淺談概率論在生活中的應用

◎孫宏國

(沈陽理工大學，遼寧　沈陽　110168)

概率是表達不確定性的一門藝術.概率一詞最初是用來表示“值得肯定的”，在后來的使用中才漸漸有了“可能的”“合理的”這一層意思，這才跟隨機性產生了聯系.不管你是否愿意承認，概率的確主宰著我們的生活.如果你曾經過著賭徒式的生活，那你必然已經痛苦地意識到了這一點.概率的作用隨處可見，如確定保險費用、新藥物的引用、民意調查、天氣預報和法庭上出示DNA的證據.不僅如此，概率還關系到我們每一個人.下面舉幾個應用概率的知識來解釋生活問題的例子.

一、利用事件的獨立性設計游戲規則，以保證公平性

二、全概率公式在預測公交車晚點問題上的應用

如果你是生活在擁堵城市的上班族，那么公交車是否能準點到達是你最關心的問題了.周日晚上你和你的同事小卓、小歐在酒吧小酌.你們討論起了每天上班都要坐的那趟公交，大概只有60%會準點.下面你們就未來五天這趟車能準點到達的情況做一下預測.看看誰的準確率高.用L和T分別代表“晚點”和“準點”.小卓列出了兩個L，三個T；而小歐寫出了五個T，那么最有可能完全正確的會是誰呢？現在我們來算一下.如果你預測的是T，而公交又是準點的話你就對了，這一概率是0.6.而準確預測晚點的概率為0.4.因此，依據全概率公式.你一天預測準確的概率為0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.如果你五天都預測正確的概率為0.525≈0.038；小歐能準確預測的概率為0.65≈0.078；小卓能準確預測的概率為0.63×0.42≈0.035.從這三個數值來看出，雖然每個數值都比較小，但顯然相對來說，小歐更占有優勢.

三、利用二項分布討論弱旅贏得比賽的可能性

運動已然成為當下最流行的話題.有運動就會有競賽.現在有兩種賽制：① 一場比賽決勝負；② 七場比賽.哪一種賽制對于弱旅來說更有利呢？這里我們排除主場優勢，以及其他一些復雜的原因，只可考慮每場比賽弱旅贏得比賽的事件是相互獨立的，概率為p.在賽制②下贏得比賽，就要贏得四場比賽，那么弱旅會贏的概率為

然后再代入不同的.例如，某球隊每場比賽能贏的概率為0.2，那么它在賽制②下贏得比賽的概率只有3.3%.所以在賽制①下爆冷獲勝的概率更高.

四、貝葉斯公式的廣泛作用

貝葉斯公式是由著名的數學家托馬斯·貝葉斯提出的.但是貝葉斯自己并沒有公開發表這一重大發現，而是他的朋友在他去世之后整理他的遺稿時發現的.

讓我們來舉一個例子吧.我們知道，在自然人群中，有1%會得某種病.在自身沒有不適的情況下，被診斷者去做某項試驗，其準確率為95%.那么當試驗反應是陽性時，被診斷者患有這種病的概率是多少？這個問題看起來很簡單.如果檢查的準確率為95%，那么你得病的概率就是95%.這樣對嗎？讓我們用貝葉斯公式算算吧.令A表示事件“試驗反應為陽性”，D表示“被診斷者患病”.已知P(D)=0.01，即發病的概率為0.01.而化驗的準確性就是P(A|D)=0.95.現在要計算的是當化驗的結果是陽性時，你患病的概率是多少，即求P(D|A)的值.由貝葉斯公式得，

所以其實被診斷者只有16%的可能可以確定是患病的！即使化驗的結果準確率高達95%，你也可以保持謹慎的樂觀，因為你真正患病的概率很低.計算有問題嗎？當然不是.這里有兩點：① 這個病非常罕見，所以你基本不可能患??；② 這個化驗非常的精確，所以當檢驗結果是陽性時你很可能就患病了.這兩個信息量化之后對應的概率分別是1%和95%，所以實際的風險在這兩個數之間.而我們算出來的結果就是在這兩個數之間.當你更深入地了解了概率，它們就成為你的朋友.它們值得你認真對待.因為，正是它們決定著我們每個人的一生.讓我們在概率的世界徜徉肆意吧！