專題復習要舉一反三

于愛文 盛建武

鑒于中考數學壓軸題的綜合性、階梯性與難突破性，初中數學專題復習至關重要，例題的選擇與講解的效果直接影響學生應用數學知識的能力。因此，初中數學專題復習的例題選擇與講解更應該注意相應的技巧和策略，讓學生能夠充分地吸收例題中蘊含的解題思路和方法，實現從教知識向教方法、思想的轉變，讓學生通過專題復習優化自己在該專題的知識結構。那么，在數學專題復習中，如何真正做到舉一反三，實現學生在知識、能力、情感態度、經驗積累的全面提升？我們以“二次函數的面積問題”為例，從數學核心素養角度出發，創新教學設計，探究了有效的數學專題復習教學策略。

一、原教學設計簡述

環節1.自主研學

如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線P的頂點M（1，4），且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，3）。

問題1：求出拋物線P及直線BC的解析式；

問題2：設拋物線P的對稱軸與BC相交于點D，求出線段BC與線段 MD的長度；

問題3：連接MC，MB，求出吟MCB的面積。

環節2.合作探學

問題4：設E點是拋物線P上第一象限的動點，連接EB，EC，當吟ECB的面積最大時，求出E點的坐標及面積的最大值。

變式1：設E點是拋物線P上第一象限的動點，連接EB，EC，當四邊形OBEC的面積最大時，求出E點的坐標。

環節3.拓展研學

環節4.總結思學

請從數學解題思想與應用到的數學方法方面小結。

點評：1.在教學目標的設計上，力求通過學生的探究，將二次函數與三角形、四邊形、相似等知識融合在一起，構建它們之間的聯系，形成關于二次函數的面積問題的新的認知結構，從而優化學生的認知結構。但在實際教學過程中，一次拋出三個問題，對于學生來說難度較大，環節1花的時間比較多，且效果不佳，大多數學生無從下手，學習積極性不高，思維未被激活。這主要是教師過高地估計了學生的認知和思維發展水平，教學脫離了學生的實際。

2.本節復習課的重點是學生在解決二次函數的面積問題的過程中，體會轉化的數學思想。轉化的數學思想可以化難為易、化隱為顯、化繁為簡、化曲為直，從而讓學生較容易地建立未知與已知之間的聯系，構建數學模型，解決數學問題。本次復習的具體轉化的策略是水平分割與豎直分割，化隱為顯，建立二次函數與三角形、四邊形面積之間的聯系。但在教學過程中，呈現的方式與呈現的層次性不夠，導致學生盡管能掌握這一問題的解答，但對于轉化的數學思想體驗不夠，經驗積累不足，目標達成大打折扣。

二、改進后的教學設計

基于以上思考，為了突破難點，有效地實現本專題的復習目標，我們對本節數學專題復習課重新進行了設計，修改如下：

如圖2，在平面直角坐標系中，拋物線P的頂點M（1，4），且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中B（3，0）。

問題1：求出拋物線P的解析式。

點評：在初中數學學業水平考試中，求解拋物線解析式是經?？疾榈膯栴}，大部分學生僅局限于用拋物線的一般式進行計算求解，而一般式涉及解三元一次方程組，不僅式子復雜，運算量也大；不但容易出錯，而且浪費時間，因而選擇一種簡便的解析式和計算途徑至關重要。本題的設計，出于優化學生解題策略的考慮，讓學生根據解析式的問題特征，選擇用頂點式y=a（x-h）2+k進行求解。因為使用頂點式求解，代入頂點坐標后，僅需解一個一元一次方程，大大簡化了計算。這樣，學生解決問題的思維方式更合理。

將題目的原設計C（0，3）改為B（3，0），原設計僅讓學生體會頂點式的應用，二次函數的交點式則沒有覆蓋到位，而修改后不僅可以使用頂點式，也可使用交點式求解。

追問：除了使用頂點式求解，還能使用其他方法嗎？

點評：學生除了可以用頂點式和交點式求解外，在得到A（-1，0），B（3，0），M（1，4）之后，也可以使用一般式，使得解題策略多樣化，不僅激發了學生學習積極性，也激活了學生思維。

問題2：連接MC，MB，求出吟BOC與吟MCB的面積。

點評：有關求解三角形面積類型的題，極少出現特別直觀的面積求解問題，很多時候需要進行轉化。轉化采用得最多的方法是分割（即水平分割與豎直分割），而△MCB的面積求解很好地展示了這一數學思想方法。

問題3：在原問題4的基礎上，增加一步變式。

追問：在拋物線P上第一象限內求點E，使點E到線段BC的距離最大，求出最大值。

點評：本問題設計的核心思想是轉化思想，將△EBC的面積最值問題轉化為求線段EG的最值問題，以及在問題2的基礎上對三角形的面積求法做具體的應用。

問題4：在原問題5的基礎上增加2問變式。

點評：本問題設計涉及取值問題，進而引發更深層次問題，求k的取值范圍。學生不僅思維能更上一個臺階，解決問題的能力也會得到提高。

總評：本教學設計對專題復習課的教學作了整體設計，已經實現了由教知識向教方法、思想過渡。一是從學生整體發展出發設計教學目標，而不是只考慮中考的近期目標，特別注意學生在解題過程中對數學思想與方法的掌握。數學思想與方法是數學大廈的基石，是數學解題的靈魂。它來源于數學基礎知識，又反過來指導學生運用數學知識和方法解決問題。所以在平時的訓練與例題講解中，要結合具體問題理解和掌握數形結合、分類討論、函數方程、數學建模等常見的數學思想與方法。二是根據學生的特點進行內容的整體安排，內容選擇要精，教師通過多個問題，將二次函數的面積問題逐層分解，步步緊逼，直達問題的核心，讓不同的學生在學習中都有所收獲，有所體驗，每位學生都有發展。三是教學方法上既充分發揮學生的主體作用，又發揮教師的主導作用，讓學生運用數學知識解決數學問題的過程，重視解題方法和解題規律的總結和提高。

本專題復習教學設計，提高了學生的各種數學能力?？v觀《數學課程標準》中對能力的考查，大致可分成兩個階段、兩個層次。一個階段是以考查運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力以及分析和解決純數學問題的能力為特點的階段。在此基礎上，近年來又強化了閱讀理解能力、探索創新能力和數學應用能力，以及建立在此基礎上的作為數學核心能力的思維能力。特別是把數學作為文化和培養人的一個不可分割的整體中的一個部分時，對學生的情感、意志、毅力、價值觀等非智力因素的考查，就必然會進入一個新的階段。初中數學學業水平考試，突出對學生思維能力與數學意識的考查，進而落實《數學課程標準》中關注學生思維能力和數學意識的培養目標，激發學生的發展潛能。本專題的設計將二次函數融入面積計算之中，將二次函數、三角形、四邊形和相似等知識有機結合，提升學生的認知能力，并將轉化思想、函數思想、方程思想滲透其中，讓學生在數學思維、數學感悟、數學情感、數學積累上有較大的發展。

本專題復習教學設計還為我們提供了以下經驗和方法：變更數學題目的表達形式和背景，培養思維的深刻性。尋求不同解題途徑與思維方式，培養思維的廣闊性。對問題解答的思維方式不同，產生解題方法各異。這樣的訓練將有益于打破思維定式，優化解題方法，從而培養發散思維能力。變換幾何圖形的位置、形狀和大小，培養思維的靈活性、敏捷性。注意把課本中的例習題多層次變換，這樣既加強了知識間的聯系，又激發了學生學習的興趣，達到了鞏固知識又培養能力的目的。改變題目的條件和結論，培養思維的批判性。這樣的訓練可以克服我們靜止地、孤立地看問題的習慣，促進我們對數學思想與方法的再認識，培養研究和探索問題的能力。

（作者單位：長沙市北雅中學長沙市開福區教育科研培訓中心）