一種基于邊長約束的界址點坐標平差方法

陳長波

（1.廣東省國土資源測繪院，廣東 廣州 510500）

近年來，隨著數字攝影測量技術的快速發展，全國很多地區結合自身對地理信息資源的需求，開展了高分辨率航空影像數據建設。如何將其成果應用到村莊地籍調查中，快速、高效地完成村莊地籍調查，已成為國土資源管理和地籍調查人員探討的重點?；诟叻直媛视跋駡D解的界址點坐標[1-7]，采用坐標法計算宗地面積與實際面積存在較大差異[8]。為此，本文以圖解的界址點坐標為基礎，以實地丈量的界址邊長及界址邊方位變化最小為約束，采用附帶約束的平差方法進行圖解界址點坐標計算[9]，使得最終的圖解界址邊長與丈量界址邊長一致、界址邊方位角變化最小，并使用圖解界址點采用坐標法計算宗地面積，滿足解析法地籍調查宗地面積計算要求。

1 數學模型

1.1 界址點坐標觀測值誤差方程式

以圖解的界址點、地物點的坐標作為觀測值，由于圖解坐標觀測值含有誤差，使得根據這些頂點的坐標計算的宗地面積與實際面積不一致。假定（xi，yi）為界址點Ji的圖解坐標，相應的平差值、觀測值改正值、未知參數分別為（，）、（v，v）、（δx，δy），則：xiyiii

對所有界址點、地物點坐標觀測值，列出誤差方程如下：

式中，V1為坐標觀測值改正數向量；δX為坐標未知參數向量。顧及圖解坐標的精度一致性且相互獨立，故觀測值的權為單位陣。

1.2 界址邊長約束條件方程式

對任意界址邊JiJi+1，實地丈量邊長為li,i+1，由于實地丈量界址邊長精度高于圖解界址邊長，在此不考慮界址邊長丈量誤差影響，則有：

線性化，得：

對所有界址邊長（含界址點至地物點丈量距離）列立約束條件方程，得：

式中，C為約束條件方程式系數陣；W為約束條件方程式常數向量。

1.3 方位角虛擬觀測值誤差方程式

在實際情況中，存在界址邊長不一，當界址邊長差異很大時，僅利用界址邊長約束進行界址點坐標平差對界址邊方位影響較大，進而引起界址邊夾角變化，極容易對幾何圖形產生扭曲變形。對于0.5 m的界址邊長，當界址點坐標在垂直于界址邊方向產生5 cm的改正，對界址邊方向影響接近6°。為此，增加界址邊方位角虛擬觀測值。

線性化，得：

對所有界址邊列立方位誤差方程，得：

式中，V2為界址邊方位角虛擬觀測值改正數向量；B為誤差方差式系數陣；相應的權陣P。

1.4 誤差方程式求解

聯合圖解坐標觀測值誤差方程式（2）、界址邊長約束條件方程式（5）及界址邊方位角虛擬觀測值方程式（8），根據最小二乘原理，組成極值函數[10]：

將Ψ對δX求一階倒導數，并令其為零，得：

顧及式（2）、（8），得：

式中，I為單位陣。將式（11）代入式（5），解得：

最終，解得未知參數δX。由此解得所有界址點及地物點的坐標，且所有界址邊長的圖解與實際丈量的一致。此時，可直接利用圖解界址點平差坐標計算宗地面積：

2 算例及精度分析

2.1 單宗地計算實例分析

以圖1所示的宗地為例，圖解界址點坐標及外業實測界址邊長分別見表1第2、3列，如圖1所示。為比較界址邊長差異對平差坐標的影響，分別采用僅約束界址邊長、約束界址邊長及方位角變化最小兩種方案，分別計算了界址點的坐標，結果見表1第4、5列和第6、7列。

圖1 宗地示意圖及實測界址邊長

表1 圖解界址點坐標及平差坐標

計算結果表明，通過平差計算，最終的界址邊長均與實測邊長一致，即通過平差實現幾何圖形界址邊與實際的一致對應。

采用幾何要素計算本宗地面積為308 m2，分別采用圖解坐標、邊長約束平差坐標、邊長角度約束平差坐標計算本宗地面積分別為312.965 1 m2、310.617 0 m2、308.032 1 m2，與幾何要素法計算面積差分別為4.965 1 m2（相對差1.61%）、2.617 0 m2（相對差0.85%）、0.032 1 m2（相對差0.01%）。由此可見，通過約束平差，面積精度得到了顯著提高。

利用界址點坐標反算界址邊夾角，并與圖解界址邊夾角相比，其中邊長約束平差界址邊夾角變化最大達到1.5°，邊長角度約束平差界址邊夾角變化最大僅為5′，兩者相差接近20倍。

由此可見，采用邊長角度約束平差圖解宗地界址坐標，宗地面積與實際面積差值較小，且界址邊夾角變化很小，實現幾何圖形保真。

2.2 村莊地籍調查實例分析

圖2 圖解村莊示意圖

為檢驗方法的普適性，將上述方法用于如圖2所示的某村莊地籍調查。首先基于1∶2 000數字正射影像圖解各宗地，共得到350宗，平均宗地面積約90 m2。而后利用外業實測界址邊長及相鄰宗地界址點相互位置關系，進行邊長角度約束平差計算圖解界址點平差坐標，并與實測宗地面積比對，結果與上述結果基本一致。

表2 計算面積與幾何要素計算面積較差統計表

表2表明，采用本文的邊長角度約束平差，圖解面積與實測面積較差在1%范圍內的約占70%，3%范圍內的約占90%。個別誤差較大的宗地，究其原因，主要是宗地面積過小，稍許誤差即可引起較大的相對誤差，當扣除小面積（此處取20m2以內），95%以上宗地相對誤差在0.5%以內。因此，在實際作業中，當面積較小時（此處取20m2）應特別注意宗地面積對宗地相對誤差的影響。

表3 計算方位角與圖解方位角較差統計表

表3表明，邊長角度約束平差坐標計算宗地界址邊方位角，75%以內的方位角變化在15′內，采用邊長角度約束平差圖解宗地界址坐標，同樣可以實現幾何圖形保真。

5 結 語

以圖解的界址點坐標作為基礎，以實地丈量的界址邊長及界址邊方位變化最小為約束，采用附帶約束的平差方法進行圖解界址點坐標改正，使用圖解界址點平差坐標計算宗地面積，既解決了宗地不規則的問題，又滿足了幾何要素的要求。

通過村莊地籍調查實踐證明，該方法既能高效便捷地開展村莊地籍調查，又能保證界址邊長和宗地面積的可靠性，方法完全可行，具有很好的應用前景。