推陳出新挑戰經典

劉海燕

摘 要：2018年高考全國卷I理科壓軸題是把2011年的高考湖南文科第22題給予改編，將存在性問題改為證明恒成立問題，所以各省的經典高考真題是高考編擬的藍本，要把握這些經典真題，靈活變化，提煉解這一類問題的方法，以不變應萬變。本文從雙變量問題的處理技巧出發，詳述解這一類問題的常用技巧，變式應用，舉一反三。

關鍵詞：高考;一題多解;雙變量消元;對數平均不等式;變量分離

一、一題多解，發散思維

題目（2018年高考全國I卷理科第21題）已知函數

（1）討論的單調性;

（2）若存在兩個極值點，證明

解：（1） f （x） 的定義域為（0， +∞）.

令 g（x） = x2 ? ax +1， 其判別式 V= a2 ? 4.

當| a |≤ 2時，V≤ 0， f ‘（x） 0， 故 f （x）在（0， +∞） 上單調遞減.

當a < ?2時，V>0，g（x）=0 的兩根都小于 0，在（0， +∞） 上， f ‘（x）< 0 ，故f （x）在（0， +∞） 上單調遞減.

點評：這道函數與導數不等式交匯的壓軸題，實質考查函數雙變量問題的處理方法，采用消元思想，將二元化為一元，構造函數的單調性處理，這也是我們處理雙變量問題常用技巧。

解法二（對數平均不等式）先補證對數平均不等式

點評：運用對數平均不等式，秒證，但是對數平均不等式的結論在教材

中沒有給出證明，需要補充證明，對沒有接觸過此類方法的同學是個硬傷。

二、經典重現，原型必露

此道題目只是把2011年的高考湖南文科第22題給予改編，將存在性問題改為證明恒成立問題，所以各省的經典高考真題是高考編擬的藍本，值得借鑒。

題目（2011 年高考湖南文 科第22題）

（Ⅰ）討論函數 f （x） 的單調性。

（Ⅱ）若 f （x） 有兩個極值點 x1 ， x2 ，記過點 A（x1， f （x1 ））， B（x2 ， f （x2 ）） 的直線

斜率為k 。問：是否存在a ，使得k = 2 ? a ？若存在，求出a 的值;若不存在， 請說明理由。

三、雙劍合璧，變量分離函數與導數不等式交匯的綜合題中，涉及雙變量問題的處理技巧，除上面所述的消元法，還常用變量分離構造新函數的單調性，下面列舉2009年高考遼寧卷理科第23題詳述此種方法的處理技巧。（2009 遼寧卷理科第23題）

（1）討論函數 f （x） 的單調性;

解：（1） f （x） 的定義域為（0， +∞） 。

‘ a -1 x2 ? ax + a -1 （x -1）（x +1? a）

f （x） = x ? a + = = 2 分

x x x

（i）若 a -1 = 1 即 a = 2 ，則

故 f （x） 在（0， +∞） 單調增加。

（ii）若 a -1 < 1 ，而a > 1 ，故1 < a < 2 ，則當 x ∈（a -1，1） 時， f ‘ （x） < 0 ;

當 x ∈（0， a -1） 及 x ∈（1， +∞） 時， f ‘ （x） > 0

故 f （x） 在（a ?1，1） 單調減少，在（0， a ?1），（1， +∞） 單調增加。

（iii）若a ?1 > 1 ，即 a > 2 ，同理可得 f （x） 在（1， a ?1） 單調減少，在（0，1）， （a ?1， +∞） 單調增加.

（2）

結束語

通過對高考導數壓軸題真題研究，為高考復習指引方向，近三年全國一卷對極值點偏移問題和雙變量問題的處理技巧，是我們應該引起重視的，尤其對優秀學生而言，他（她）們完全有能力掌握并運用，希望借此文給讀者以啟示。