數學深度學習如何真實發生

近年來，我們的教學在不斷地嘗試改革，如先學后教、翻轉課堂等的出現就是如此。這種以強調學生自主學習為主的改革出發點是好的，但是在實際操作中，我們往往又會顧此失彼。例如，強調學生的興趣而忽視系統知識的學習，強調學生的主動參與而忽視教師的引導，強調學生的愉悅而輕視嚴肅嚴格的學習，等等。于是，基于教學規律之上的探索就顯得尤為重要，深度學習之研究即是如此。

我們認為，深度學習是指課堂教學中學生的學習而不是一般的學習者的自學，強調教師的引導和幫助。這是符合學習認知規律的，老師有相對系統的認知體系，懂得如何引導學生將學習走向深入。深度學習的內容是有挑戰性的人類已有認識成果。例如，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，就這個問題而言，學生要理解它甚至運用它是富有挑戰性的。從心理學的角度看，富有挑戰性的活動會更吸引學生窮究到底的興趣。深度學習是學生感知、思維、情感、意志、價值觀全面參與、全身心投入的活動，而知、情、意是人類心理活動的三種基本形式，當知、情、意、行完美統一的時候就成了最恰當的教育。

由于深度學習是極為復雜的活動，在具體的教學實踐中，如何知道深度學習發生了？或者說，我們從哪些方面努力就可能引發學生的深度學習呢？

一、聯想與結構

我們可以從兩個方面去理解聯想與結構，一方面指學生學習方式的樣態，另一方面指這樣的學習方式所處理的學習內容。

作為學習方式的樣態，說的其實就是如何把需要學習的知識系統與學生已有的經驗系統建立起聯系。教師要考慮的問題是如何調動學生已有的經驗來參與當下的學習，又要將當下的學習內容與已有的經驗建立起結構性的關聯，從而使知識轉化為與學生個體有關聯的、能夠操作和思考的內容，并進一步納入新的認知系統。知識→聯結→經驗→新的經驗→新的知識，這樣的活動，就是深度學習。

例如，在教學“圓柱的體積”時，我們設計了這樣一個活動：老師出示一張圓形紙片和一張長方形紙片，告訴學生，這兩張紙片的大小一樣，也就是面積相等?，F在，我想把這樣的100張圓形紙片與100張長方形紙片分別摞起來形成一個圓柱、一個長方體。比較這兩個立體圖形的體積，你認為哪一個會更大些？說說理由。

顯然，這樣的問題激活了學生已有的認知經驗：底面積一樣，高度一樣，體積（物體所占空間的大?。┛隙ㄒ粯?。在此基礎上，老師進一步提出問題：“基于剛才的研究，你們能提出什么新的問題嗎？”有學生提出，只要底面積相同（與形狀無關），高度相同，體積一定相等。此時，老師追問：“果真如此嗎？”通過操作和討論，學生達成共識，只要底面積和高分別相等的柱體，體積一定相等。

這樣教學，通過聯想，激活學生已有的知識經驗，以融會貫通的方式對學習內容進行重組，從而建構出自己新的知識結構，達到學一課知一類的目標。

二、活動與體驗

活動與體驗是深度學習的重要特征。這里的活動是以學生為主體的活動，不僅僅是動手操作，更多的是來源于學生頭腦的思維活動。這里的體驗指的是學生主動參與數學活動時的個體體驗，當學生全身心投入時，這種體驗是一種積極的有后勁的學習體驗，是學生愿意持續進行數學學習的原動力。

我們強調學生要有活動的機會，特別強調要有親身經歷。當然，這種親身經歷不排除用頭腦與心靈去模擬地、簡約地經歷知識的發生、發現、形成、發展的過程。華東師范大學張奠宙先生在《教育數學是具有教育形態的數學》一文中指出，數學具有三種形態：原始形態、學術形態、教育形態。原始形態是指數學家發現數學真理、證明數學命題時所進行的反復曲折的數學思考；學術形態是指數學家在發表論文時采用的形態，包括形式化、嚴密地演繹和邏輯地推理，它呈現出簡潔的、冰冷的形式化的美麗，卻把原始的、火熱的思考淹沒在形式化的海洋里；教育形態是指通過教師的努力，啟發學生進行火熱的思考，使學生更容易接受人類數千年積累的數學知識體系。我們認為，張奠宙先生提倡的教育形態的數學與深度學習在本質上是一樣的，教師要充分發揮主觀能動作用，設計適合深度學習的教學活動，讓學生經歷知識形成的過程。

例如，集合是近代數學中的一個重要概念，集合思想作為現代數學思想已向小學數學教材進行滲透。但是，集合思想對于小學生來說非常抽象難懂，要感悟是很困難的。那么，如何設計好的數學活動與數學問題，讓學生在活動中領悟集合思想，并運用集合思想與方法解決實際問題呢？我們進行了這樣的設計。

【課前準備】學生在卡紙上寫自己的名字。

【教學過程】

活動一：棋子的秘密。

師：今天的數學課從游戲開始，先請同學們看這兩個圓圈。（出示實物綠圓圈、紅圓圈，綠圓圈里有4顆棋子，紅圓圈里有3顆棋子）

師：現在兩個圓圈里一共是幾顆棋子？

生：4+3=7，7顆。（板書：4+3=7）

師：對，這個游戲對于你們來說可能有點小兒科了?，F在游戲馬上升級，聽好了，還是這兩個圓圈，還是這7顆棋子，變一變，讓綠圓圈里有5顆棋子，紅圓圈還是3顆棋子。你會嗎？

生1上臺從紅圓圈里拿1顆棋子放入綠圓圈。

師：老師采訪一下你，為什么要從紅圓圈里拿1顆棋子到綠圓圈里？

生1：因為綠圓圈里要有5顆棋子，現在只有4顆，所以得從紅圓圈里拿1顆。

生2：不可以！這樣子紅圓圈里棋子的數量就不符合要求了！

生3：可以放中間。（師把棋子放在兩個圓圈的中間，如圖所示）

生4：不對不對。

師：哪里不對了？

生4：這樣放的話，紅圓圈里只有4顆，綠圓圈里只有2顆，它們都少了1顆棋子。

師：那這顆棋子到底怎么放？不要著急，有時靜下心來想一想，你就會想到兩全其美的辦法。

熱鬧的課堂很快安靜下來，同學們陷入了沉思。

一生上臺移動紅圓圈，將兩個圓圈交叉在一起，然后從紅圓圈里拿出一顆棋子擺在中間交叉的部分（如圖所示）。

學生歡呼起來：這樣可以了！

師：什么叫可以了？

生5：你看！現在綠圓圈里有5顆棋子，紅圓圈里有3顆棋子。

師：噢，今天老師長見識了，原來5加3還可以等于7。（板書：5+3=7）

學生交流討論，發現中間的1重復計算了一遍。

師：你說的重復是什么意思？

生6：中間的這顆棋子，我們數5時數了它，數3時也數了它，多數了一次就是重復了1次，所以要減1。（板書：5+3-1=7）

師：那這個減1是不是把中間的棋子減掉？

生：不是，減去的是重復計算的那個1。

師：看來，這游戲一升級就有點意思了。

在這樣的過程中，學生在掌握用重疊方法解決問題的同時，受到集合思想的啟蒙。更重要的是，這些知識與方法的獲取完全來源于學生自身的活動。學生在這樣的活動中，不僅知其然也知其所以然，體會到交集策略的形成過程。在深度學習這里，教學不再是人們所諷刺的“頸部以上的”冷冰冰的理智活動，而是理智與情感共在的，鮮活的、有溫度的活動，學生以全部的思想和精神去感受和體驗學習活動的豐富復雜、細微精深。

三、本質與變式

把握事物的本質，是建構知識結構的前提。在把握事物本質的過程中，需要去除非本質屬性的干擾，分辨出本質與非本質屬性的區別，對學習內容（學習對象）進行深度加工。因此，對于數學內容的教學，我們不主張帶領學生背誦數學定義與概念，而是要設計好的活動，讓學生在活動中學會質疑、探究、歸納等等。在這些深層次的活動中，學生通過自身的努力逐漸逼近對事物本質的認識。

例如，我們在教學四年級“圖形的面積與周長”這一內容時，為了讓學生體會“面積可增減，而周長不可；周長確定的條件下，面積可變”這些認識，設計了下面的活動。

師：能求出這個長方形（如圖①，單位：厘米）的周長嗎？（生集體回答）如果從這個圖形中去掉一塊（如圖②），變化以后的圖形周長又是多少呢？

生1：把這個圖形的各條邊的長度一段一段加起來就可以算出周長了。

生2：一段一段地加太麻煩了，我們可以把4厘米的這條邊向上平移，可以看出，新的圖形的周長比原來長方形的周長多2個2厘米。

師：借助平移求不規則圖形的周長確實方便，也能清楚地發現變化后的圖形的周長與原來圖形的周長之間的關系。我們現在把圖形變一變（演示課件：從圖②變化到圖③、④、⑤、⑥），請同學們求出變化后的每個圖形的周長，然后和原圖比較，有什么發現？為什么？

生3：通過平移，我們可以發現圖②、③、④的周長是一樣的，都是在原長方形的周長上增加2個2厘米，圖⑤的周長和原長方形周長相等，圖⑥的周長比原長方形的周長增加了2個4厘米。

生4：都是從原長方形中去掉相同的長方形，變化之后圖形的周長可能增加，也可能不變。如果從頂點去掉長方形，周長不變；如果在每條邊的中間去掉長方形，利用平移的辦法，剩下圖形的周長與原圖形的周長相比，多了兩條去掉圖形的長或寬。

師：大家觀察得很仔細，思考問題也很全面，如果從面積的角度思考呢？

生5：無論怎樣變化，圖②到圖⑥的形狀雖然不同，但陰影部分（剩下圖形）的面積是相等的，都是從原來長方形的面積中減去小長方形的面積。

師：你們真是一群會學習的孩子！能從變中找不變，很了不起！還有別的發現嗎？舉例說說看。

生6：周長相等的圖形，面積不一定相等，如原圖和圖⑤。

生7：面積相等的圖形，周長可能相等，如圖②、③、④。

生8：面積相等的圖形，周長也可能不相等，如圖⑤、⑥。

生9：周長大的圖形，面積不一定大，如圖⑥和原圖。

師：孩子們善于觀察、對比、思考，發現的結論也很有價值。學習數學就是這樣，在觀察中思考，在思考中享受發現的樂趣！

在上面的設計里，學生于變中找不變。就是在這個思辨的過程中，學生的認識越來越接近圖形的面積與周長的本質認識。

四、遷移與應用

遷移與應用指的是將所學的知識轉化為新的認知或者轉化為綜合實踐能力。深度學習離不開遷移與應用，任何脫離實際應用的學習是稱不上深度學習的?？梢哉f，應用是遷移的重要表征，也可以說，學習就是為了遷移。如果把學習活動看作一個閉環結構，那么遷移便在閉合處。它既是學習開始的端點，也是學習結束的端點，從別處遷移來，又從這里遷移到別處去。應用也是如此，既是上一個環節學習結果在此處的應用，又通過應用開啟新的學習。如此，學習內容的系統性、結構性以及隨著活動深化而展現的深刻性與豐富性，學生學習的主動性、積極性、自覺性都在遷移與應用中得以顯現。

例如，我們在教學六年級“圓柱與圓錐的整理與復習”這一內容時，設計了下面這樣一個活動。

課件出示：r=2.5cm，h=12.5cm。

師：這是一個圓柱的底面半徑和高的數據，請你先比劃一下這個圓柱有多大，再想象一下它可能是生活中的什么物體。

生：可能是筆桶、水杯……

師：大小相近，猜測合理?？纯蠢蠋煄淼氖鞘裁茨?？（拿出一罐飲料）看看你們比劃的，跟它差不多嗎？（學生修正）

師：針對這罐飲料，你能提出什么數學問題呢？

生1：它貼的商標面積是多大？它的體積是多少？需要用多少鐵皮？

師：它上面注明含有240毫升的飲料，商家有沒有欺騙消費者呢？

生2：可以算出它的容積，再和240毫升比較。

（學生計算）

師：看到計算結果，你發現了什么？

生3：商家沒有欺騙消費者，因為得數比240大。

師：為什么求得的數據比標明的數據還要大？

生4：可能是沒裝滿。飲料不宜裝得太滿，如果裝得太滿，在運輸途中容易發生爆炸。

師：你懂得真多！

生5：測量的有誤差。

生6：我們是從外面測量的。

師：同學們猜測得合情合理。

……

在上面的學習中，遷移與應用不只是對學習結果的檢驗方式。遷移是經驗的擴展與提升，應用是將內化了的知識外顯化、操作化的過程，這也是培養學生空間觀念的重要過程。

由此可見，深度學習的理論不是某一流派的理論演繹，而是歷史上優秀教育理論成果及優秀教學實踐經驗的匯聚與提煉，是對學生學習與發展的一般道路的現實探討。深度學習實踐的理論價值，不僅僅在于克服機械學習、淺層學習的弊端，讓學生學得主動、積極，更重要的是，要克服長期以來的種種二元對立，使教師、學生、教學內容（知識）獲得高度的統一，使教學內容（人類歷史文化、人類認識成果）發揮其應有的價值，使教師、學生在教學中獲得最大發展，幫助學生形成有助于未來可持續發展的核心素養。

（執筆：王麗燕參加討論人員：王麗燕、楊枚、邱娟、謝炤陽、鄧求平、劉碩鵬、鄧詠梅、童建笛）