在不同位置的投籃決策問題

袁唯達

【摘要】籃球是以手為中心的身體對抗性體育運動?；@球的得分方式中很重要的一種就是中遠投。在當今的各大籃球賽事里，中遠投射能力已越來越成為衡量一名選手綜合能力的決定性因素。據此，本文依據建立二次函數，反比例函數模型，經過推理計算，可以得出投籃的最佳出手角度和速度。

【關鍵詞】投籃;決策;角度;速度

一、問題描述

在籃球比賽的過程中，運動員的投射能力是衡量一名選手綜合能力的決定性因素，投籃的命中率會對比賽的結果造成直接巨大的影響。所以，投籃是籃球的核心技巧。所以，作為籃球運動員或是籃球愛好者，在進行籃球訓練的時候需要一個投籃標準，以便更高效地提升投籃能力。因此，我們認為在每個出手點，都存在投籃的最優決策。球員可以在訓練時反復按照最優解進行練習，從而提高投籃能力。

投籃決策問題具體分為出手速度與出手角度兩方面，這兩方面我們可以用斜拋運動相關知識進行計算。但在實際投籃中，投籃的穩定性同樣需要考量。我們探究的最優決策，是要在相對穩定的情況下，籃球入框角度越大，投籃的命中率就越高。

我們以運動員的實測數據去估計穩定性函數的形式。因為投籃決策受到入框角度？琢和穩定性兩方面影響，所以我們以P=tan？琢·W的形式設立目標函數。通過優化目標函數P，從而得出出手速度V與出手角度？茲的最優解。

二、模型的建立與假設

1.數據

（1）標準籃球場：為了統一長度，本次建模與國際籃聯的主要正式比賽所規定的要求一致：如圖1所示：

（2）出手速度為V，籃球入框的角度為？琢，出手角度為？茲，出手點與籃筐的水平距離為x，出手點與籃筐豎直距離為h=1.75m，從出手到求落入籃筐的時間為t，重力加速度g取10m/s2。

2.合理假設

（1）忽略籃球在空中運動與空氣的摩擦、籃球與籃筐的摩擦等各種阻力的影響，并假設籃球在空中不旋轉，由此可以認為籃球在空中的軌跡為拋物線。

（2）忽略籃筐的面積和籃球的體積，將籃球、籃筐均看作為質點。

3.目標函數

籃球入框的角度越大，命中率越高。所以tan？琢越大則命中率越高。而從實際情況出發，出手速度越大，投籃的穩定性也會隨之下降。因此我們構造目標函數，

P=tan？琢·W

其中？琢為入筐角度，W為出手動作的穩定性。

我們首先對出手穩定性函數進行估計。

在這里我們引入NBA頂級射手Curry的數據（如圖2）。從此圖中我們可以統計投籃命中率隨距離變化的情況，并用以估計穩定性函數隨距離變化的趨勢。

作為當今籃球界的頂級投籃高手，我們假定Curry的出手合理，動作規范，受防守影響較小，那么他的投籃命中率的變化趨勢可近似看作正比于投籃的穩定性。

我們將投籃數據按照到籃筐的水平距離劃分為七個區域，并對這七個區域的投籃命中率進行統計，得到的數據如表1。

將投射點到籃筐的可統計距離等距劃分為7個區域，并通過命中點個數占總投射點個數的百分比，計算出每個區域的命中率

我們用反比例函數估計投籃命中率隨著距離變化的趨勢，得到如下的擬合結果：

其中橫軸為投籃出手點到籃筐的水平距離，縱軸為投籃命中率。藍色圓圈標記為Curry的實際投籃命中率數據，綠色曲線為按照反比例函數估計的結果。

通過matlab平臺進行擬合，得到的函數表達式為：

命中率（x）=■+0.313

從圖3中可以看出，反比例函數很準確的描述了前四個數據點的投籃命中率。然而在之后的數據點上偏差較大。在實際情況中，由于球員有可以針對三分線距離進行的投籃訓練，以及防守隊員針對三分線區域的防守策略也有變化，故自然會導致在不同距離范圍上投籃命中率造成偏差。大體上我們可以認為反比例函數能夠較為準確的描述投籃穩定性的變化趨勢。

在我們的研究中，我們用V（x，k）=V0+k·x的模型來估計出手速度隨著距離的變化。其中V為出手速度，x為出手點到籃筐的水平距離。V0為在籃下投籃所需要的出手速度，根據物理豎直上拋運動相關知識，可得g，帶入數據h=1.75m，Vxt-■gt2=Vsin？茲t-■gt2=h得xtan？茲-■=h。k描述了出手速度隨著距離變化的劇烈程度。此模型表示出手速度隨著距離的增加而增加，符合實際的情況。我們可以假定，出手速度增加越快，投籃動作越不穩定。故可以認為參數k越大，穩定性越差。由距離與出手速度成二次函數關系，所以我們選擇k2的反比例函數的形式估計穩定性函數：

W（k）=■

接下來需要對投籃的入筐角度？琢進行推導。我們忽略各種阻力的影響，并假設籃球在空中的軌跡為拋物線，將籃球、籃筐均看作為質點。圖4為籃球投射軌跡圖像：

以出手點O為坐標原點，以水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立平面直角坐標系

我們規定出手速度為V

應用物理的斜拋運動知識，我們將出手速度正交分解為豎直方向與水平方向：

（1） 豎直方向出手速度：

Vy=Vcos？茲

設出手點與籃筐的水平距離為x，出手到求落入籃筐的時間為t

對于豎直方向有：

?Vyt=Vcos？茲t=x

（2）水平方向出手速度：

Vx=Vsin？茲

設出手點與籃筐豎直距離為h，重力加速度為g，且假定g不隨高度變化而改變

對于水平方向有：

?Vxt-■gt2=Vsin？茲t-■gt2=h

整理（1）和（2）可以得到：

?xtan？茲-■=h

根據公式：sin2？茲+cos2？茲=1

我們又可以將其變形成為：

xtan？茲-■·■=h

xtan？茲-■tan2？茲-■=h

整理得：

?tan2？茲-■tan？茲+■+1=0

利用二次函數求根公式，可得

?tan？茲=■±■

接下來，我們去構建入框角度？琢的正切值與出手速度的關系，即可建立入框角度？琢與出手角度？茲的關系

籃球在空中的

豎直方向速度：

V'y=gt-Vsin？茲

因為我們忽略空氣阻力的影響，所以水平方向速度恒定：

V'x=Vx=Vcos？茲

籃球入框的角度實際上即為該點速度的方向與籃筐水平面的夾角：

所以，根據上文可得：tan？琢=■=■

通過上文（2），我們可tan？琢以推導出：gt=■

將其帶入表達式中，可得：

因為

所以：

4.數值模擬

本文中，我們用matlab平臺進行數值模擬。針對目標函數，對每一個水平距離遍歷參數的取值，尋找最優解。

例如當距離籃筐的水平距離為時，得到圖5：

橫軸為參數k的取值，縱軸為目標函數的取值。當k=0.87時，目標函數取得最大值。

當在某個距離位置x0時，取定了目標函數的最大值所對應的參數k=km，即可由此計算此時的最優出手速度Vm和最優出手角度tan？茲m：

Vm=V0+km·x0

由此得到的最優解結果如表2。

表2表示通過數值模擬得出的到籃筐的不同水平距離，對應的出手速度的最優取值和最優出手角度。

三、結論

本文通過設立出手速度函數V（x，k）=V0+k·x，以及通過數值模擬估計穩定性函數，從而擬合出目標函數P=T（x，k）·W（k）。經過一系列推導，求得每個出手點都有所謂投籃的最優解，并繪制的有參考價值的表格（表2）。球員可以在訓練時參考表格中最優解給出的出手速度和出手角度進行反復訓練，可能會對提高投籃能力有所幫助。

但本文還存在一些可以優化的環節。首先本文忽略了正常情況下必須要考慮的阻力的影響，并將籃筐和籃球質點化，忽略籃球進入籃筐的位置對命中率的影響，這會使得數值模擬的結果與實際情況存在偏差。

此外，投籃穩定性函數是一個極為復雜的函數，不僅僅是出手速度會對它造成影響，場上防守隊員的針對性防守，干擾，以及個人肌肉力量，身體素質不同等諸多現實因素還會對穩定性造成影響。本文所估計的W（k）=■只是一個較為理想化的函數。數值模擬的結果在距離較遠時，得出的出手速度略高于普通運動員常用的出手速度，這就是因為我們對穩定性函數的估計尚不準確。在后續的研究中，需要針對穩定性函數加入更多影響因素，進一步將穩定性函數的準確性提升。

參考文獻：

[1].https：//zhidao.baidu.com/question/265750163750918005.html 籃球場標準尺寸.

[2].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_403c36fe0102wh8d.html 關于庫里投籃的統計分析.

指導教師：王清禮（1986.7-）漢，山東省平度人，職稱：中學數學一級教師，學位：工學博士，專業：核科學與技術。