弗封閉策略及相關論爭探析*

李珂

南京大學哲學系

like0628@163.com

劉飛

南京森林警察學院基礎部

life1985@163.com

雙面真理論（dialetheism，以下簡稱“雙真論”）是在亞相容邏輯（paraconsistent logic）研究中提出的一種哲學思想，即在一定意義上承認“真矛盾”或“真值疊加（glut）”的思想。以此為思想背景而構建的邏輯理論稱為雙真論理論。經過數十年的探討，主張雙真論的學者就如下問題已達成共識：使用以LP（Logic of Paradox）為代表的雙真論理論能夠較好地解決集合論悖論和語義悖論。一直以來，這被視為LP最獨特、最重要的解題功能之所在。但LP的創建人普利斯特（G.Priest）認為，LP理論的應用空間并不限于集合論悖論和語義悖論的范圍，比如可借助弗封閉模式（Inclosure Schema）（[4]，第147頁）作用于連鎖悖論（sorites paradox），從而拓展LP理論的應用領域。他的具體做法是：用弗封閉模式重構連鎖悖論，使其與集合論悖論、語義悖論等均被統攝在該模式之下，然后按照“統一解法原理”（PUS：the Principle of Uniform Solution，即“同一種類悖論具有同一種解法”）（[4]，第183-184頁）將雙真論解悖方案應用于解決連鎖悖論。

比爾（Jc Beall）把這一做法稱為弗封閉策略（inclosure strategy）（[2]，第829頁），但他并不認為該策略能夠成功解決連鎖悖論，理由之一是弗封閉策略不能解決在本質上與連鎖悖論同為弗封閉悖論的寇里悖論（Curry’s Paradox）（[2]，第831頁）；另一個理由是弗封閉策略找不到正確的“容忍條件句”（tolerance conditionals）（[2]，第832頁）。比爾由此提出了弗封閉策略的替代方案——基于不可斷定性算子（unassertability operator）的保持容忍論證（the preserving tolerance argument）。（[2]，第831頁）然而，以普利斯特為代表的部分雙真論者對比爾的論證進行了多方反駁，從而否認這種替代方案。（[7]）雙方為此進行了多輪討論，尚未就此達成一致意見。鑒于國內學界對于雙真論者的這種“內部論爭”尚缺乏應有關注，本文擬就這一論爭的來龍去脈予以系統評述，并談談我們的一些思考。

1 弗封閉模式

普利斯特基于對羅素悖論的重塑，認為弗封閉模式可以概括大多數悖論的特征（[4]，第141-154頁）。他借助集合論方法將弗封閉模式建構如下：

對于一元謂詞φ和θ，一元函數δ，存在一些明顯為真或者先驗（a priori）為真的原則，當這些原則蘊涵下列條件時，弗封閉式悖論（inclosure paradox）產生：

1.存在一個集合?，使得?={x:φ(x)}和θ(?)（存在性，Existence）；

2.如果X??且θ(X)，那么

(a)δ(X)/∈X（超越性，Transcendence）；

(b)δ(X)∈? （封閉性，Closure）。

（關于弗封閉的一種特殊情況是，當θ(X)是空條件，即當X=X時，可能不會被提及。）根據這些條件，在界線處，即當X=?時，矛盾產生：δ(?)∈?且δ(?)/∈?。此矛盾又被稱為弗封閉矛盾（inclosure contradiction）。（[6]，第70頁）

普利斯特曾以圖1直觀地展現了弗封閉模式的原理。

他認為弗封閉模式能夠很好地應用于布拉里-福蒂悖論（Burali-Forti Paradox）等集合論悖論和說謊者悖論等語義悖論。（[6]，第70頁）關于這兩種悖論的雙真論解悖方案在雙真論者內部基本達成共識，但是這類悖論只占眾多悖論類型中很小的一部分。因此，普利斯特希望利用他的弗封閉模式理論將雙真論解悖范圍擴展到更寬廣的領域，其中連鎖悖論是一個重要代表。

2 弗封閉模式對連鎖悖論的重構

連鎖悖論通常表現為：有一系列對象a0,...,an和一個模糊謂詞P，存在Pa0和?Pan，并且緊鄰的兩個元素在它們的P屬性上只有很小的差別，即如果其中一個元素具有P屬性，則根據容忍原理（the principle of tolerance），另一個元素也具有該屬性。

普利斯特認為弗封閉模式從形式上能夠重構連鎖悖論。對于上列弗封閉模式而言，令φ(x)是Px，那么?={x:Px}；θ(x)是空條件。因為an不在?當中，?實際上是A={a0,...,an}的一個真子集。于是，存在性成立。如果x??，又因為X是A的一個真子集，在A中就必然存在第一個不在X當中的元素，令這個元素是δ(X)。根據定義，δ(X)/∈X。所以，超越性成立。如果X=?，δ(X)=a0，于是有Pδ(X)；或者如果X/=?，δ(X)緊隨某個X??中的元素，根據容忍原則有Pδ(X)。在兩種情況下，都得到δ(X)∈?，因此，封閉性成立。連鎖悖論的弗封閉矛盾表現為：序列中沒有P屬性的第一個元素具有P屬性。在具有P屬性的事物界線處之所以產生矛盾，那是由于對角線法（diagonalization）把界線處的元素帶出X，而容忍原則卻使它留在?之內，如圖1所示。因此，弗封閉模式可以從形式上刻畫連鎖悖論。（[6]，第70-71頁）

圖1:[4]，第172頁，圖中ψ對應本文中θ，圖中x對應本文中X。

請注意，盡管連鎖悖論中產生矛盾的點從圖1中看似很明確，即產生于界線處，但實際上這個（或這些）點是模糊的。因為連鎖論證的相關信息只能推出“矛盾出現在連鎖序列起止點之間的某個地方”，但具體位置在哪里并不清楚。而在自指悖論中，產生矛盾的點是界線事例，“出現在弗封閉的界線處，哪一個公式（或語句）是雙面真論題（dialetheia）可以被確知”。（[6]，第80頁）即便連鎖悖論與自指悖論具有這種重要差異，普利斯特仍認為二者同屬于弗封閉悖論。他的理由是連鎖悖論的模糊性特點與自指悖論的無限擴張狀態具有相似性，弗封閉模式能夠刻畫這兩個相似特點。他又通過分析連鎖論證的語句聯結詞、高階模糊性和界線點（cut-off points）等方面，多方論證弗封閉模式能夠刻畫連鎖悖論。（參見[8]）

3 關于弗封閉策略解悖功能的爭論

按照普利斯特等人的設想，雙真論者應該都會同意連鎖悖論是弗封閉悖論，進而在統一解法原理指導之下采用雙真論來解悖。1此處及后文反對比爾的觀點來自于包含普利斯特在內的五位雙真論者：Z.Weber,D.Ripley,G.Priest,D.Hyde,M.Colyvan。比爾提出反對弗封閉策略的主張后，這五位雙真論者開始聯合起來為弗封閉策略作辯護。他們被比爾簡稱為WRPHC，下文皆以“普利斯特等人”代表五位雙真論者。然而，同為雙真論者的比爾卻對此提出了強烈的反對意見。比爾認為，普利斯特的這種“弗封閉策略”對于自指悖論解悖而言是沒有問題的，但不能把它擴展至連鎖悖論家族。（[2]，第829頁）他首先否認弗封閉策略的普適性，最明顯的理由是這一策略不能解決寇里悖論，進而也不能解決連鎖悖論。（同時，他認為弗封閉策略的相關論證并不充分，該策略不能建構出適合于連鎖悖論的容忍聯結詞，因為它的容忍聯結詞不具不可傳遞性和不可分離性的特點；于是，比爾提出了不可斷定性理論來尋求正確的容忍聯結詞。）

3.1 弗封閉策略能否應用于寇里悖論？

比爾以寇里悖論為例否認了弗封閉策略的普適功能，他的論證思路大致如下：寇里悖論雖然適用于弗封閉模式，但如果借助統一解法原理用雙真論來解悖就會導致荒謬。（[3]，第800-802頁）普利斯特等人的回應是把寇里悖論拒斥在弗封閉模式的適用范圍之外，如此一來寇里悖論就不能作為反例對弗封閉策略構成威脅。（[7]，第823-824頁）而比爾又采用更為精細的論證來反駁普利斯特等人的觀點，認為弗封閉策略會面臨一種寇里式的二難困境：“它將‘壞的’寇里事例（cases）排除在外卻付出了將太多‘好的’寇里事例也排除在外的代價”（[2]，第846頁），這種二難困境的構成可展示如下：

普利斯特等人認定寇里語句是s=〈Ts→A〉，其中A是任意語句。2寇里悖論的語義學版本又稱“寇里-吉奇悖論”（Curry-Geach’s Paradox，參見[9]，第100頁）請注意區分寇里悖論和寇里語句。在圍繞弗封閉策略這一主題展開論爭的文章中，雙方都沒有專門對悖論及相應的悖論性語句作出明確區分，幾乎在所有本該涉及“悖論性語句”的時候，不約而同地使用“悖論”進行代替。也許這是一種省略式用法，但更可能的情況是人們不清楚區分“悖論”及“悖論性語句”的必要性和重要性，更不用說明確提出區分二者的標準。（參見[11]）當A是真語句時，該語句模式無法滿足弗封閉模式所要求的超越性，此時相應的代入例不屬于弗封閉悖論；當A是非真語句時，該語句模式滿足弗封閉模式所要求的超越性和封閉性，此時相應的代入例屬于弗封閉悖論。按照這種分類標準，如果普利斯特等人的觀點“關于寇里悖論的所有代入例——無論A是什么——顯然都屬于同一種類”（[7]，第823頁）當中的“同一種類”指的是“同屬于弗封閉悖論”，那么該觀點錯誤。

如果普利斯特等人采用比爾所提出的亞弗封閉悖論案例標準：“當且僅當至少有一個代入例是弗封閉悖論的，那么這種語句模式是弗封閉悖論的”（[2]，第843頁），即一般形式下的寇里悖論語句模式（不論A為真語句或非真語句）都屬于弗封閉悖論的。這條標準本身及其應用不符合人們的直覺，因為“從特例中得出一般性結論是一種糟糕的形式”。（[7]，第823頁）

如果普利斯特等人采用比爾提出的超弗封閉悖論案例標準：“當且僅當所有代入例都屬于弗封閉悖論，那么一般形式下的這種語句模式是弗封閉悖論的”（[2]，第843頁），即一般形式下的寇里悖論語句模式（不論A為真語句或非真語句）都屬于弗封閉悖論的。顯然，如果A是任意的，寇里悖論語句模式整體上不屬于弗封閉悖論的。要想讓寇里悖論嚴格地屬于弗封閉悖論，只能對A加以限制，正如比爾所做的，把A限制為非真語句Au:s=〈Ts→Au〉，或者干脆構造出直接包含否定的“新寇里悖論”：s=〈Ts→A∧?A〉。（[2]，第843-844頁）經過改造，只保留“好的”寇里悖論，將“壞的”排除掉。比爾料想普利斯特等人不會同意這種高度特設的行為，因為其后果是令人難以接受的：一旦人們接受了改造后的寇里悖論新版本屬于弗封閉悖論，下面就面臨著根據統一解法原理對它們使用雙真論解悖方案。而按照雙真論，s是既真又假的，那么s可以為真。當s為真時，得出Au為真或者A∧?A為真。即使雙真論者明確承認有的矛盾為真，但是畢竟被承認的真矛盾是有限度的，他們決不可能接受任意Au或者任意A∧?A成立。也正是在這種情況下，普利斯特等人的觀點“關于寇里悖論的所有代入例顯然都屬于同一種類”才講得通，因為在這里“同一種類”指的是將寇里悖論的所有代入例看作一個整體，它們“同屬于非弗封閉悖論”。

簡言之，比爾想盡辦法使寇里悖論符合弗封閉模式的刻畫從而成為弗封閉悖論，但同時又不適用于雙真論解悖方案，使寇里悖論成為弗封閉策略在解悖之普適性方面的典型反例。實際上，他發起進攻的入手點，主要是弗封閉策略的第二個環節——“統一解法原理”（[7]，第823頁）：雖然寇里悖論與說謊者悖論等自指悖論一樣同屬于弗封閉悖論，卻不能按照統一解法原理的指導，將成功應用于自指悖論的雙真論解悖方案也照搬到寇里悖論上來，可見在這里統一解法原理行不通，至少其所謂的普適性要打折扣。

面對上述挑戰，普利斯特等人要想保護自己的弗封閉策略免于陷入不利境地，就必須破斥上述二難推理。他們的解題路徑是將寇里悖論徹底排除在弗封閉悖論的范圍之外，使之與弗封閉策略無涉。在實際的論證過程中，他們使用的方法是：一方面接受上文中比爾提出的超弗封閉悖論案例標準，但另一方面拒絕對其中的A語句進行限制和修改，即堅持認定包含任意語句A的寇里悖論s=〈Ts→A〉是寇里悖論的唯一一種正確形式，否認其他所謂的“新寇里悖論”等，并在此意義上根據超弗封閉悖論案例標準，將寇里悖論整體排除在弗封閉悖論范圍之外。

不難發現，雙方爭論的關鍵在于“到底什么是寇里悖論”（參見[5]，第83-84頁）。由于對該問題的不同認識，導致了各自對“弗封閉策略能否應用于解決寇里悖論”作出了相反回答。

3.2 弗封閉策略能否應用于連鎖悖論？

也許有人會產生疑問，本文所要探討的一個核心內容是弗封閉策略與連鎖悖論的關系，但為什么先要花費筆墨分析關于寇里悖論的論爭？下面很快就會發現，關于寇里悖論的論爭可以很自然地過渡、延續到對連鎖悖論的論爭。

如前所述，普利斯特等人沒有被比爾說服，堅持認為寇里悖論不是弗封閉悖論，從而保護弗封閉策略免遭寇里悖論的困擾。此時比爾沒有采取直接對抗的方式，而是因勢利導，先假設“普利斯特等人對弗封閉策略的辯護在寇里悖論那里行得通”，然后據此論證“與此同時，普利斯特等人的辯護也使得關于連鎖悖論的弗封閉策略受到了暗中破壞”。（[2]，第846-847頁）比爾此處的論述路徑，是借助連鎖悖論與寇里悖論的相似之處，迫使普利斯特等人承認：當且僅當寇里悖論不是弗封閉悖論，連鎖悖論也不是弗封閉悖論。這樣一來，普利斯特等人就不得不進一步承認，弗封閉策略失去了貫徹統一解法原理使用雙真論解決連鎖悖論的關鍵理由，從而得出該策略不能應用于連鎖悖論這一結論。須知，普利斯特等人的初衷恰恰是將連鎖悖論作為能夠成功應用弗封閉策略的一個新典型，并以此為契機拓展弗封閉策略在傳統自指悖論之外的使用范圍。簡言之，比爾的反駁理路是：如果在普利斯特等人關于“寇里悖論不是弗封閉悖論”的辯護可以使其弗封閉策略免于“下油鍋”，那么被比爾認為“同理可得”的關于“連鎖悖論也不是弗封閉悖論的”的論證可以又將之推進“火坑”。比爾所謂的“同理”主要指的是寇里語句s=〈Ts→A〉中的語句A的真值具有任意性，這和連鎖悖論中連鎖序列所包含的任一對象并不必然與起始對象具有矛盾的屬性，在本質上具有相通之處，具體表現為：在上述兩種悖論中并非所有代入例都是“危險的代入例”，即產生矛盾、進而能夠使相應悖論名至實歸的代入例。

當然，普利斯特等人不會輕易就范，他們指出比爾的“同理可得”得出的是錯誤的結論。普利斯特等人的關注點在于作為某種事態的悖論所由以形成的界線事例，因為正是在這些界線處矛盾才得以產生、悖態才真正實現；而比爾強調的是雖具有形成悖態的可能或趨勢、但尚未明確產生矛盾的對象，可以理解為它們具有悖態的潛在形式而非實現形式。從普利斯特等人的角度看比爾所謂的“非危險的代入例”，它們不會引起矛盾，不符合弗封閉悖論的“超越性”條件，因而不是弗封閉悖論，更一般地，甚至算不上嚴格意義上的邏輯悖論，因為能夠建立矛盾等價式是邏輯悖論必備要素之一（參見[9]，第7頁）。

由此觀之，普利斯特等人再次排除了比爾企圖由兩種“悖論”的“非危險代入例”入手、“同理”得出連鎖悖論不是弗封閉悖論所帶來的對弗封閉策略造成的危害。如果說比爾的確從他剛剛描述的兩種情況中找到了若干相似之處，也能講得通，只不過這種相似之處另有內容，即兩種情況下的代入例因不滿足邏輯悖論的構成要素而不能成其為嚴格的邏輯悖論。這也從側面反映出比爾與普利斯特等人在“邏輯悖論是什么”、“邏輯悖論的基本構成要素”等問題上的不同認識。而徹底澄清這些關鍵問題之必要性，也由這樣的論爭得以凸顯。

3.3 弗封閉策略的替代方案

概而言之，比爾為弗封閉策略所提出的替代方案，就是以“相容性缺省原理”（the default-consistency principle）（即僅當不存在任何相容性理論能夠享有雙真論方案的相同優點時才提出雙真論方案）（[3]，第792頁）為基本指針，為普利斯特等人借助LP理論支持“真值疊加”的外延化路徑，找到一種可行的內涵化路徑的替代方案，在這一路徑上盡可能與經典邏輯相協調，“保持不足以引發質變的微小量變的過程的論證”（[2]，第831頁），即他所命名的“保持容忍論證”。其中他所提出的“不可斷定性算子”發揮著基本與關鍵的作用。他認為，相比弗封閉策略而言，它更符合人們的直覺。

由于在連鎖悖論中的容忍條件（tolerance conditionals）似乎為真，但是標準連鎖悖論的結論及其所有明顯的邏輯后承似乎都不是真的，所以，這一替代方案的關鍵任務就是要找到“正確的容忍條件句”。構成這種條件句的容忍聯結詞（tolerance connective）應當具有什么特點呢？比爾給出了兩條最顯著的限制：

(C1)容忍聯結詞（≡?）作為連鎖悖論中包含的為真的容忍條件句的聯結詞，它不具有傳遞性，因為在容忍條件句傳遞封閉中并非每一個條件句都為真。

(C2)容忍聯結詞也不具有可分離性：對于所有A和B，A≡?B并且A并不能推出B。

比爾認為這兩條限制是“正確的容忍條件句”的必要條件，普利斯特等人也同意這一點。（[2]，第832頁）以LP理論為代表的雙真論終究是一種非經典邏輯，≡lp既不具有傳遞性又不具有可分離性，它拒斥經典否定的融貫性；而若從“保持容忍論證”的訴求看，卻能夠將“LP否定”視為一個不可斷定算子。令μ是給定的不可斷定算子。如果μ像LP理論者所認為的是否定，那么被定義為μ(A)∨B的A?B就成了實質條件句。根據人們的一般看法，被如此定義的A?B是通過不可斷定性得到定義的條件句，而不可斷定性不是否定。無論不可斷定性是不是否定，被如此定義的?既不具有傳遞性又不可分離。因此，具有不可斷定性算子的容忍聯結詞滿足(C1)和(C2)。這正是比爾提出的保持容忍論證的容忍聯結詞。

比爾指出，“保持容忍論證”致力于與經典邏輯相協調，但也能夠享有以LP理論為代表的雙真論理論的容忍聯結詞，盡管它是以不可斷定性算子呈現的。特別地，“容忍聯結詞”用等值句術語刻畫為A≡μB，被定義為(A?B)&(B?A)。普利斯特認為μ是否定，并因此認為≡μ是（在LP當中）按照通常方式（以LP當中的否定和析?。┑玫蕉x的實質條件句。比爾認為μ不是否定，并因此認為≡μ不是實質等值句，而是含有基本的不可斷定性算子的一種關系。這個算子經由一個標準的包含世界在內的裝置在“內涵上”（intensionally）被定義出來的。（[1]，第101-102頁）根據雙真論者的觀點，連鎖悖論證明了（在過渡性區域）“真矛盾”存在。但是比爾認為，由于弗封閉策略不能解釋清楚為什么在廣大的過渡性區域內處處存在著真矛盾，不足以成為支持將雙真論應用于連鎖悖論的強有力的論證。

普利斯特等人后來對比爾的替代方案的批評主要包括兩個方面：一是對比爾的內涵容忍原則提出質疑，特別是可分離的容忍原則；二是揭示比爾方案中的不可斷定性算子是模糊不清的。比爾對于弗封閉策略的批評也可以反作用于比爾，他實際上也無法解釋清楚在連鎖悖論的廣大過渡性區域內作為“不可斷定算子”的作用情況。比爾本人也承認很難找到解決連鎖悖論所需的正確容忍聯結詞，只不過相比弗封閉策略而言，他的替代方案更有優勢而已。論證雙方都沒有達到令人滿意的論證強度，其不充分性主要表現為關鍵算子（LP否定和不可斷定性算子）的含混不清。

4 對論爭的思考

普利斯特等人與比爾就弗封閉策略能否解決連鎖悖論進行了幾個回合的較量。這看似是對一個悖論解法的爭論，實則反映了雙方對悖論的認識差異很大。隨著爭論不斷深入，核心問題逐漸顯露出來，即通過某種論證能否將真矛盾的存在領域從人們已達成共識的、為數不多的集合論悖論和語義悖論擴展至以連鎖悖論為典型代表的、更為普遍的本體論悖論。普利斯特等人試圖借助弗封閉策略要擴大雙真論理論的應用范圍，而比爾作為一位僅在語義層面上支持雙真論的雙真論者，反對用雙真論來解決連鎖悖論為代表的本體論悖論。雙方的爭論從更深層面反映了如下兩個方面的問題：

4.1 相容性缺省原則：最大程度保持相容性問題

比爾使用了相容性缺省原則作為立論依據，值得說明的是，這一原則被他和許多雙真論哲學家所共同接受。我們想著力挖掘的是，作為普利斯特等人弗封閉策略的反對者，比爾的反駁思路的實質是什么？相容性缺省原則到底起什么作用？

根據比爾自己的敘述，不難發現在他心目中雙真論解悖方案的主要優點是明確的，即“堅持連鎖悖論的所有前提為真，同時根據某種原則避免連鎖悖論的荒謬結論”（[3]，第791頁）。但是，緊接著的一個問題是：這種優點是雙真論方案獨有的么？如果存在某種相容性方案能夠共享雙真論解悖方案的上述主要優點，根據相容性缺省原則，就沒有必要假定真矛盾。

于是，比爾沿著這一思路，嘗試尋找與經典邏輯相協調的連鎖悖論解法，探究是否“在不包含真矛盾的情況下也能夠取得這種優點”。（[3]，第791頁）具體來說，他摒棄了外延化路徑而轉向內涵化理論，將普利斯特等人在LP理論中“既真又假的真矛盾”改造為“真卻不可斷定的對象”。盡管他用于解釋作為連鎖悖論前提的、一系列條件句中的容忍聯結詞的不可斷定算子被對方詬病為含混不清，在這一點上不比普利斯特的“LP否定”具有更多的優勢，但是，面對對手關于不可斷定性算子及相關解法的質疑，他并不強烈要求人們必須接受自己的這一方案，而是在向人們介紹了由休斯（M.Hughes）提出的與不可斷定性算子相似的不可知道算子（unknowledge operator）及相關解法，說明“人們也可以沿著由其他經典邏輯理論者提出的方法進行思考，而不必接受我提出的可斷定性路徑。主旨仍在于：我們可以在沒有真矛盾的情況下享有（雙真論解悖方案的）上述優點?！保╗3]，第807頁）我們非常贊賞比爾的這種探究方式。盡可能地與經典邏輯相協調，從而最大限度地保持相容性訴求，可以使非經典邏輯探究能夠以“最小代價”獲得“最大收益”。

4.2 探究內涵化路徑：形式邏輯外延化路徑的局限問題

盡管關于弗封閉策略尚處于激烈論爭之中，但雙方在論爭中已達成的一些一致意見，可作為進一步對話的基礎。比如，大家一致認識到，解決連鎖悖論的前提條件之一，是辨識出正確的容忍條件句，而容忍條件句的關鍵在于找到具有不可傳遞性(C1)和不可分離性(C2)的正確的容忍聯結詞。

普利斯特等人所堅持的弗封閉策略，仍然是基于經典形式邏輯的“外延化”路徑進行思考的，其模型論仍然屬于一種外延化的“集合論語義”。眾所周知，普利斯特使用的“外延的容忍原則”指的是通過實質等值句或實質條件句表達的、根據否定和析取得到定義的容忍原則。（[2]，第835頁）LP否定只有在遇到“真矛盾”時，才表現出與經典邏輯否定的異常之處，其他情況下均正常使用。而按照上述(C1)、(C2)的標準衡量，從經典邏輯視角出發的實質條件句已從根本上被排除掉了，它在(C1)和(C2)兩方面上都不成立。

所以，比爾不得不轉而考慮“內涵化”路徑，提出一種不可斷定性算子，將LP方案下“既真又假”的語句轉化為“真但不可斷定”的語句，融入了主體相關性的思考，體現了對悖論本身內含的語用學特質的認識。然而，從比爾本人的探究來看，他在把握“內涵”機制時所使用的仍然是外延化的“可能世界”裝置，其探究所陷入的困境與這種處理密切相關。最近，張建軍通過對“正規模態集合論悖論”的揭示與探究，表明可能世界語義學對“內涵算子”的模型論刻畫，實際上與經典形式邏輯的外延化路徑一樣，都是基于“實體-屬性”關聯向“實體-實體關聯”的“等價還原”；而如何建構不使用這種等價還原、破除對“實體-屬性關聯”（真正的內涵關聯）的遮蔽的模型論，應是合理建構真正的內涵邏輯理論的根本指向。（參見[10]）我們認為，認識到形式邏輯外延化路徑的這種根本局限而尋找真正的內涵化途徑，或許也是解決弗封閉策略之論爭的根本出路所在。

[1]Jc Beall,2009,Spandrels of Truth,Oxford:Oxford University Press.

[2]Jc Beall,2014,“End of inclosure”,Mind,123(491):829-849.

[3]Jc Beall,2014,“Finding tolerance without gluts”,Mind,123(491):791-811.

[4]G.Priest,1995,Beyond the Limits of Thought,Oxford:Oxford University Press.

[5]G.Priest,2006,In Contradiction:A Study of the Transconsistent,Oxford:Oxford University Press.

[6]G.Priest,2010,“Inclosures,vagueness,and self-reference”,Notre Dame Journal of Formal Logic,51(1):69-84.

[7]Z.Weber,D.Ripley,G.Priest,D.HydeandM.Colyvan,2014,“Toleratinggluts”,Mind,123(491):813-828.

[8]王文方，“論Priest對Sorites悖論的模糊解悖方案”，邏輯學研究，2011年第2期，第35-51頁。

[9]張建軍，邏輯悖論研究引論，2014年，北京：人民出版社。

[10]張建軍，“正規模態集合論悖論及相關問題”，邏輯學研究，2017年第3期，第35-57頁。

[11]張建軍，“再論‘廣義邏輯悖論’的基本構成要素”，南國學術，2018年第1期，第32-47頁。