如何求向量的夾角

■李怡潔

兩個向量的夾角是指當兩個向量的起點相同時，表示這兩個向量的有向線段所形成的角。若起點不同，應先通過平移，使其起點相同，再觀察夾角。兩個向量夾角的范圍為[0，π]，特別地，當兩個向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π。

向量的夾角與向量所在直線所成的角不同，前者的范圍是[0，π]，而后者的范圍是

題型1：通過向量的運算獲取模長與向量的數量積，求向量的夾角

例 1已知|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為60°，求向量m=2a+b與向量n=a-4b的夾角θ的余弦值。

解：由題意知a·b=2×1×cos 60°=1。

|m|2=2a+b2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×1+1=21。

|n|2=a-4b2=|a|2-8a·b+16|b|2=22-8×1+16×1=12。

由上可得|m|=21，|n|=23。

又因為m·n=(2a+b)·(a-4b)=2|a|2-7a·b-4|b|2=2×22-7×1-4×1=-3，

解答本題先通過題設條件，利用向量的運算確定|m|2，|n|2，m·n的值，然后求其夾角。

題型2：通過向量的運算獲取模長與向量數量積的關系，求向量的夾角

例2若非零向量a，b滿足|a|=3|b|=|a+2b|，求a與b夾角的余弦值。

解：由|a|=|a+2b|，兩邊平方得|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2，得a·b=-b2，所以

先通過題設條件，利用向量的運算得到a·b=-b2=-b2，然后求其夾角。

題型3：通過向量的運算獲取向量的模長與模長的關系，求向量的夾角

例 3已知a與b是兩個非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，求向量b與向量a-b的夾角。

解：設向量b與向量a-b的夾角為θ。

因為|b|=|a+b|，|b|=|a|，所以b2=(a+b)2，即|b|2=|a|2+2a·b+|b|2，可得a·b=-

利用題設條件得到|ab|=|b|是解答本題的關鍵。本題也可利用數形結合的方法，借助圖形直接求解。