關于初中數學教材中描述性定義的教學思考

張向東

數學概念是數學知識體系的基石，是理解并掌握數學理論和方法的基礎。初中數學教材常用非嚴格的語言（范例+描述）對數學概念進行簡潔、形象、定性的陳述，我們稱之為描述性定義。如二元一次方程組的概念，湘教版是這樣定義的：像這樣，把兩個含有相同未知數的二元一次方程（或者一個二元一次方程，一個一元一次方程）聯立起來組成的方程組，叫做二元一次方程組。

從數學科學的角度講，每個概念的表述應該是嚴密、精確的，但從數學教育的角度來看，對一些概念給出嚴格的定義是沒必要的，有時也是不可能的，如二次根式、函數的定義。如何權衡二者的關系，蘇步青先生有一句名言：中小學教材可以混而不錯。不錯是大前提，關注的是大方向、本質；混是放松嚴格性的要求，現階段講不清楚的問題用寫意的方式說明，但仍不失其真。因此，教師們不妨從以下兩個方面來理解描述性定義的適當性。

1.從當前的教育需求看描述性定義夠用。

2.從學生的認知現實看描述性定義好用。

數學概念具有抽象概括性、嚴密的邏輯關系以及運動、變化、聯系的思想等特性，而初中學生抽象概括水平不高、邏輯思維能力偏低、易受思維定式束縛。綜合考慮數學概念的特性和學生的可接受性，對一些概念給出描述性的定義，學生可以通過閱讀通俗易懂、簡潔明了的語言，結合范例和描述，從具象到抽象，快速領悟概念的實質。

總之，描述性定義從數學教育的立場上尊重了學生的認知現實與學習需求，雖然從數學科學的立場上有失嚴謹性，但整體上有利于發展學生的數學素養。因此在初中階段對一些概念僅給出描述性定義是適當的，也是必需的。

課程改革從“一綱一本”到“一標多本”，教材觀也隨之發生變化。在統一教材的時代，教科書是教學活動的唯一載體，教科書在教學過程中是神圣的、不可替代的。在“一標多本”的時代，教科書不再是包辦一切的登山纜車，而是學生攀登科學高峰的助力工具；教材不再是固化定型的統一模具，而是培養人才的重要載體之一；所選用的教材不再是“圣經”，書中的結論也不再是“圣旨”。

教學實踐中，不少教師認為概念的定義應該是百密而無一疏。經常有教師對教材中諸如二（三）元一次方程組、相似等概念的描述性定義提出異議，甚至有教師囿于描述性定義的文字內容進行錯誤判斷。教師只有更新教材觀，了解描述性定義的特點，才能消除因描述性定義的嚴謹性不夠帶來的教學困擾。

對于概念的描述性定義的教學，教師既要立足當前，關注概念在當下教學的地位與作用，滿足學生現時數學學習的需求；又要著眼于長遠，關注概念的本源與在學生學習歷程中的流向，有利于學生后續在數學上的發展。

引導學生區分運用不同形式的定義。初中數學教材中，既有描述性定義界定的概念，又有通過歸納類比或抽象給出嚴格定義的概念，如平行四邊形的定義。嚴格定義中給出了充要條件，其逆命題也是成立的。描述性定義因嚴謹性不夠，要防止學生死搬硬套定義；對于接受能力強的學生提出有關延伸性問題，教師要站在教材編寫的角度與更高的知識高度對學生進行說明，激勵學生通過下一階段的學習提升認識。

引導學生全面準確地認識描述性定義。教師自身要站在數學科學的高度把握描述性定義的本質，在課堂教學中引導學生由表及里，由局部到整體形成全面準確的認識。首先要結合范例和描述了解概念的實質，再根據概念的形成或同化過程細細品味其未盡之意。如人教版關于一元二次方程是這樣定義的：

像這樣，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

上述定義并未涉及一元二次方程的判斷前提。在概念的形成過程中，教材（含章節前言）呈現了3個實例，得到了3個方程x2+2x-4=0、x2-75x+350=0、x2-x=56。以上3個方程都是經過整理（移項、合并同類項）后所成。結合概念的形成過程，就會知道判斷一個方程是否為一元二次方程的前提是“方程經過整理后”。

引導學生逐步深入地認識描述性定義。對于描述性定義，隨著學習的深入，學生對所刻畫的數學概念的認識由單一到全面、從模糊到精確。在教學中，可以通過后續相關概念的學習，從概念的比較與聯系中矯正錯誤、深化認識。

首先要引導學生抓住同類概念的共同屬性。如湘教版關于相似是這樣定義的：“直觀上，把一個圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形與原圖形是相似的?！倍x本身只是描述這樣的圖形是相似的，但學生易錯認為相似的圖形一定是大小不等的。在后續相似三角形的學習中，學生就會認識到全等形也是相似形，這樣上下結合能幫助學生抓住相似形的本質屬性，防止以偏概全。

其次要引導學生對概念的邏輯關系進行分析。如在學習矩形、正方形后，對二者的關系進行辨析，完善小學關于長方形的認識，正確認識長方形的長與寬的大小關系。

恰當處理相關概念的訓練問題。首先，描述性定義是為了便于學生認識、方便交流，不必傾注過多精力在描述性定義的應用訓練中，對這些概念的內涵與外延進行拓展訓練就更沒有教學意義，如下列問題就不宜作為學生訓練與教學評價材料。

教材中稱整數和分數統稱有理數，從更高的視角看，整數也是分數，整數和分數統稱有理數的說法是欠妥的。教材中稱單項式與多項式統稱為整式，從更高的視角看，單項式可以看作多項式。教材之所以這樣表述，是為了使學生在認知可能的前提下對有理數、整式的意義有一個初步的認識，便于學生掌握。實際教學中既要關注其對立性，又要關注其統一性，過于強化對立性，不利于培養學生的辯證思維?！颈疚南岛鲜〗逃茖W“十三五”規劃立項課題“初中數學‘自主·深度教學的實踐研究”（課題號：XJK016BZXX040）的階段性成果】

（作者單位：沅江市教育局教育研究室）