駐波法測聲速實驗原理的討論

夏炎

摘? ?要：對駐波法測量聲速的實驗原理，說明了常見教材解釋的錯誤之處，并用圖像較清晰、敘述較簡明的方式重新梳理了實驗原理。核心是存在次級反射;并且在接收探頭附近每級入射波與反射波成對形成駐波，各級駐波疊加又形成一個總駐波，反射面始終處于該駐波的波節。波節處氣體分子位移振幅為零，但氣體壓強變化幅度最大，即接收探頭壓電陶瓷所探測到的信號?？傫v波的振幅隨著探頭距離變化而變化，波節處的氣壓振幅也隨之改變，即接收信號振幅會周期性出現極大值。最后指出了駐波模型的區域適用性。

關鍵詞：聲速測量? 駐波? 聲波? 干涉? 聲壓

中圖分類號：O422.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）09（c）-0151-03

Abstract：The error in the common teaching materials is explained， about the experimental principle of sound velocity measurement with standing wave method. And a clear and simple pectination on the experimental principle is made. The main idea is the multi-order reflection is existing; in every order， the incident wave and the reflected one couple to a standing wave nearby the receiver; and these standing waves of every order sum up to a component standing wave. The reflector always places on the node of the component wave. The amplitude of the displacement of air molecule is zero on the node， but the amplitude of the air pressure is maximal and displayed by the received signal. The amplitude of the component wave changes following the change of distance between the emitter and receiver; and the amplitude of the air pressure on the node change too， as the reason of the periodic maximum value of receive signal. In the end， the model of standing wave has regional applicability.

Key Words： Sound velocity measurement; Standing wave; Sound wave; Interference; Sound pressure

聲速測量是許多高校的基礎物理實驗，一般采用示波器、函數信號發生器、兩個壓電陶瓷超聲換能器作為實驗儀器。兩個換能器平行正對放置，分別稱為發射探頭和接收探頭，發射探頭根據電信號產生超聲波向對面傳播，實驗根據接收信號的極大值所在位置測得波長，再由頻率計算聲速。

實驗中接收探頭的信號強度會隨著探頭距離改變而變化，探頭距離每改變半個波長接收信號出現一次極大值。對于這種現象的解釋，很多大學物理實驗教材上的敘述不完善;不少期刊文獻也對此做過討論，并給出了合理的解釋，但文獻中的公式推導又比較抽象，物理圖像不夠清晰。本文說明一下常見教材中原理解釋的不完善之處，并用圖像清晰的方式重新梳理實驗原理。

1? 常見教材中原理解釋的不完善之處

很多教材認為兩個探頭之間的聲波是駐波，接收信號強度之所以會呈周期性變化，是因為接受探頭時而處于駐波波腹，時而處于駐波波節，按如下方式解釋實驗原理[1-5]。

發射探頭發出超聲波，傳播到接收探頭處，在介質表面產生反射。那么入射波和反射波就會在兩個探頭之間產生定域干涉，而形成駐波。若入射波與反射波振幅近似相等，記為A。那么空間任意x處的合振動為兩列波的疊加。

入射波：

反射波：

合振動：

這就是駐波方程，式中的x是空間位置坐標，被認為是接收探頭位置，位置不同檢測到的振幅也不同。這種解釋的錯誤之處在于忽視了反射波的相位與兩探頭距離的相關性，同時又混淆了“任意”位置x和接收探頭位置的關系。

如果入射波的波動方程給定，那么接收探頭在不同位置形成的反射波，應該具有不同的波動方程，但上述教材中的方程并沒有體現這一點。正確的反射波方程中，相位信息里面除了包含任意位置變量x，還應該包括兩個探頭的距離信息（記為L），應有如下形式：

同時，接收探頭的位置并不是位置變量x，而應該對應探頭距離L。

2? 接收探頭始終位于駐波波節

超聲波入射到接收探頭表面會發生反射，入射波和反射波相干會形成駐波，但反射面始終位于駐波的波節。不需要公式推導，只需要考察駐波形成的條件與反射處的相位差。

駐波形成的條件是兩列波在同一直線上沿相反方向傳播，且兩者的振幅、頻率與傳播速度都相同。接收探頭表面的入射波和反射波除了振幅會有些許的差別外，其它條件均滿足。而鋁質表面對空氣中聲波的反射比約為0.99994[6]，所以兩列波會形成近似的駐波，它與理想駐波的差別是在波節處存在微量的振幅。

考慮到半波損失[7]，入射波與反射波在反射面存在半個周期的相位差，而這個相位差不隨任何情況發生改變，所以反射面的位置會始終處于駐波的波節。

入射波經過反射，振幅變小，相位取反，疊加形成近似駐波原理如圖1所示。

3? 存在次級反射波

如果只有前述的1列入射波和1列反射波，那么它們相干形成的駐波振幅就不會隨著探頭距離變化而變化;接收探頭又始終位于波節的位置，所以檢測到信號強度也就與探頭距離無關。但實驗中觀察到的信號強度會隨探頭距離而改變，這實際上是由于存在次級反射波引起的[6-11]。

發射探頭發出的超聲波在接收探頭反射后，會繼續傳播，到發射探頭處再次發生反射，又射回接收探頭……這樣聲波會在兩個探頭之間來回傳播，反射多次。

對接收探頭而言，會接收到多個入射波，也相應地產生多個反射波。約定：把發射探頭由電信號產生的超聲波稱為接收探頭的0級入射波，對應的反射波稱為0級反射波;再經由發射探頭反射回來的入射波稱為1級入射波……依次類推。

如第2節所述，同級的入射波和反射波會相干形成駐波，i級入射波與i級反射波形成i級駐波;那么經過多次反射，在接收探頭附近就可以看成是多個駐波的疊加。這些駐波有著共同的波長，以及共同的波節、波腹位置（反射面是每一級駐波的共同波節）。所以這些駐波疊加之后仍然是駐波，反射面也仍然處于合駐波的波節，而合駐波的振幅則取決于各級駐波的相位差。

記兩個探頭的距離為L，聲波波長為λ，那么在接收探頭的表面，相鄰兩級入射波的波程差為：

當波程差為波長整數倍時兩者相位相同，需滿足條件：

即探頭距離是半個波長整數倍時，相鄰兩級入射波同相位，各級反射波同相位，形成的各級駐波也同相位，疊加振幅最大。

4? 接收探頭測量到的是空氣壓力變化

隨著兩個探頭之間距離的改變，合駐波的振幅在變化，但是接受探頭卻始終位于波節位置，振幅近似為零，那怎樣解釋實驗中接收信號強度的變化呢？

前面討論的界面反射等等都是指位移波，反映的是空氣分子偏離平衡位置的位移大小，波腹代表分子活動空間大，波節處空氣分子不偏離平衡位置。但壓電陶瓷測量到的并不是空氣分子的位移幅度，而是空氣壓強的變化。

聲波的振動周期遠小于空氣熱擴散時域，所以聲波傳播區域的氣體伸縮可看作絕熱過程。由絕熱過程的物態方程pVγ=常量，可以得出氣體壓強與氣體分子數密度滿足p∝nγ（剛性雙原子分子的理想氣體γ≈1.4）。而在波節處分子數密度隨振動呈周期性變化（原理示意如圖2所示），所以波節處的壓強也與聲波同周期振動。

從駐波能量的角度來分析壓強變化的幅度。駐波的能量可以看作波腹處分子動能和波節處氣體伸縮勢能的周期性轉化。當波腹處分子運動到平衡位置時，波腹分子動能最大，波節伸縮勢能為零，壓強為外界氣壓。反之，波腹分子位移極大時，分子動能為零，全部轉化為波節勢能，波節氣體壓強達到極值?？傊?，波節壓強變化幅度與波腹振幅正相關，振幅越大，壓強變化幅度也就越大。

綜上所述，有兩點結論：（1）接收信息對應波節處的氣體壓強，而氣體壓強的振動幅度取決于合駐波振動強度。（2）改變兩探頭距離，合駐波振動強度周期性變化，以半個波長為周期，所以接收信息的振動幅度也呈現相應規律。

5? 駐波模型具有區域適用性

很多文獻討論了駐波模型的適用性，考慮的因素大都為反射與傳播過程中聲波的損耗與衰減，認為聲波的衰減使得合振動偏離理想駐波[6，8，12-13]。實際上即便沒有衰減，兩個探頭之間的區域也不是全是駐波。

在第2節討論了接收探頭表面入射波與反射波的成對形成駐波，實際上在發射探頭表面也存在同樣的情況。聲波在兩個探頭之間來回反射無限次，在發射探頭表面也存在同級入射波與發射波形成駐波的情況。但與接收探頭不同，發射探頭附近除了這一系列駐波，還增加了一列強度很大的發射波，即由電信號通過壓電陶瓷直接產生的那列波，該波為行波，與那些駐波疊加后不再是駐波。所以駐波模型僅在接收探頭附近成立，在發射端并不成立，它們中間的區域是兩者的過渡。

另一個問題是接收信號極大值的明顯程度。兩個探頭距離變化時，接收信號的振幅也隨之變化，那么極大值和極小值的比例與那些因素有關？

接收信號振幅最大的條件是相鄰兩級入射波同相位，把這種情況與相鄰兩級反相位的情況進行比較，考察各自合振幅的大小。

0級入射波經過反射、傳播、再反射、再傳播，成為1級入射波，期間會有衰減，記強度變為原來的a倍，a∈（0，1）。那么其他各相鄰兩級入射波的強度保留系數也應該為a;并且它們形成的各級駐波之間也應該有同樣的衰減比例。

記0級駐波強度為1，那么鄰級駐波相干加強時，合駐波強度應為：

鄰級相位相反的情況，合駐波的強度：

兩種情況波強的比例為（1+a）/（1-a），這個比例越大極大值信號越明顯。若a趨于零，該比例變為1，極大值信號不再存在。即當衰減程度非常大時，極大值信號會變得不明顯。所以實驗中兩個探頭的距離不宜太遠，具體距離還與設備性能有關。

6? 結語

聲速測量實驗是很多高校的基礎實驗，但對該實驗的討論卻一直討論的很熱烈，在百度學術檢索“聲速測量實驗”，近3年發表文獻有1327篇，這在某種程度上反映出了廣大教學工作者與流行教材之間的沖突。而發表在各期刊上的文獻，雖然給出了駐波法測量的合理解釋，但實驗原理的敘述普遍采用較抽象的公式推導，物理圖像不夠清晰。

本文點明了常見教材錯誤的所在之處，重新梳理了實驗原理：發射波與反射波成對組成駐波，各級駐波疊加仍是駐波，物理圖像更加清晰;壓電陶瓷測量的是空氣壓力，摒棄了其他文獻采用的壓強波的敘述方式，更加直觀。對駐波模型的適用性問題，特別指出了具有區域性，只有在接收探頭附近才是近似駐波。以上可供廣大教學工作者在日后編寫教材中參考，也可為實際測量數據的擬合提供思路。

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