時滯切換系統的穩定性研究

趙永馳?仲福建

本文研究時滯線性切換系統滿足 性能條件。推導了當 時，給定的條件保證時滯線性切換系統是漸近穩定的；當 時，給定的條件滿足時滯線性切換系統滿足零初始條件下 性能。最后給出了給出了仿真例子，表明了時滯線性切換系統給出的條件是合理的，同時驗證了時滯對切換系統的影響。

在工業控制系統中，因測量、以及采樣，而后傳輸等多重因素出現時滯。一方面，時滯存在會影響控制系統性能。另一方面，具有滯切換系統的有關研究也面臨巨大挑戰和困難，值得繼續深入探討。時滯問題造成不利系統特性，例如導致系統不穩定。故時滯切換系統在什么情況下是漸近穩定的就有研究的必要。近年來有許多人研究切換系統，研究的成果也很多[1-4]，如確保任意切換穩定所利用的共同Lyapunov函數方法，多Lyapunov函數方法[2，3]，平均駐留時間方法[4，5]等，也對各個方法進行了總結與歸納[6，7]，提出了切換系統發展的新方向。Zmaes提出的控制理論使系統具有魯棒性條件，使魯棒控制得到了發展。當確保切換系統穩定時，也將干擾對系統的影響抑制在可控水平之下，利用切換Lyapunov函數方法和切換與脈沖奇異系統的解，其控制問題被推廣到H無窮控制理論，同時在延遲系統問題方面也有研究，例如研究了具有H無窮保性能的網絡切換時延系統， 設計動態輸出反饋控制在擾動衰減水平可控下以確保閉環時延系統漸近穩定。*表示對稱矩陣對應部分。

一、 問題描述

考慮線性時間系統：

（1）

其中是狀態向量，是系統被調輸出，是一個q維擾動輸入，屬于。是滯后時間，滿足和；，；，，，，是分段常數函數。

在本文中研究時滯切換系統滿足問題，確保如下條件：

（1）當時，時滯切換系統（1）是漸近穩定的；

（2）令擾動，在零初始條件下，有標量，信號z偏差符合如下要求：

（2）

二、時滯切換系統穩定性分析

在該節中針對時滯切換系統（1），研究時滯切換系統要符合 條件問題。

定理1 針對時滯切換系統（1），若存在矩陣和，，，，，，使得下面線性矩陣不等式成立

（3）

并且正定矩陣有如下關系：

（4）

平均駐留時間滿足如下條件：

（5）

故時滯切換系統（1）符合性能指標。

證明：假定第i個子系統在區間運行，且定義如下李雅普諾夫Krasovskii函數：

（6）

首先證明當時，時滯切換系統符合條件（3）的漸近穩定。

導數，根據時滯切換系統的軌跡，能得到：（7）

求的導數：

（8）

依據（7）-（8）推導：

（9）

根據公式（3），刪除系統被調輸出及外部擾動部分，得到：

（10）

把（10）代入（9），可以得到：

（11）

讓表示系統切換時間左極限，表示在切換之前瞬間，通過（4）和（11），獲得切換系統從第i子系統切換到第j個子系統情形，推導如下：

（12）

依據切換系統切換規則，當，有如下推導：

（13）

又根據切換系統的切換序列有如下推導：

（14）

又由（5）有如下推導：

（15）

令，則根據（15）和（5）兩式，推導出如下：

（16）

其中是常數

從上看出，隨時間t逐漸減小，滿足條件（3）、（4）和（5）的時滯切換系統是漸近穩定的。

下面考慮當時，時滯切換系統具有 性能指標，令：

（17）

從零初始條件開始，可以獲得如下：

（18）

繼而有如下推導：

（19）

又由可以得到：

（20）

其中：

綜合（9）和（20）兩式，可以推導如下：

（21）

把（21）代入（19），可以得到：

（22）

公式（3）利用Schur補性質得到：

（23）

把（23）代入（22），可以得到如下推導：

（24）

把（24）代入（18），可以得到如下推導：

（25）

把（25）代入（17），可以得到如下推導：

因此當時，時滯切換系統具有 性能指標，定理得到證明。

假如，時滯切換系統具有共同的Lyapunov函數，當且僅當，時滯切換系統的各子系統均是穩定的，則在任意切換信號下時滯切換系統是指數漸近穩定。

三、仿真分析

例1.考慮線性時滯切換系統（1）有2個子系統，其中參數分別為：

，，，，，，，，，，，，令，，， w（t）=（ sin（t） sin（t） sin（t））T，。

根據定理1，求出和； 和。

切換規則是單數秒激活第一個子系統，雙數秒激活第二子系統，第一、二系統時滯依切換規則依次為=0.5，0.7，1.2，1.5，2，初值為（1；0.8；0.9），得到誤差切換系統的仿真圖形1所示。圖1體現了切換系統是漸近穩定的，總體表明切換系統滿足 性能指標，表明了定理1的有效性。

又當=2，3，4，5，得到如圖2仿真圖形?？煽闯?，時滯時間的增加，時滯切換系統的穩定性收斂有所放緩，表明了時滯對切換系統的影響。

四、結語

本文對時滯線性切換系統進行研究，給出的條件保證了當 時，系統是漸近穩定的；當 時，時滯切換系統滿足 性能。最后給出了仿真案例表明了系統給出條件有效性。同時從給出的圖形可以看出：時滯時間的增大，導致系統收斂到零有所延緩。 （作者單位為綿陽師范學院信息工程學院）

基金項目：四川省教育廳基金 （No.17ZB0212，16ZB0312）和綿陽師范學院基金（No.QN-2016-A05）。