探究中顯理性思維 直觀下揭數學本質

任靜 祝峰

摘?要：數學高考以素養為導向，強調理性思維的考查.在探究2019年天津卷第8題的過程中，可以表現出學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算素養，能感受數學的理性思維.本文利用幾何直觀揭示問題的數學本質后對其作不同變式，以發散思維鍛煉問題解決能力.

關鍵詞：試題賞析;試題探究;試題變式

作者簡介：任靜（1986-），女，安徽濉溪人，本科，中學二級教師，研究方向：高中數學課堂教學;

祝峰（1974-），男，安徽濉溪人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數學課堂教學.

1?問題提出

2016年，教育部考試中心開始高考評價體系的研究工作，明確了“立德樹人，服務選材、引導教學”的核心功能，“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”的考查目標和“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的考查要求，即“一核四層四翼”?[1][2].高考評價體系中確立學科素養為考查目標，標志著中國高考正實現從能力立意到素養導向的歷史性轉變[3].《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析[4].這些數學核心素養既相互獨立又相互交融，是一個有機整體，是數學課程目標、數學育人價值的集中體現.數學學科高考對課程標準中的數學核心素養進行抽象和概括，提出了高考數學的學科素養目標，包括理性思維、數學應用、數學探究、數學文化四個方面.與課程標準中的核心素養相比，高考數學的學科素養更符合教育測量規律，更具有高考特點，更利于實現高考的教育、評價和導向功能[5].

通過對具體高考試題的賞析、探究及變式，體會高考試題對課程目標和高考考查目標中的核心素養、學科素養的考查方式和重點，對強化高考備考復習的針對性，提高復習效率應有所幫助.本文以2019年天津卷理科第8題為例，在論證過程中體會對學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算素養等方面的考查要求;在借助幾何直觀揭示數學問題的本質后，對問題進行適當地變式，以期在教學中發散學生的數學思維，提升問題解決能力.

2?試題呈現

題目?（2019年天津卷理科第8題）已知a∈R，設函數f（x）=x2-2ax+2a，x≤1，x-alnx，x>1，若關于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為（?）.

A.[0，1]??B.[0，2]??C.[0，e]??D.[1，e]

3?試題欣賞

試題在函數情境下，以導數、函數性質、不等式知識為載體，在基礎知識交匯處精心設計.不等式恒成立是常規題型，構思于分段函數之上，圍繞高中數學內容，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用展開，獨具匠心，別有一番新意.考生需整合自身基本活動經驗，在分類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想引領下，發現問題的關鍵、提出等價問題，作出認真分析，去除非本質因素，通過幾何直觀，才能最終接近并揭示問題的數學本質.

在素養導向視角下審視這道試題，對考生核心素養予以全面考查.數學抽象現于“特值檢驗”“構造等價問題模型”;幾何直觀下的“數形結合”;“分類討論”中嚴密的邏輯推理;參數和變量混合處理過程的數學運算和數據分析，巧妙地把內隱于考生思維品質的數學素養外顯于可視的解題行為中.

試題情境熟悉平和，條件簡單清晰，表達言簡意賅，構思巧妙，有效規避“題型”“套題”.在核心素養導向下，以能力立意，注重數學本質、通性通法、淡化解題技巧，在樸實中重“四基”，常規中考“四能”.此題在2019年高考數學試題中獨樹一幟，對高考備考有引領示范作用，亦是教學中提升學生核心素養的貼切范例和難得的素材.

4?試題探析

4.1?特值排除

解法1?若a=0，f（x）=x2，x≤1，x，x>1.此時不等式f（x）≥0在R上恒成立，排除D;

若a=e，當x≤1時，f（x）=x2-2ex+2e，注意到此時f（x）≥f（1）=1>0，不等式成立;

當x>1時，f（x）=x-elnx，f?′（x）=1-ex=x-ex，所以f（x）在（1，e）上單調遞減，在[e，+∞）上單調遞增.所以f（x）≥f（e）=e-e=0，故a=e時成立，排除A，B，故選擇C.

評析?從應試的角度看，上述過程簡便、快捷、準確，俗稱“特值法”“排除法”.這是由客觀題的形式所決定的一種探究過程，通過特例歸納，獲得合情結論.這是數學抽象核心素養最樸素、最原始的表現，但并不是說“特例歸納，獲得合情結論”是低能級的抽象素養表現，它是數學抽象的開始，是抽象素養的一種高水平的表現，是揭示復雜問題情境中數學本質的有效手段.相信命題團隊在這個問題的設置上定有考查學生這方面抽象素養表現的考量.

4.2?分段討論

f（x）≥0在R上恒成立等價于：“x≤1時，x2-2ax+2a≥0恒成立”且“x>1時，x-alnx≥0恒成立”，下面分別予以討論.

4.2.1?x2-2ax+2a≥0在（-∞，1]上恒成立

思路1?二次函數模型

方法1?考查二次函數f（x）=x2-2ax+2a，x∈（-∞，1]，只需f（x）min≥0.

當a≥1時，f（x）min=f（1）=1>0，符合f（x）≥0;

當a<1時，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2a≥0，得0≤a≤2，故0≤a<1.

綜上所述，a≥0.

評析?二次函數是高中數學最重要的一個函數，其與二次不等式、二次方程密切相關.二次不等式在x∈（-∞，1]恒成立轉化為二次函數給定區間求最值問題，由于對稱軸不確定，導致需分類說明.

思路2?分式函數模型

x=1時，不等式化為1≥0，此時a∈R.

x<1時，不等式等價于2a≥x2x-1，設g（x）=x2x-1，只需2a≥g（x）max.對于g（x）max的求解，可作如下不同考慮：

方法2?（利用基本不等式）g（x）=x2x-1=x2-2x+1+2x-2+1x-1=（x-1）+1x-1+2.

因為x-1<0，所以g（x）=（x-1）+1x-1+2≤-2?（x-1）×1x-1+2=0，當且僅當x=0時取等號.

所以g（x）max=0，即2a≥0，故a≥0.

方法3?（利用二次函數）當x=0時，g（x）=0;

當x≠0時，g（x）=11x-1x2，x∈（-∞，0）∪（0，1]，所以1x∈（-∞，0）∪[1，+∞）.

視1x-1x2為1x的二次函數，有1x-1x2∈（-∞，0]，故g（x）≤0，可見g（x）max=0，所以a≥0.

方法4?（利用導數）因為g′（x）=x（x-2）（x-1）2，所以g（x）在（-∞，0）單調遞增，在[0，1）單調遞減，所以g（x）max=g（0）=0，即a≥0.

方法5?（整體觀察）注意到x2≥0，x-1<0，所以g（x）≤0，所以a≥0.

評析?把x視為變量，a視為參數，把參數和變量分離到不等號的兩邊，轉化為2a≥x2x-1，俗稱“參變分離”.把恒成立不等式問題轉化到一個固定函數最值的求解，從而避開了分類討論.對函數g（x）=x2x-1最值的求解，方法多樣，如上所述.

4.2.2?x-alnx≥0在（1，+∞）上恒成立

方法1?（利用條件所給函數）只需f（x）min≥0，f（x）=x-alnx，x>1，則f?′（x）=1-ax=x-ax.

當a≤1時，因為f?′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）為增函數.所以f（x）>f（1）=1>0，即a≤1符合條件;

當a>1時，因為f（x）在（1，a）單調遞減，在[a，+∞）單調遞增.所以f（x）min=f（a）=a-alna≥0，解得1

綜上所述，x>1時，x-alnx≥0恒成立，有a≤e.

方法2?（參變分離構造新函數）當x>1時，x-alnx≥0等價于a≤xlnx.

令φ（x）=xlnx，只需a≤φ（x）min.

而φ′（x）=lnx-1（lnx）2，可見，φ（x）在（1，e）上單調遞減，在[e，+∞）單調遞增，故φ（x）min=φ（e）=e.

所以a≤e.

方法3?（構造兩個函數）原不等式等價于x≥alnx，x∈（1，+∞）恒成立，只需直線y=x在y=alnx的圖象的上方.

當a≤0時，顯然不等式成立;當a>0時，直線y=x與y=alnx的圖象相切時（如圖1），設切點為（x0，alnx0），此時x0=alnx0，ax0=1，解得a=e，所以a≤e.

綜上所述，a∈[0，e]，選擇C.

評析?不同視角下，有不同的解決思路.思路1參變混合求解，a與區間（-∞，1]的關系不確定，是導致討論的原因.為避開討論，思路2進行了參變分離，而思路3是基于幾何直觀考慮，給抽象的數學問題幾何直觀，以揭示問題的數學本質.

4.3?借助幾何直觀

解法3?對函數y=x2-2ax+2a，x∈（-∞，1]與y=x-alnx，x∈（1，+∞），在同一坐標系內，分別作出它們的圖象.

對于函數y=x2-2ax+2a的作圖需關注對稱軸位置以及在y上的截距;對于函數y=x-alnx，x∈（1，+∞），則需通過導數確定其單調性并注意其極值的符號，通過對a的取值范圍不同進行討論，可得不同情形下，函數f（x）的簡圖（如圖1-7，行文需要，具體討論不再贅述），從函數f（x）簡圖可見，圖2，3，4，5，6均符合條件，可見a∈[0，e]，選擇C.

評析?直觀想象素養是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養[4].直觀想象是數學抽象或數學建模的基礎.在復雜的情境中，通常需要通過直觀想象對問題進行分析，探尋問題的本質，在通過數學抽象或通過數學建模將其轉化為具體可解決的數學問題;在復雜的邏輯推理或數學運算中，也需要運用直觀想象來理清邏輯推理或數學運算的思路，探尋邏輯推理或數學運算的方向和路徑，將復雜問題簡單化[6].分類討論中展示的是嚴密的邏輯推理過程，通過分析參數a的不同范圍取值對函數的影響，分別作出各種情形下的簡圖.把不等式f（x）≥0在R上恒成立直觀化為函數圖象不出現在x軸的下方，從各種情況下的圖象可直觀地遴選出符合條件的情形，達到了對問題本質揭示的目的.

5?試題變式

5.1?條件不變，改變設問方式

對題目條件中所列函數，可以提出以下問題：

變式1?已知a∈R，設函數f（x）=x2-2ax+2a，x≤1，x-alnx，x>1，解決以下問題：

（1）若函數f（x）在R上無零點，則a的取值范圍為;

（2）若函數f（x）在R上有唯一零點，則a的取值范圍為;

（3）若存在x0∈R，使不等式f（x0）<0成立，則a的取值范圍為;

（4）若關于x的方程f（x）=0在R上有兩符號相異的根，則a的取值范圍為;

（5）若關于x的方程f（x）=0在R上有兩符號相同的根，則a的取值范圍為.

5.2?改變函數的分段點位置

條件中所給函數以x=1為界分為兩段，若改變函數的分段點，這個問題則是另一番情境，可以通過幾何直觀揭示函數本質特征后設置相類似的問題.

變式2?已知a∈R，設函數f（x）=x2-2ax+2a，x≤0，x-alnx，x>0，解決以下問題：

（1）若關于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為;

（2）若關于x的不等式f（x）>0在R上恒成立，則a的取值范圍為;

（3）若函數f（x）在R上有三個零點，則a的取值范圍為;

（4）若函數f（x）在R上有兩個零點，則a的取值范圍為;

（5）若存在x0∈R，使不等式f（x0）<0成立，則a的取值范圍為.

在不偏離條件函數的基礎上，還可以對函數做多種不同的變式，比如函數可變式為f（x）=-x2+2ax-2a，x≤1，x-alnx-2，x>1，此時，亦可以先通過直觀把握清楚函數的特征，再設計相關的變式問題，但需注意，有些問題已經沒有意義了，比如關于x的不等式f（x）≥0在R上不可能恒成立.

6?結束語

高考的命題往往高屋建瓴，立意高，入口寬，落點低.作為數學教師，要善于思考，積極探究，了解試題的背景，挖掘試題的本質，才能居高臨下的教學.特別是高考備考復習，要首先全面學習基礎知識，不要存在任何僥幸心理，不要根據前一年試題盲目推斷當年哪項內容不考、哪項內容必考.把握恰當的教學節奏，不能只灌輸難題、反復刷題，應留給學生思考的時間和空間.教師應通過全面的復習教學，使學生了解知識發生、發展和應用的過程，掌握解決問題的工具;教師要教會學生發現知識間的有機聯系，使學生能夠綜合運用知識靈活解決問題[7].教學過程應依據具體問題的特征，精心設計教學內容，培養學生素養.提高學生解決問題的能力，才是教學最重要的目的.

參考文獻：

[1]姜鋼.探索構建高考評價體系，全方位推進高考內容改革[J].教育革新，2016（10）：1.

[2]于涵.不忘初心?推進新高考改革?面向未來?構建現代化考試[J].中國高教研究，2018（03）：17-23.

[3]任子朝.從能力立意到素養導向[J].中學數學教學參考，2018（13）：1.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[5]于涵，任子朝，陳昂，趙軒，李勇.新高考數學科考核目標與考查要求研究[J].課程·教材·教法，2018，38（06）：21-26.

[6]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[7]任子朝，趙軒.突出基礎性綜合性，發揮區分選拔功能——2018年高考數學函數試題分析[J].中國考試，2018（11）：62-65.

（收稿日期：2019-09-05）