教學的本質意義與內在邏輯。所謂優質課堂，應是學生主觀能動性與教師主導作用以及教學內容育人功能得以最大限度地釋放并盡可能達成和諧統一的課堂。

優質數學文化課堂就意味著：“充分彰顯數學文化價值、充分發揮數學育人力量”，從而最直接激活學生數學學習動力，強有力改善學生數學學習境遇，深層次提升學生數學素養，根本性落實數學課堂育人宗旨?；诖?，優質數學文化課應具備以下特征：

1.課程內容充滿文化意蘊。即：課程內容本身更為科學地融入數學的文化元素，更為深刻地反映數學的學科本質，更為全面地體現數學的核心素養，更為綜合地融合學科之外的知識；課程內容結構以富于挑戰性的、生動的、開放的、有趣的數學問題來貫穿，問題之間的架構符合數學學科的內在邏輯和學生數學學習的認知邏輯等。

2.教師教學充滿文化意趣。即：教師始終圍繞數學問題展開教學，并基于問題解決采取適切的教學方式；教師自覺關注全體學生，關注不同層次學生的學習狀態；教師提出數學問題時，要充分尊重和鼓勵學生，給予學生足夠的思考、探究和交流時間；教師充分關注學生數學學習過程中出現的認知問題，給予有針對性的引導與指導，并善于將學生提出的問題轉化生成為新的學習資源。

3.學生學習充滿文化意境。即：學生對數學學習表現出積極濃厚的興趣，對數學問題充滿好奇和探究的欲望；學生認真傾聽、積極應對教師提出的問題以及同伴對問題的回答與解釋，積極思考，并善于表達自己的觀點，善于與同伴進行交流研討；學生善于獨立地思考問題，善于用數學化的思維方式思考和解決問題，善于從不同的角度思考問題，能夠提出新的問題和想法，善于不斷的追問與反思；全體學生在整個學習過程中經歷完整豐滿的問題解決過程，對數學學習活動獲得愉悅體驗和充實收獲。

二 優質“數學文化課”的實施策略

要塑造一節優質數學文化課，就是在數學課堂上要盡可能地達成：讓課程內容充滿文化意蘊，讓教師教學充滿文化意趣，讓學生學習充滿文化意境。這其中，課程內容文化意蘊和學生學習文化意境的達成取決于教師高質量的備課和上課。

1.深挖課程價值，優化教學結構——為學生提供精良的數學學習資源。深化課程價值是對數學教學內容進行“問題化”的過程，優化教學結構是對問題化的數學教學內容進行“邏輯化”的過程。具體體現在：首先，教師要精選具有文化特質的數學題材，抽取其中的育人要素；如果是常態數學課，要精心挖掘數學知識背后所蘊含的文化要素。其次，要精準解析課程內容的知識結構，將課程內容靜態的結論性知識轉化為動態的開放性問題。最后，要精巧搭建課程內容的問題結構，使問題之間的架構符合數學學科的內在邏輯和學生學習的認知邏輯。

問題結構實質上是由一個個問題按照邏輯順序架構起來的，這便為學生提供了一個充滿學習意義的有利資源和抓手。當學生依托這個資源和抓手開展數學學習時，將經歷一個發現和提出問題、分析和解決問題的完整過程，而恰是在這樣的學習過程中，數學學科核心素養的基本要素悄悄浸潤其中，學生對數學學習的火熱情感、積極態度和靈動思維得以生長和張揚。

2.活化教師主導，優化教學過程——讓學生經歷完整的數學學習過程?；罨處熤鲗蔷珳识`活把握好對教學內容、教學策略、教學節奏等的駕馭尺度，優化教學過程是精心而靈動處理好對學生學習方式、思維過程、情感體驗等的調控藝術。具體體現在：學習的任務容量要適當——教師要基于課程內容的難易度和學生的認知能力，整體把握學習內容的取舍；學習的過程環節要適合——教師要讓學生經歷認識、理解、鞏固、應用這一完整的學習過程；學習的節奏進程要適宜——教師要合理調控學生對課程核心內容與關鍵問題學習的力度與時長；學習的策略方式要適切——教師要基于具體問題科學地組織教學，讓學生采取靈活有效的學習方式解決問題；學習的主體體驗要適度——教師要充分關注和活化學生學習過程中的生成，讓學生在深刻的感悟和思維體驗中享受數學文化的浸潤過程。

三 優質“數學文化課”的案例舉隅

【案例1】“完全數”教學設計（片段）

在數學史上，完全數是一個饒有趣味的話題，如果將完全數的史料作為一個數學教學的故事提供給學生，相信對開闊學生數學視野、調動學生探究興趣不無裨益。而如果對完全數的定義、完全數的數字特征、完全數的基本規律等內容做深入挖掘，進而科學精巧地設計問題，也許更能體現和實現完全數這一內容題材的文化價值和育人功能。

1.問題挖掘與提煉。

以下選取一段基于完全數史料的問題設計及其教學過程（問題后面括號里邊的內容是根據教學實錄概要提煉出來的問題解答）。

（1）讓學生概括完全數的定義。

問題①：請找出一組自然數，填入下面框圖中，使等式成立。要求在同一種形狀的框圖里填入相同的數，不同形狀的框圖里填入不同的數。（1＋2＋3=1×2×3）

問題②：1＋2＋3=1×2×3，這個等式很美妙吧。怎么想到1、2、3這三個數的呢？（三個數相加等于這三個數相乘，這確實很神奇！等式前面是相加，后面是相乘，所以數字應該很小才可以）

問題③：想一想，6的真因子有哪些？（6的真因子有1、2、3這三個數）

問題④：試一試，用語言概括6=1＋2＋3的意義。（6恰好是它的所有真因子之和）

問題⑤：找一找，在10以內，還有這樣的數嗎？（沒有）在20以內呢？（沒有）在30以內呢？（興奮——找到了！28=1＋2＋4＋7＋14）

問題⑥：像6和28這樣的數，在數學史上被稱為完全數。請嘗試概括一下完全數的定義。（在自然數中，如果一個數恰好等于它的所有真因子之和，則稱該數為“完全數”）

（2）讓學生猜想完全數的數字特征。

問題①：完全數由古希臘畢達哥拉斯學派最先發現并命名。據數學史料介紹，畢達哥拉斯學派發現了前四個完全數，依次是6、28、496、8128。由此，你是否發現完全數的數字有什么特征？猜一猜，第五個完全數會是什么樣子？第六個完全數又會是什么樣子？（完全數的末位數是6、8、6、8……這樣循環出現的規律，而第幾個完全數應該是幾位數；猜想第五個完全數末位數字應該是6，是五位數；第六個完全數末位數字應該是8，是六位數）

問題②：事實上，第五個完全數的末位數字確實是6，但它不是五位數?。ㄅd奮之后是疑惑和好奇）是33550336（大吃一驚）；第六個完全數末位數字不是8，也不是六位數?。ㄒ苫?；更為大吃一驚）是8589869056（驚訝，好奇）。第七個和第八個完全數依次是137438691328和2305843008139952128（依然驚訝，好奇）。那么對此有什么感想？（學生：看來猜想是不可靠的！教師：的確，猜想與合情推理的結果必須經過嚴格的事實檢驗和邏輯證明。但猜想與合情推理是數學創造的重要來源。在數學學習中，敢于并學會大膽猜想和合情推理是非常寶貴的）

（3）讓學生發現探究完全數的奇妙規律。

問題①：第一個完全數6=1+2+3，說明6可以怎樣表示？那么第二個完全數28也能類似地表示嗎？如何表示？［經歷思考、探究、交流等過程之后：6可以用從1開始的連續三個自然數之和表示；如果1+2+3+…+x=28，則x（x+1）=56，由于x是非零自然數，所以x=7，所以28=1+2+3+…+6+7］

問題②：如果第三個完全數496也能類似地表示，那么怎樣求出它應該從1一直加到哪個數？最終究竟如何表示？［1+2+3+…+x=496，則x（x+1）=992，由于x是非零自然數，可通過驗算得出x=31，所以496=1+2+3+…+30+31］

2.育人價值解析。

通過對完全數史料的深入挖掘，設計出讓學生概括完全數的定義、猜想完全數的數字特征、發現探究完全數的奇妙規律等幾個基本問題，這些問題的解決蘊含了抽象、轉化、類比、歸納、演繹、方程等豐富的數學思想。無疑，學生經歷這些問題的解決過程也是充分發展學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養的過程。不僅如此，在這一過程中通過教師不失時機地引導點撥，也可培育學生數學學習的好奇心、審美直覺、大膽想象力和創造力等核心能力，還可以讓學生初步感受基本的數學觀念，體會數學的審美意蘊，以及感悟數學發現與創造的方法論。

而在對三個問題的結構設計上，不難發現，支撐各個問題的子問題之間具有嚴謹精妙的內在邏輯，可以圓滿地反映問題解決的整個過程，由此，也必然使學生對問題的解決能夠經歷一個完整的過程。顯見，這樣的問題結構設計及其解決必然可以充分發揮出數學的育人價值和育人力量。

【案例2】“九宮圖中的數學奧秘”教學設計

1.內容背景概述。

九宮圖是中華傳統數學文化的經典內容。將這一題材作為教學內容，其核心問題實質就是：究竟如何將1～9這九個數字填到一個九宮圖中（如圖1），保證橫行、縱列、對角線上的數字之和都等于15？

圖1

如果把這個數學文化題材僅僅作為一個游戲提供給學生，不僅將本是一個奇妙的經典數學文化題材變得平淡無味、乏善可陳，也在很大程度上錯失了一次讓學生發現數學、熱愛數學、欣賞數學和創造數學的良機。

2.教學過程設計。

如何把這個數學文化題材加工為學生學習的精良資源，從而盡可能讓學生經歷完整的數學學習過程呢？在小學的中、高學段，可做如下教學設計：

教師出示一個九宮格，讓學生觀察，之后提出問題：如何將1～9這九個數字填到一個九宮圖中，保證橫行、縱列、對角線上的數字之和都等于15呢？

教師提出要求：請同學們不要著急填數，獨自認真地想一想，再試一試。

教師根據學生填圖狀況適當啟發，自言自語地提示：你們在直覺上最先想到和嘗試填哪一個格？（學生幾乎會異口同聲地說：中間格）這時教師鼓勵并追問：這樣想非常好！那么中間格究竟應該填哪個數呢？（一些學生會回答：中間格應該填數字5）這時教師再自言自語地提示：是填5嗎？為什么呢？那就按照中間格填5，再嘗試一下吧。（教師巡視學生填圖情況，可選學生填錯的和正確的結果在全班演示并檢驗正確與否）

教師提出新的問題：這個九宮圖究竟應該怎樣填數呢？讓我們暫且放下這個問題，先探究一個很有意思的幾何圖形；請同學們認真觀察這個米字格圖形，如圖2。

圖2

教師追問：這個圖形有什么特征？讓學生獨立思考，適時啟發學生，最終讓學生形成基本判斷：是軸對稱圖形，有四條對稱軸；也是中心對稱圖形，四條對稱軸的交點是對稱中心。

教師追問：這個圖形有多少個交點？每個交點是怎樣形成的？讓學生獨立思考，適時啟發學生，最終讓學生形成基本判斷：一共有九個交點，中間的一點是四條線（四條對稱軸）的交點；四個頂點分別是三條線（兩條邊、一條對角線）的交點；四個中點分別是兩條線（一條邊、一條對稱軸）的交點。

教師繼續提出問題：我們再回到問題本身，如果保證九宮圖中橫行、縱列、對角線上的數字之和都等于15，九宮格中的每一個格中的數字都分別參與了幾次運算？請同學們認真觀察獨立思考，找到你的發現。最終讓學生形成基本判斷：中間方格上的數字參與4次運算；四個角方格上的數字參與3次運算；其余四個方格上的數字參與2次運算。

教師追問：誰能說一說這個問題與九宮圖填數字有什么關系？讓學生形成基本判斷：米字格中的九個交點恰好可以對應九宮圖中的九個格！

教師：非常好！那么我們接下來怎么辦呢？讓學生認識到：前面我們對九個交點進行了分類，相應地，按照數字奇偶性對1～9這九個數字分類。1、3、5、7、9是奇數，2、4、6、8是偶數。結合每個方格中的數字參與運算的次數，把數字5單獨作為一類，它必然應該填到中間那個方格；然后1、3、7、9是一類，2、4、6、8又是一類，它們就應該分別填到四個頂角方格和其余四個方格中。

教師：真不錯！那么再想一想，如果將1、3、7、9填在四個頂角方格中，相應地將2、4、6、8填在其余四個方格中，可以嗎？如果不可以，應該如何填？為什么？你可以用哪個數學規律來解釋？最終讓學生形成基本判斷：不可以。這樣填，雖然可以保證中間行、中間列和兩個對角線上的數字之和等于15，但兩個邊行和兩個邊列上的數字之和不能等于15。所以應在四個頂角方格上分別填數字2、4、6、8，相應地在其余四個方格上分別填數字1、3、7、9。因為15是奇數，而奇數+奇數+偶數=偶數，顯然這不符合要求；但偶數+偶數+奇數=奇數，這就可以符合要求。

教師：我們可以看到，其實圖形的對稱性與數字的對稱性在這里是和諧統一的。這就是九宮圖在數學上的奧妙和迷人之處。

3.教育意蘊解析。

首先，教師提出問題：我們能否巧妙地填九宮圖呢？這就把問題的解決直接交給學生了。其次，教師讓學生先畫出一個米字格圖形，又一次提出問題：你能說出圖形的對稱性以及其中九個交點是怎么形成的嗎？這樣處理是為學生建立了一個熟悉的幾何模型，讓學生通過觀察圖形特征，獲得審美直覺，并通過對交點進行分類，再聯想九宮圖中的數字分布規律要求，這就為有條理地對數字進行分類做了鋪墊。

重要的是，在分析米字格中交點形成規律和九宮格中數字規律的過程中，滲透轉化思想、類比思想、分類思想等。而在如何把1～9這九個數填入九宮格中的環節，通過對數字本身特征的分析，運用合情推理和演繹推理的思維方式，也同樣滲透了豐富的數學思想并貫穿著演繹推理，這就使學生在解決問題的過程中經歷了數學思想的熏陶和數學思維的訓練。這樣的教學設計，始終貫穿著問題解決，始終讓學生自主地發現提出問題和分析解決問題。而學生在解決問題的過程中，無疑會感受數學的美麗和神奇。