淺談初中數學學生發散思維能力的培養

王亞輝

所謂發散思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式。這種思維方式的最基本的特色是：從多方面、多思路去思考問題，而不是囿于一種思路，一個角度，一條路走到黑。它主要特征是：多向性、變通性、獨特性。事實上，在創造性思維活動中，發散性思維又起著主導作用，是創造性思維的核心和基礎。數學教學其實是數學思維活動的教學。而加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節。

因此，在課堂教學中，老師們越來越重視對學生進行發散性思維的培養。下面談一談在培養學生發散思維能力方面的一些措施與做法。在多種形式的訓練中，培養學生的發散思維能力。

（一） 一題多變

對題中的條件、問題、情節作各種擴縮、順逆、對比或敘述形式的變化，讓學生在各種變化了的情境中，從各種不同角度認識數量關系。

例如：在正方形ABCD中，M是AB邊上任意一點，MN垂直MD，MN=MD。

（1）求證：BN平分∠CBE。

（2）若將條件MN=MD變成結論，而BN平分∠ CBE變為條件是否成立？

（3）若將MN垂直MD變成結論，而BE平分∠CBE變為條件，是否仍然成立？

（二）一題多解

是多角度地考慮同一個問題，找出各方法之間的關系和優劣。在條件和問題不變的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析思考，探求不同的解題途徑。一題多解的訓練是培養學生發散思維的一個好方法。也可以通過縱橫發散，使知識串聯、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的。

如：幾何課本上有一題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫斗圓，求所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積。

思路1：因為陰影部分面積是相同的八個弓形面積之和組成。故利用扇形與三角形面積之差，就可求解。

思路2：這個圖形里包含有正方形和半圓圖形，那么能不能利用這兩個圖形求陰影部分面積呢？容易發現正方形面積減去兩個半圓的面積等于兩個空隙的面積，再用正方形面積減去四個空隙面積即可得到所求的陰影部分面積。

顯然，思路2思路1更廣一些。但是共同的思路是：都沒有離開基本的幾何圖形去求解。沿著這個思路。我們還可以進一步啟發學生得到其它的求解方法（如一圓去兩空）。擴散思維可以是縱向的，也可以是橫向的，實際上我們在思考一個問題時，很難說是具體的運用了哪一種思維方向，而是全方位去想，去思考，即從擴散點向四面八方想開去。一題多解、多證就很好的體現了這種思維模式。

（三）一題多問

是利用一個題設多個結論來培養學生發散思維。提供某種數學情境，調度學生多方面的舊知、技能或經驗，組織議論，引起思維火花的撞擊?！皹I精于勤”。只要我們在教學中運用以上各種解題方法培養學生，讓學生去理解各知識點之間的聯系，觸類旁通，使學生的思維時常處于多向、發散、開放狀態，讓他們去發現問題，從而使他們的思維上升到一個新的領域。

例如：在學習弦切角定理時，可以從這樣一道智力題出發。

例1：一張圓的烙餅，切三刀可分成幾塊？（注意，不可挪動烙餅）

面對此題思維立刻會活躍起來，并探索出（圖1）共有四種答案，第一種是四塊，第二種是六塊，第三種是五塊，第四種是七塊。每種答案的思維比前一種都深了一層。通過這道題研究探索，應當認識到：有些問題的答案并不唯一，要分情況進行討論。

為了深化，還可進一步思考：

（1）最少切幾塊？最多切幾塊？為什么？

（2）切成4、5、6、7塊，各有幾種方法？（為什么切7塊時，只有一種？）

（3）各種切法之間，有何聯系？（可以通過什么把它們貫串起來？）

（4）用刀切西瓜會如何？

在進行發散思維訓練時，不但要找準“發散點”，而且要能打破習慣的思維模式，發展思維的“求異”性。

（四）一題多法和一法多用

是通過一題多種方法的訓練，使學生靈活掌握數學思想和方法，提高應變能力，大面積的提高發散思維能力。目的則是求得應用范圍的變化。條件開放型是利用一個結論多種題設，培養學生的發散思維能力。

例如：解法發散類型題。為了搞好夏季防洪工作，要求必須在規定日期內完成，如果由乙隊單獨做，需超過期限3天;如果由甲隊單獨做，恰能如期完成?，F在由甲乙兩隊合作2天后，余下的工作有乙隊單獨去做，恰好能在規定日期內完成，求規定日期。（要求用三種解法）。做這道題時，我把學生分成三組進行討論，合作交流，尋求不同的解題方法。這三種方法，都有不同的思維角度，從不同的側面進行思考，得出的結論也不同。最后得出三種答案。

（1）2（1/X+1/X+3）+1/X+3（X-2）=1

（2）2/X=3/X+3

（3）1/X+X/X+3=1

（五）一圖多問、一圖多變和一題多圖

圖形發散習慣指對學生圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程，不僅可以舉一反三。觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區別和聯系，找出特殊與一般之間的關系。引導學生觀察同一事物時，要從不同的角度、不同的方面仔細地觀察，認識事物，理解知識，這樣既能提高學生思維的靈活性，又能培養學生的發散思維能力。

例3：已知：△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，求證：AE與⊙O相切于點A。證明完畢后，我做了如下變化 ：如若

（1）把“AB為直徑”改為“AB非直徑”，結論是否仍成立？并加以證明。

（2）已知：等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC、AE∥BC。求證：AE與⊙O相切于點A。

（3）已知：等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC，AE=AC，AE與⊙O相切于點A。求證：AE∥BC。

（4）已知：△ABC內接于⊙O，AE與⊙O相切于點A，AE∥BC。 求證：△ABC是等腰三角形。

通過適當變化幾何題目的已知或結論，可使學生的發散思維能力得到進一步加強。進行一次適當的變式訓練，學生就相當于做了一套“思維體操”。不僅能鞏固知識，開闊學生視野，還能活躍學生思維，提高學生的應變能力。

總之，在初中數學教學過程中，教師可結合教學內容和學生的實際情況，采取多種形式的訓練，培養學生思維的敏捷性和靈活性，以達到誘導學生思維發散，培養發散思維能力的目的。

綜上所述，培養學生多角度，全方位的全面思考問題能力，應該讓學生注意克服已有的思維定勢，改變固有的思路與方法。激發學生敢于提出問題，勤于思考，善于思考，提高分析問題和解決問題的能力，所有這些都是培養學生的發散思維的關鍵。也是當前數學教學改革的重點之一。