“一個數除以分數”的思維斷層該如何修復

陳雪香 宋煜陽

實際教學顯示，學生學習例1時感到很輕松，學習例2時卻覺得苦不堪言。究其原因，主要是兩個例題的編排在認知序列上銜接不夠，思維跨度太大，學生的思維出現了斷層。主要表現為以下四個方面。

1.例2的思維含量跨越式升級

例1直接以運算意義的方式呈現，學生可獨立列式，從幾何直觀中直接計算出結果。例2側重解決問題，有多種方法。由于是第一次出現除數是分數的除法，學生在列式解答時，需要從時間、速度、路程三者之間的關系來思考計算方法。例2的重點是掌握一個數除以分數的算法并理解算理，難度原本就比例1大，又在例題的算法選擇上增加了思維含量，在思維含量跨越式升級的背景下，學生容易產生畏懼心理。

2.材料直觀化不同

例1用的是面積模型，例2用的是線軸模型，顯然面積模型比線軸模型更直觀。例2的算理比例1要抽象，再加上材料進一步抽象，導致學習的難度翻倍。如果對應例1呈現材料的方式，例2也應選擇面積模型等更直觀的材料。

3.算理承接不對應

上述分析可知，例2與例1相比，思維的跳躍性太大，學生不能理解算理，只能將算法記住了事。

二、該如何修復思維斷層？

1.例題選擇：材料對應，方法直觀

人教版的分數除法教學之所以不順暢，是因為兩個例題的思維方法和基礎材料選擇不一致，導致例2教學成了無本之木。我們不妨借鑒北師大版和浙教版教材，將兩個例題材料同質化，縮小思維跨度。既然例1用了面積模型，例題以運算意義直接呈現，例2也不妨順勢而為，以分餅形式讓學生直接列式解答，不必人為增加難度。

北師大版

浙教版

為此，我們建議人教版例1教學完后提供北師大版例2，讓學生快速列出算式，借助直觀材料得出答案，為探究算理預留時間。例2采用圓形餅圖的題組展開，有兩方面優勢：一是分數除法與整數除法的運算意義一脈相承，以題組形式步步深入，有利于學生進一步理解分數除法的意義；二是以圓形餅作為教學材料，既與三年級上冊中“分數的初步認識”教學起點相切合，又與二年級下冊中“除法的認識”相銜接，非常契合學生的認知原點。

2.算理探究：直觀形象，凸顯規律

一個數除以分數的教學先從整數除以分數開始，再教學分數除以分數。在整數除以分數的算法探究中，應主要在兩處著力。

一是以圓形餅和算式對應，學生直觀發現規律。在例1的教學中，學生已初步感知除以整數可看作乘這個整數的倒數?；诶?的思維基礎，在教學整數除以分數時，教師要充分創造條件讓學生發現分數除法和分數乘法之間的聯系，為分數除以分數教學做好鋪墊。順著例1的面積模型可選擇更加直觀的圓形餅作為教學起點，并回溯到整數除法中，將知識鏈拉長，以題組形式讓學生發現總餅數不變，每份數占餅的面積越小，分得的份數越多。在分的過程中，學生直觀得出整數除以一個分數都可以轉化成乘這個分數的倒數來計算，初步感知乘除法之間的互換關系。

3.算法歸納：承前啟后，理清法明

以上教學只解決了整數除以分數的算理和算法，而分數除以分數是不是也可以運用這個規律解決呢？

（1）承接例1，用同分母分數相除驗證猜想的合理性。

驗證1是學生借助直觀，以整數除法的意義得出結論。驗證2可由整數除以分數中得到可乘分數的倒數的結論得出答案。驗證3則是在整數除以分數中如果把除數看作1份時，利用商不變性質也能得到相同的結論。

如此一來，學生利用例1和整數除以分數教學中的三個方法，從不同角度證明了一個數除以分數可以轉化成乘這個數的倒數來計算。

（2）承接例2，商不變性質歸納結論的正確性。

有了同分母分數相除時的驗證經驗，學生在探究異分母分數相除時完全可以仿效同分母的驗證方法，從而發現哪種更具有普遍性。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區江口中心小學浙江省寧波市奉化區教師進修學校）