面向雙圓弧滾珠絲杠副裝配的計算機輔助設計

姜洪奎，王樂源，劉 濤，魯苑凱，徐加壘

(山東建筑大學 機電工程學院，山東 濟南 250101)

0 引言

雙圓弧滾道型面使滾珠絲杠副傳動效率、承載能力、剛度等性能更加穩定，是滾珠絲杠副廣泛采用的滾道截型，但是由于這種型面加工誤差不易控制，使得滾珠絲杠的彈性接觸角不容易控制，影響了滾珠絲杠的承載能力和傳動精度。在實際裝配過程中，需要根據實際加工情況對絲杠滾道、螺母滾道或滾珠直徑進行測量，并選擇恰當的選配方式，按照最優接觸角的方法進行裝配。因此滾珠絲杠副彈性接觸角計算模型成為影響裝配質量好壞的決定因素。國內外學者對滾珠絲杠副接觸角進行了大量的研究，Lin[1]建立了滾珠絲杠副動力學模型，對滾珠絲杠接觸點的滑移速度與接觸角的關系進行了研究，指出接觸角的大小會隨轉速的不同而發生變化，為滾珠絲杠副動力學運動分析奠定了理論基礎；趙訓貴[2]建立了預緊載荷作用下滾珠的變形協調公式，并對彈性變形接觸角的影響因素進行了微分析，從而得出制造誤差對彈性變形接觸角的影響，但是這一計算模型的前提是升角不能太大，且彈性接觸角最優值只能為45°；劉更[3]建立了動態接觸變形求解模型，分析了軸向載荷、絲杠轉速、接觸角和螺旋角對滾珠絲杠副接觸特性的影響，發現隨著轉速的變化，螺母側與絲杠側的接觸變形并不相同；李夢奇[4]基于赫茲理論和滾道控制理論建立了滾珠絲杠動態接觸角模型，得到了面向結構參數的接觸角非線性方程組，給出了采用Newton-Raphson法進行迭代求解的流程。以上的計算模型有效地分析了相應參數對動態接觸角的影響，基本忽略了裝配過程中徑向間隙因素。

本文針對滾珠絲杠副實際接觸角計算困難的問題，考慮滾珠絲杠副在實際裝配中滾道截型磨削誤差、徑向間隙等因素，建立了通用的滾珠絲杠副彈性接觸角的計算模型，并由此設計出滾珠絲杠副輔助裝配軟件，能夠根據不同裝配方式及所提供的參數給出選配后滾珠絲杠副的彈性接觸角。

1 彈性接觸角計算模型

本文所研究的對象是非理想滾道的雙螺母滾珠絲杠副，因此假設在滾珠與兩側滾道發生彈性變形之前螺母側滾道沿軸向平動，絲杠側滾道固定不動。建立如圖1所示的坐標系，位置1、位置2為滾珠與滾道消除徑向間隙前的極限位置。以滾珠中心在徑向的最低點Oos作為坐標原點，法截面的對稱線為y軸，與y軸相垂直的軸為x軸?？紤]徑向間隙的存在，滾珠中心在徑向的最高點為Oon，點Oos與點Oon在y軸的距離為徑向間隙的一半，即Sd/2，Sd為徑向間隙。設絲杠側左半外圓曲率中心為Os，螺母發生平動以前的滾珠螺母側右半外圓曲率中心為On，發生平動后螺母側右半外圓曲率中心為On′，平動距離為δa。滾珠在位置1處與螺母滾道之間的接觸角為設計接觸角αn，在位置2處與滾道之間的接觸角為設計接觸角αs。螺母發生平動時，滾珠與螺母滾道始終相切，因此其中心軌跡為以點On′為圓心、以rn-rb為半徑的圓，rn為螺母滾道半徑，rb為滾珠半徑；滾珠與絲杠滾道始終相切，滾珠中心的軌跡為以點Os為圓心、以rs-rb為半徑的圓，rs為絲杠滾道半徑。絲杠發生變形前，滾珠與兩側滾道同時接觸達到力平衡，因此滾珠中心的位置Oo位于兩個圓的交點處，且與兩圓的中心Os和On′共線，即兩圓的相切點。本文取rs=rn=ra×rb，ra為滾道適應比。

圖1 消除徑向間隙前后滾珠與滾道幾何關系

預載后滾珠與滾道之間的彈性變形協調幾何關系如圖2所示，在軸向預緊載荷的作用下，絲杠側滾道左半外圓曲率中心由Os移動到Os′，螺母側滾道右半外圓曲率中心由On移動到On′，滾珠幾何中心由原來的Oo移動到Oo′，達到平衡狀態后滾珠與滾道之間的彈性變形接觸角為α，絲杠側滾道和螺母側滾道的軸向位移分別為δas和δan，絲杠側滾道和螺母側滾道的法向變形量分別為δns和δnn。

圖2 預載后滾珠與滾道之間的彈性變形協調幾何關系

根據圖2所示的幾何關系可知，預載后滾珠絲杠彈性變形接觸角等于滾珠螺母彈性變形接觸角，以α表示。滾珠絲杠彈性變形接觸角α為:

(1)

由式(1)可以看出，只要求出滾珠與兩側滾道的法向變形量和δ(δ=δns+δnn)就可以得出彈性變形接觸角α。

由于軸承鋼是滾珠絲杠副常用的材料，根據赫茲理論[5-6]可得出滾珠與滾道之間的法向變形量δns和δnn為：

(2)

根據文獻[7]，單個滾珠承受的法向載荷Qi的計算公式為:

(3)

其中：Fa為絲杠副所承受的軸向預緊載荷，Fa=k×F,F為額定載荷，k為額定載荷與軸向預緊載荷的換算系數；z為單個螺母內的承載滾珠個數；λ為螺旋升角。忽略重力對滾珠平衡狀態的影響，滾珠在兩側滾道內法向載荷大小相等，即Qn=Qs。

(4)

(5)

2 輔助裝配流程設計

滾珠絲杠副的選配方式有選配絲杠、選配螺母、選配滾珠三種。一般情況下，絲杠滾道適應比與螺母滾道適應比相同，因此選配螺母與選配絲杠的計算結果相同，故此處給出選配滾珠和選配螺母兩種裝配方案的設計流程圖，如圖3所示。

圖3 滾珠絲杠副輔助裝配方案設計流程

公稱直徑、導程、額定載荷、滾珠直徑、單螺母滾珠數等為公稱參數，實際接觸角為性能參數，滾道接觸角、法向變形量和、滾道適應比、徑向間隙為選配滾道參數，這三類參數為輔助裝配軟件面板設計的參數，精確度不在面板設計中顯示，但是可在程序中修改。

3 實例計算

以濟寧絲杠廠的3210雙螺母滾珠絲杠副為例進行實例計算，采用已知絲杠選配螺母的裝配方式。設最優實際接觸角α=45°，鋼球直徑rb=5.953 mm，滾道適應比ra=0.535，徑向間隙Sd=0.04 mm，絲杠滾道接觸角αs=39°，法向變形量和δ=0.006 9 mm，單螺母內滾珠數z=68個。因滾珠絲杠裝配過程中需要使用墊片對滾珠絲杠施加預緊力，因此添加公稱直徑(即絲杠外徑)d=32 mm和額定載荷F=2 500 N，作實際預緊力、預緊系數及墊片厚度的計算，因其計算是較為簡單的力的計算問題，在文中不再解釋。軟件優化基本參數輸入界面如圖4所示，實例計算結果如表1所示。

圖4 基本參數輸入界面

參數理論最佳值實際加工值實際接觸角(°)4545.069 5墊片厚度(mm)10.063 810.127 4預緊力(N)5 773.485 773.45預緊系數2.309 392.309 38螺母滾道接觸角(°)40.845 641

當絲杠滾道接觸角為39°時，由表1可知，為了使實際接觸角達到目標接觸角45°，需要選配螺母滾道接觸角為40.854 6°，此時墊片厚度為10.063 8 mm，預緊系數為2.309 39，預緊力為5 773.48 N。由于加工過程中的精度限制，實際加工參數與理論最佳參數存在誤差，在實際加工過程中，螺母滾道接觸角為41°，此時實際接觸角為45.069 5°，墊片厚度為10.127 4 mm，預緊系數為2.309 38，預緊力為5 773.45 N。設滾珠絲杠定位精度0.02 mm，導程累積誤差0.008 mm，則理論最優剛度為60 332 N/mm，圓整最優剛度為60 259 N/mm，差距在0.2%內，圓整不會影響滾珠絲杠副的性能。

4 結論

(1) 該軟件計算考慮了導程對實際接觸角的影響，計算結果具有可靠性，可應用于滾珠絲杠副的輔助裝配中。

(2) 針對絲杠與螺母滾道接觸角不對等的情況，軟件給出了相應的接觸角計算方法，具有更好的應用性與適應性，更貼合滾珠絲杠的實際加工與裝配情況。

(3) 軟件可以幫助設計人員在開發原型以及進行實驗之前，找到最優選配接觸角或滾珠直徑，能選出裝配墊片厚度，且能夠提供實際預緊力及預緊系數作為裝配參考，防止預緊參數過大。