◎王軍紅
(西安市遠東第一中學,陜西 西安 710000)
線性規劃知識自進入中學數學教材以來,就受到了高考命題專家、數學研究者和廣大的中學數學教師的青睞.線性規劃習題取材廣泛、形式靈活、背景新穎,恰當地融數的分析于形的直觀推理之中,成為命制高考試題的新陣地.要充分學好線性規劃內容,作為一名高中數學教師,我通過近幾年的教學實踐,特別是新課改下的教學實踐,覺得要掌握好線性規劃知識及其應用、提升解題能力,需要從以下幾個方面努力.
在中學數學教學中“注重通性通法,淡化特殊技巧”是高考早已提出的要求.線性規劃問題的基本解題思路是“畫圖→平移求點→代值解答”.其中,規范作圖是準確解答的基礎.不僅要規范地作出可行域,還要能準確體現出線性目標函數與可行域邊界在傾斜程度上的差異.舉例如下.
圖1
點評用線性規劃求最值是數形結合的一個重要方面,它使眾多變量匯聚的代數問題變得直觀、簡捷,而規范的作圖則是成功求解的基礎.線性規劃的這一基本應用程序要讓學生形成熟練的解題模式.
圖2
點評處理線性規劃整數解問題的基本思路是:若頂點恰為整數,則它就是最優解;若不是整數點,應先求出該點坐標,并計算目標函數z的值,而后在可行域內適當放縮目標函數的值,使其為整數且距離z最近,依次找點求最值.
讀者不妨練習:某實驗室需購買某種化工原料106 kg.現在市場上該原料有兩種包裝,一種是每袋35 kg,價格是140元;一種是每袋24 kg,價格是120元.在滿足需要的前提下,最少要花費多少元?
可行域是線性規劃問題研究的重點,確定可行域的基本方法是:直線定界,特點定域.確定區域時遵循:同側同號,異側異號.
例3已知直線l過點P(-1,2)且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點的線段有公共點,求直線l的斜率k的取值范圍.
圖3
解析(當然此題有多種不同的解法,這里僅用可行域的思想求解)設直線l的方程為y-2=k(x+1),令f(x,y)=kx-y+k+2,A,B不落在l的同側,又l可過A,B兩點,所以f(-2,-3)·f(3,0)≤0,
點評當然本題的解答有多種方法,而且此法并非最簡.但從利用可行域的思想可以看出,上述解法新穎獨特,別具一格,而且很好地回避了k的正負分類討論.
類似地練習:若直線l1:y=kx+2與l2:y=-2x+4的交點在第一象限內,求k的取值范圍.
線性目標函數具有明顯的幾何意義,學習時要充分挖掘目標函數的幾何意義,常見的目標函數有以下幾種類型:
(2)距離型z=(x-a)2+(y-b)2,即z的幾何意義為可行域內的動點(x,y)與定點(a,b)的距離的平方;
解析設f(x)=x2+ax+2b,由方程x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內,另一根在(1,2)內可知
圖4
設P(a,b)為上述不等式組所確定的可行域(如圖4所示陰影部分)內的任一動點,A(-1,0),B(-2,0),C(3,0).
又BD2=13,而DA2=8,DC2=17,
∴(a-1)2+(b-2)2的取值范圍是(8,17).
(3)令z=a+b-3,結合圖形可知,當l:a+b-3=0平移分別過點A,B時,z值分別取最大值、最小值,依次為-4,-5,∴z=a+b-3的取值范圍為(-5,-4).
實踐表明,充分重視以上三個方面的學習與練習,能促進學生對線性規劃的理解以及應用能力的提升.