數學形象的塑造與課堂文化的構建（上）

黃秦安

在數學課堂上，數學的形象應該如何定位并塑造，才能起到熏陶學生數學情懷、培育學生對數學的熱愛、提升學生數學核心素養的作用？這是一個非常龐大和復雜的數學教育研究課題。本文想先從兩個相關案例入手，通過對比了解教師對學科形象塑造對學生學習心理和態度的深刻影響，進而引述大師對數學形象的真知灼見，揭示塑造良好的數學形象對于數學創造和數學修養的意義，最后闡明集魅力型與知識型于一身的數學教師對于構建優質數學課堂文化的重要價值。

沈元：陳景潤的數學啟蒙老師

20世紀70年代末，作家徐遲以數學家陳景潤為主角的報告文學《哥德巴赫猜想》被廣為傳誦。陳景潤是中國科學院數學研究所研究員，國際著名數學家。本科畢業于廈門大學，畢業后曾任中學數學教師，后來回到母校任教，1956年底經華羅庚舉薦，被調到中國科學院數學研究所工作。之后取得了多項重要的數學研究成果。1965年完成了（1+2）的證明，并發表在1966年6月出版的《科學通報》上。陳景潤的（1+2）是攀登哥德巴赫猜想的一個里程碑。迄今為止，哥德巴赫猜想（1+1）仍未得到解決（在陳景潤之前，我國數學家王元證明了（2+3），數學家潘承洞證明了（1+4））。

陳景潤的事跡固然是感人的，但其廣為人知則要歸功于作家徐遲。沒有報告文學《哥德巴赫猜想》，陳景潤的傳奇故事就不可能有如此廣泛的傳播和影響力。由此可見，數學與數學家的形象塑造是多么有賴于作家和媒體的工作。且看徐遲對陳景潤挑戰哥德巴赫猜想過程的生動描寫：

但當他已具備了充分依據，他就以驚人的頑強毅力，來向哥德巴赫猜想挺進了。他廢寢忘食，晝夜不舍，潛心思考，探測精蘊，進行了大量的運算。一心一意地搞數學，搞得他發呆了。有一次，自己撞在樹上，還問是誰撞了他。他把全部心智和理性統統奉獻給這道難題的解題上了，他為此付出了很高的代價。他的兩眼深深凹陷了?！仙嬖跀祵W的崎嶇山路，吃力地邁動步伐。在抽象思維的高原，他向陡峭的巉巖升登，降下又升登！善意的誤會飛入了他的眼簾。無知的嘲諷鉆進了他的耳道。他不屑一顧；他未予理睬。他沒有時間來分辯；他寧可含垢忍辱。餐霜飲雪，走上去一步就是一步！

他越過了雪線，到達雪峰和現代冰川，更感缺氧的嚴重了。多少次堅冰封山，多少次雪崩掩埋！他就像那些征服珠穆朗瑪峰的英雄登山運動員，爬呵，爬呵，爬呵！……他只知攀登，在千仞深淵之上；他只管攀登，在無限風光之間。一張又一張的運算稿紙，像漫天大雪似的飛舞，鋪滿了大地。數字、符號、引理、公式、邏輯、推理，積在樓板上，有三尺深。忽然化為膝下群山，雪蓮萬千。他終于登上了攀登頂峰的必由之路，登上了（1+2）的臺階。這是多么令人向往的科學探索歷程??！

再看對陳景潤高深抽象的數學論文的比喻和刻畫：

何等動人的一頁又一頁篇頁！這些是人類思維的花朵。這些是空谷幽蘭、高寒杜鵑、老林中的人參、冰山上的雪蓮、絕頂上的靈芝、抽象思維的牡丹。這些數學的公式也是一種世界語言。學會這種語言就懂得它了。這里面貫穿著最嚴密的邏輯和自然辯證法。它是在探索太陽系、銀河系、河外系和宇宙的秘密，原子、電子、粒子、層子的奧妙中產生的。但是能升登到這樣高深的數學領域去的人，一般地說，并不很多。

且讓我們這樣稍稍窺視一下彼岸彼土。那里似有美麗多姿的白鶴在飛翔舞蹈。你看那玉羽雪白，雪白得不沾一點塵土；而鶴頂鮮紅，而且鶴眼也是鮮紅的。它躑躅徘徊，一飛千里。還有樂園鳥飛翔，有鸞鳳和鳴，姣妙、娟麗，變態無窮。在深邃的數學領域里，既散魂而蕩目，迷不知其所之。

多么令人神往和迷人的科學探索的征途！多么美妙絢麗的科學迷宮和幻境??！對數學家和數學作品的描繪能夠達到如此純凈、唯美、華麗的程度，實屬罕見，不知是否后無來者，但至少應該是前無古人的。報告文學《哥德巴赫猜想》以其妙筆生花的描寫，塑造了一個清純、理想的幾乎不食人間煙火的數學才子，曾激發了一代人的數學想象、激情和智慧。

陳景潤與其成功的數學人生，是上世紀50年代后一代中國科學人的典范。正如報告文學《哥德巴赫猜想》所展示的，追溯陳景潤的數學生涯，起始并得益于他高中時代的一段近乎神奇的數學學習經歷。陳景潤上中學的時候，有幸遇到了一位特殊的數學老師———沈元。沈元是中國著名的空氣動力學家，航空工程教育家，中國航空界的泰斗。他本是倫敦大學帝國理工學院畢業的博士、清華大學航空系主任，后任北京航空學院副院長，全國航空學會理事長。1948年回到福州料理家事，正逢戰事，就暫時留在福州母校英華中學任教，而陳景潤恰恰就是他任教的那個班上的學生。

沈元不僅知識淵博，而且誨人不倦。沈元在課堂上給他們講了有趣的數論難題———哥德巴赫猜想：每個大于4的偶數都可以表示為兩個奇素數之和。這個猜想的內容本身并不難，只要知道合數和素數的概念就可以理解，但其證明卻難于上青天。沈元在介紹了這個未解的難題之后，給學生樹立了數學的如下學科形象：“自然科學的皇后是數學。數學的皇冠是數論。哥德巴赫猜想則是皇冠上的明珠?！逼渲?，前兩句是高斯贊美數論的。數學、數論和哥德巴赫猜想，這些抽象的概念，經過沈元的精彩闡述，變成了鮮活的音符和雋永的旋律，在年輕的陳景潤心中留下了如此輝煌而又不可磨滅的印記，激起了他挑戰哥德巴赫猜想的強烈欲望。

《窗外》女主角的文學情懷與數學焦慮

臺灣著名作家瓊瑤在其成名作《窗外》中，描寫了一個凄美的愛情悲劇。女主角江雁容喜歡文學，對數學、物理、化學之類的科目不感興趣，時常跟同窗好友流露出厭惡的情緒：“我討厭這種填鴨子式的教育法，我不知道我要學那些代數、解析幾何、物理干什么，將來我決不會靠它們吃飯?！庇幸淮?，江雁容的母親因為江雁容的數學總不及格而責備了她，江雁容竟對母親說：“媽，你別這樣不滿意我，我并沒有向你要求這一條生命，你該對創造我負責任，在我，生命中全是痛苦，假如你不滿意我，你最好把我這條生命收回去?！睌祵W學習的失敗竟然讓一個豆蔻年華的少女有了輕生的念頭，這真是現代教育的罪過??！

書中有一段關于女主人公江雁容做代數題受挫后的細節描寫：

突然，她忽發奇想，假如把李白從小就關在一個現代化的學校里，每天讓他去研究硝酸、硫酸、sin、cos、x、y、正數、負數，不知他還會不會成為李白？那時，大概他也沒有時間去“五岳尋山不辭遠”了，也沒有心情去“舉杯邀明月”了。啜了一口茶，她依依不舍地望著那本《唐詩三百首》，她真想拋開那些數字，捧起唐詩來大念一番。一杯清茶，一本唐詩，這才是人生的至樂，但又是誰發明了這些該死的x、y呢？現在，她只得拋開唐詩，重新回到那個要命的代數題目上去。

書中不乏數學學困生對數學的焦慮和無奈。江雁容的好友程心雯在周記中寫道：“江雁容說代數像一盤苦瓜，無法下咽。我說像一盤烤焦的面包，不吃怕餓，吃吧，又實在吃不下?！迸c好友程心雯一樣，江雁容是如此不喜歡數學和理科的學生，結果可以想象，高考落榜了。她也由此陷入了人生的低谷。小說中并沒有交代江雁容的數學老師如何開展數學課堂教學，致使這個學生成為一個數學學習的焦慮者和失敗者，相反的情形倒是特別有反面的說服力，那就是她的國文老師的語文教學是十分成功的。在小說中，江雁容的國文老師康南就是因為前一年他教的學生全都考上了大學而出了名。

在一次學校組織的旅游中，一系列的課外活動成就了學生與大自然親密接觸的心愿，也極大地活躍了學生的想象力?？的喜皇r機地給大家出了幾個謎語，把學生們的熱情一下子調動起來。

（一）偶因一語蒙抬舉，反被多情送別離。（打一物）

（二）有土可種桑麻，有水可養魚蝦，有人非你非我，有馬可走天涯。（打一字）

（三）一輪明月藏云腳，兩片殘花落馬蹄。（打一字）

（四）兩山相對又相連，中有危峰插碧天。（打一字）

（五）年少青青到老黃，十分拷打結成雙，送君千里終須別，棄舊憐新撇路旁。（打一物）

（六）粉蝶兒分飛去了，怨情郎心已成灰，上半年杳無音訊，這陽關易去難回。（打一字）

在旅途中，在山水間，在歡聲笑語中，語文教學似乎達到了其可能的最佳效果。

所謂“窗外”，其意境之一其實是對于學校課業負擔（窗內）的一種超脫和反諷。這清楚地體現在書中的一段描寫中：“她把窗子開大了，把書包拿到書桌上。窗外，夕陽已下了山，天邊仍然堆滿了絢爛的晚霞，幾株瘦瘦長長的椰子樹，像黑色剪影般聳立著，背后襯著粉紅色的天空?！妹?！她想。窗外的世界比窗內可愛多了?！边@就意味著，課業的負擔，四面墻壁的教室給學生的是一種怎樣的壓抑甚至窒息。而窗外，則是自由的和自然的象征。

語文與數學：大師的見解與啟示

（1）語文與數學———差異與關聯

乍一看，語文和數學似乎是兩個相距較遠的學科，一個研究語言和文學，一個研究數與形；一個是文科的主角，一個被當作理科的典型。當然，不可忽略兩者之間的學科差異，但兩者的共性是需要予以關注的。比如，兩者都有對語言的研究，只不過前者是普通語言，而后者是數理語言。正如作家王蒙所言：“這種語言和那種語言，自然科學與人文科學與社會科學，都有許多相連通、相影響、相交流的渠道?！闭Z文水平在數學學習中常常發揮著十分重要的作用。在數學教學中，教師由于表達不當而導致的詞不達意或學生由于閱讀能力不夠而導致的審題錯誤是經常發生的事情。比如，中國古代《九章算術》中有這樣一個有趣的題目：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？”正確解答此題，首先要求解題者有較好的古文理解能力，否則就不知道“日一尺”“日自倍”和“日自半”的意思，也就無法繼續順利完成問題的求解了。

除了古漢語，外語水準對于數學學習亦十分重要。舉一個英語理解的例子，在GRE考試中，文字題（Word Problem）常讓部分考生失分，原因主要是對英語詞匯和數學術語掌握不好。比如，有一個考題是這樣的：Bikesville is 200 miles from Restsville. Jasmine can complete the entire trip in 8 hours，and Monte takes two hours longer than Jasmine to complete the entire trip. If one begins inBikesville andtheother inRestville，then approximately how long will it take them to meet？下面有5個選項。這其實是一道相遇問題。但列式計算后發現自己的解答與5個答案皆不符，就會有心里發毛的感覺。此刻，文中的關鍵詞approximately就很重要了，這就意味著，解題者需要從5個選項中選一個最接近自己答案的數字才能完成解答。再如，有一道文字題敘述為The area of isosceles right triangle XYZ equals 9. Which of the following could be the rimeter？下面有5個選項。這道題的關鍵是要理解isosceles和perimeter兩個詞的意思，才能繼續解答。因此，對于數學教學的兩個主體：教師和學生，語文（包括漢語和外語）水平都是極為重要的。

此外，兩者的內在關聯性還體現在認識方式、思維方式和審美方式上。作家王蒙認為：“所有的學問當中都包含著一種追求真理、獻身人群、正大光明、有所不為的品格，都包含著普遍適用的道理?！蓖趺上嘈?，學問從根本上說是相通的，真理有自己的統一的品格，世界的統一性既表現為物質的統一性———例如月球上的物質與地球上的物質是統一的———又表現為事體情理上的統一性。即便是在知識層面，數學和語文也可以有很好的結合。如數字謎、詩歌中的數字以及數學名題等，在文學作品中常有類似的題材描寫和情節設置。清代作家李汝珍在小說《鏡花緣》中，有多處關于古代數學名題和趣題的生動描繪。如有一個燈謎與數字有關：“三九不是二十七，四八不是三十二，五七不是三十五，六六不是三十六，打一物?！边€有一個故事情節是，一座叫小鰲山的樓里掛滿了燈球，樓上的燈有兩種：一種是上面三個大球，底下綴六個小球，計大小球九個為一燈；另一種是上面三個大球，底下綴十八個小球，計大小球二十一個為一燈。大燈球共三百九十六個，小燈球共一千四百四十個。樓下的燈也有兩種：第一種是一個大球下綴有兩個小球；第二種是一個大球下綴有四個小球。大燈球共有三百六十個，小燈球共有一千二百個。問樓上和樓下的大燈和小燈各有多少盞？

（未完待續）