優化張力參數與邊界條件的平面三次Cardinal樣條

李軍成，劉成志，易葉青

（1.湖南人文科技學院數學與金融學院，湖南婁底417000；2.湖南人文科技學院信息學院，湖南婁底417000）

在計算機輔助設計及其相關研究領域中，插值曲線的構造一直都是重要的研究課題。作為一種分段插值樣條，三次Cardinal樣條［1］是構造插值曲線的一種重要方法。三次Cardinal樣條不僅滿足C1連續，而且無須求解方程系統即可直接插值于給定的數據點。另外，當數據點保持不變時，三次Cardinal樣條的插值效果還可通過自帶的張力參數進行調控。這些優點使得三次Cardinal樣條被廣泛應用于多工程領域［2-3］。 雖然，三角Cardinal樣條［4-5］、雙曲 Cardinal樣條［6］以及C2連續的 Cardinal樣條［7］在某些方面較傳統三次Cardinal樣條更優，但它們的方程結構更為復雜，因此不可否認，傳統三次Cardinal樣條仍具有較高的應用價值。

注意到，張力參數對三次Cardinal樣條的形狀有明顯的影響，為了使三次Cardinal樣條能插值于給定的首、末數據點，往往需要在數據點的兩端添加2個邊界條件，故邊界條件對首、末兩段樣條曲線的形狀也有較大影響。因此，在利用三次Cardinal樣條構造插值曲線時，可通過修改張力參數和邊界條件來實現對插值效果的調控，這顯然為插值曲線的構造提供了便利。當然，也可以在某種準則下確定張力參數和邊界條件的最佳取值，使得構造的三次Cardinal樣條滿足某種特定的要求。為使三次Cardinal樣條曲線盡可能光順，文獻［8］提出了一種利用曲率變化極小來確定張力參數和邊界條件最佳取值的方法。但文獻［8］僅簡單給出了確定張力參數和邊界條件最佳取值的方法，對其具體過程以及相應的三次Cardinal樣條函數并未展開詳細討論。為此，本文進一步討論如何通過優化張力參數與邊界條件以使得構造的平面三次Cardinal樣條曲線及其函數形式盡可能光順的方法。通過對平面三次Cardinal樣條曲線及其函數形式的近似曲率變化進行極小化，易獲得張力參數與邊界條件的唯一解，從而使構造的三次Cardinal樣條曲線及其函數形式盡可能光順，且具有更好的插值效果。

1 問題的提出

給定平面上n(n≥3)個數據點pi(i=0,1,…,n)，三次 Cardinal參數樣條曲線［1］可表示為

式 中 ，i=1,2,…,n-2，0≤t≤ 1，bj(t)(j=0,1,2,3)為

其中，實數T稱為張力參數。

特別地，當三次Cardinal樣條用于插值用途時，張力參數的最佳值取為T=0［9］，此時對應的三次Cardinal樣條又稱為三次Catmull-Rom樣條［10］。三次Catmull-Rom樣條在許多工程領域已得到了較廣泛的應用［11-12］。

由式（1）與式（2）不難發現，當T=1時，式（1）為

此時三次Cardinal參數樣條曲線將退化為一條直線段。因此，下面僅考慮T≠1的情形。

式（1）與式（2）經計算可得，

式（3）表明，每段三次Cardinal參數樣條曲線插值于第2與第3個數據點，意味著整條樣條曲線插值于除首、末數據點以外的其他數據點。由式（4）可得，表明三次Cardinal參數樣條曲線滿足C1連續。另外，由式（4）不難發現，當所有數據點保持不變時，三次Cardinal參數樣條曲線的形狀將由張力參數T決定。例如，給定數據點pi(i=0,1,…,5)的坐標(xi,yi)為

張力參數T取不同值時的三次Cardinal參數樣條曲線如圖1所示。

另一方面，在許多實際問題中往往要求三次Cardinal參數樣條曲線也能插值于首、末數據點，此時，須在數據點pi(i=1,2,…,n)的兩端補充2個邊界條件：p-1與pn+1，常用的邊界條件取為p-1=p0，pn+1=pn。而事實上，當張力參數T固定，2個邊界條件取不同點時，首、末兩段三次Cardinal參數樣條曲線的形狀也將不同。例如，對于圖1中給定的數據點，取張力參數T=0，2個邊界條件取不同點時的三次Cardinal參數樣條曲線如圖2所示，圖中虛線對應的邊界條件為p-1=p0，p6=p5；實線對應的邊界條件為p-1=p2，p6=p3。

綜上，當數據點給定時，三次Cardinal參數樣條曲線的形狀由張力參數T以及2個邊界條件p-1與pn+1決定。理論上，可根據不同的需求將張力參數和邊界條件取為任意值。當然，也可對張力參數與邊界條件進行優化，得到滿足特定要求的三次Cardinal參數樣條曲線。

2 張力參數與邊界條件的優化

圖1 張力參數取不同值時的三次Cardinal參數樣條曲線Fig.1 Parametric cubic Cardinal spline curve with different tensor parameters

圖2 邊界條件取不同點時的三次Cardinal參數樣條曲線Fig.2 Parametric cubic Cardinal spline curve with different boundary condition

光順性是曲線的重要幾何特征之一。在CAD及其相關研究領域，構造光順的曲線是一項重要的研究課題［13-14］。雖然曲線的光順性無法定量描述，但人們通常通過極小化曲線的能量函數來實現平面光順曲線的構造［15］。應變能量和曲率變化能量成為研究人員描述平面曲線光順性的2種常見方法［16-19］。本文利用曲率變化能極小來優化平面三次Cardinal參數樣條的張力參數和邊界條件，使得構造的樣條曲線盡可能光順。

平面參數曲線r(t)的曲率變化能定義為［20］

式中，

由于式（5）高度非線性，往往需要利用近似形式將其線性化。假設曲線r(t)被弧長近似參數化，則其曲率變化能可近似表示為［21］

為討論方便，令T=1-2α，則式（2）可改寫為

式中，

于是，據式（6）與（7），補充邊界條件p-1與pn+1后的三次Cardinal參數樣條曲線的應變能可近似表示為

式中，

為了求解問題（9），首先給出以下引理。

引理1 給定平面上的向量a=(ax,ay)，b=

于是，

證畢。

于是，

于是有

定理1 給定平面上一列數據點pi(i=0,1,…,n)，要使所構造的三次Cardinal參數樣條曲線具有極小近似的曲率變化能，則張力參數T(T≠ 1)與2個邊界條件p-1與pn+1應分別取為

由式（11）與式（12），當α≠ 0時，令與，可得

將ui=pi-1+pi-pi+1-pi+2，vi=pi+1-pi，α=分別代入式（14）與式（15），并經簡單推導即得定理成立。證畢。

下面通過數值實例來說明本文方法的有效性。由于三次Catmull-Rom樣條被視為三次Cardinal樣條中插值效果最好的［9］，因此，本文將與三次Catmull-Rom參數樣條曲線進行比較，且三次Catmull-Rom參數樣條曲線的邊界條件取常用情形，即p-1=p0，pn+1=pn。

例1 對于圖1中給定的數據點，要使所構造的三次Cardinal參數樣條曲線具有極小的近似曲率變化能，經計算所得張力參數、2個邊界條件及近似曲率變化能與三次Catmull-Rom參數樣條曲線的對比如表1所示。

構造的具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數樣條曲線（實線）與三次Catmull-Rom參數樣條曲線（點虛線）如圖3所示。

例2 從單位半圓上取定數據點pi(i=0,1,…,5)的坐標(xi,yi)為

表1 本文方法與Catmull-Rom的對比（例1）Table 1 The comparison between the proposed method and Catmull-Rom（example 1）

圖3 具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數樣條曲線（例1）Fig.3 Parametric cubic Cardinal spline curve with minimum approximate curvature variation energy（example 1）

要使所構造的三次Cardinal參數樣條曲線具有極小的近似曲率變化能，經計算可得張力參數、2個邊界條件及近似曲率變化能與三次Catmull-Rom參數樣條曲線的對比如表2所示。

構造的具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數樣條曲線（實線）與三次Catmull-Rom參數樣條曲線（長虛線）如圖4所示。

由例1與例2可知，張力參數與邊界條件優化后的三次Cardinal參數樣條曲線較三次Catmull-Rom參數樣條曲線更為光順，插值效果更好。

表2 本文方法與Catmull-Rom的對比（例2）Table 2 The comparison between the proposed method and Catmull-Rom（example 2）

圖4 具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數樣條曲線（例2）Fig.4 Parametric cubic Cardinal spline curve with minimum approximate curvature variation energy（example 2）

3 三次Cardinal樣條函數

與三次Cardinal參數樣條曲線對應，本節討論三次Cardinal樣條函數。

給定平面上n(n≥3)個數據點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，設xi為等距，即xi+1-xi=h（h為常數），三次Cardinal樣條函數可表示為

式 中 ，i=1,2,…,n-2，xi≤x≤xi+1，t=(xxi)/h，bj(t)(j=0,1,2,3)為式（2）表示的函數。

由式（2）不難驗證，

由式（17）與式（18）可知，三次Cardinal樣條函數插值于除首、末數據點外的其他數據點，且函數滿足C1連續。同樣，可以補充2個邊界條件(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)，使得三次Cardinal樣條函數插值于包括首、末數據點在內的所有數據點。由于要求xi為等距，故有x-1=2x0-x1，xn+1=2xn-xn-1。顯然，當所有數據點保持不變時，三次Cardinal樣條函數的形狀由張力參數T以及2個邊界條件y-1與yn+1決定。

與三次Cardinal參數樣條曲線的情形類似，三次Cardinal樣條函數滿足

定理2 給定平面上一列數據點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，要使所構造的三次Cardinal樣條函數具有極小的曲率變化能，則張力參數T(T≠1)與2個邊界條件y-1與yn+1應分別取

下面通過數值實例來說明本文方法的有效性，同上節，將本文方法與三次Catmull-Rom樣條函數進行比較，且三次Catmull-Rom樣條函數的邊界條件為常用情形，即y-1=y0，yn+1=yn。

例 3 設y=sinx(0≤x≤ 2π)，取yi=sinxi(i=0,1,…,8)。 要 使 所 構 造 的 三 次Cardinal參數樣條曲線具有極小的近似曲率變化能，經計算得張力參數與2個邊界條件分別為T=-0.171 6，y-1=-0.707 1，y9=0.707 1。 構 造 的具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal樣條插值函數（實線）與三次Catmull-Rom樣條插值函數（點虛線）及對應的絕對誤差曲線如圖5所示。

圖5 樣條插值函數及其絕對誤差曲線（例3）Fig.5 Spline interpolation functions and the absolute error curves（example 3）

圖6 樣條插值函數及其絕對誤差曲線（例4）Fig.6 Spline interpolation functions and the absolute error curves（example 4）

由例3與例4可知，優化張力參數與邊界條件后的三次Cardinal樣條函數較三次Catmull-Rom樣條函數的插值效果更好。

4 結 語

當數據點給定時，三次Cardinal樣條的形狀完全由張力參數和邊界條件決定。雖然通過修改張力參數與邊界條件可實現對三次Cardinal樣條形狀的調控，但有時只要求得張力參數和邊界條件的最佳值，就能使構造的三次Cardinal樣條滿足某種特定的要求。為此，本文給出了一種利用曲率變化能極小來優化三次Cardinal樣條的張力參數與邊界條件的方法，該方法容易獲得張力參數與邊界條件的唯一解。相對于三次Catmull-Rom樣條，優化張力參數與邊界條件后的三次Cardinal樣條不僅更為光順，而且插值效果更好。